實分析/三角學

實分析

先決條件：積分；一些微積分基本定理和反函式

三角學是數學的一個古老領域。它在現實世界中的相關性及其基本原理——一系列規則——足以使其成為初等數學的典型部分。然而，與我們在初等數學中學習的所有內容一樣，主要問題是三角學中的概念是一系列規則和圓和三角形的幾何影像。本節將透過從頭開始嚴格重新定義三角函式來糾正這一點。

構造

為了重新定義三角函式，我們首先必須從一些基礎開始。如果我們要認真地消除所有圖形解釋並用我們當前的正式數學概念來證明它，我們應該澄清我們知道什麼以及我們想要證明什麼。

公理

我們可能盡力而為，但我們目前的數學範圍（即實分析加上一些形式化的代數和一些形式化的集合論）不足以完全推匯出我們在開始構造時需要的某些概念。因此，我們必須接受以下內容作為公理。

三角定義列表（公理）

描述	公式
單位圓的定義：給定原點的一個點，這個函式包含兩個變數 *x* 和 *y*，使得斜邊始終為 1。因此，這個圓的半徑為 1。	$x^{2}+y^{2}=1$
"圓的面積"的定義：圓的面積定義如下	$A(r)=\pi r^{2}$

對於我們的三角函式，我們還需要在初等數學中學習的性質，例如正弦和餘弦函式是週期性的。

我們將首先從等式$x^{2}+y^{2}=1$開始。它不是一個函式，但我們將透過限制等式使其成為一個函式。

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1\\y^{2}&=1-x^{2}\\y&={\sqrt {1-x^{2}}}\\\end{aligned}}$

函式 *f* 將定義為$f={\sqrt {1-x^{2}}}$。在初等數學中，這通常就是它；沒有更多常用的工具可以用來進一步操縱這個函式來做有趣的事情。然而，我們將證明所有工具的微積分可以解開三角學的奧秘。

圓周率和麵積

單位圓的面積是$A(1)=\pi (1)^{2}=\pi$。必須特別注意，面積 π 是指整個圓。為什麼要提到這一點？好吧，我們將嘗試使用積分將圓的面積概念與函式的面積概念對齊。

$\int _{-1}^{1}{f}={\frac {\pi }{2}}$

如您所見，分數是因為 π 代表整個面積，但我們對原始等式的限制使得我們必須將面積減半。順便說一下，請理解，雖然我們可以使用變數 τ（tau），它恰好是圓周率的一半，也是該積分的值，但我們選擇不這樣做——僅僅是因為 τ 是一個不太熟悉的數字，可能對讀者來說更陌生。本節的目的是說明我們如何使用微積分構建符合現有概念和更多概念的新概念——而不是用新符號迷惑讀者。

回到我們之前對 π 應該是什麼的解釋，請注意，我們也沒有定義函式 *f* 的積分。在定義方面，用更多未知數定義變數是不好的。因此，我們不會說明函式 *f* 的積分是什麼。

首先，我們可以使 π 的定義看起來更正式

π 的定義
$\pi =2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}$

我們將在這部分的剩餘部分定義該積分的實際值。

首先宣告，我們還沒有定義如何處理平方根。因此，以下定義實際上依賴於對“面積”的模糊定義。是的，這個解釋也可以被看作是一個公理，儘管它有其理由——只是這個理由可能不像分析那樣像幾何。所以，對於那些不擅長几何的人來說，請把最底部的公式當作事實。否則，請繼續閱讀。

函式f的面積為
$\Pi (x)={\frac {x{\sqrt {1-x}}}{2}}+\int _{x}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}$