實分析/拓撲連續性

實數集上連續性的幾個性質可以透過從拓撲的角度來考察而得到擴充套件。在拓撲學中，通常使用一個不同的定義（即不同於標準的“ε-δ”實分析定義）。這個定義適用於任何集合之間的函式，而不僅僅是度量空間。

定義 令 $A\subseteq \mathbb {R}$。此外，令 $f:A\to \mathbb {R}$。 $f(x)$ 在 $x=c$ 處連續，當且僅當對 $f(A)$ 的每一個開子集 $V$，$U\subseteq f^{-1}(V)$ 在 $A$ 中是開的。

這裡需要提到的是，“開集”這個術語可以在比實數集或度量空間更一般的環境中定義；但是，在實分析中，你已經熟悉的開集的定義就足夠了。

定理

對於任何連續函式 f:A->B，U コンパクト => f(U) コンパクト。