實分析/達布積分

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實分析 達布積分

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由 讓·加斯頓·達布 提出了另一種流行的“積分”定義，並且由於其易於入門，通常在更高階的文字（例如此華夏公益教科書）中使用。 在本章中，我們將定義達布積分，並證明達布積分與更廣為人知的黎曼積分的等價性。

構造

與 黎曼積分 不同，這種積分將放棄函式 ƒ 的一個假設——它必須是連續的。 它只會假設函式 ƒ 在 [a,b] 上是有界的。 當然，可以假定實分析課程的正常假設，例如函式只在關注的區間上對實數進行操作（即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$)

劃分

我們將修改達布積分的劃分定義，以便值 a 和 b 也包含在集合中。 為了完整起見，我們將再次寫出這個新定義。

定義 劃分 ${\mathcal {P}}$ 區間 $[a,b]$

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一組有限的實數，使得 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$. 它通常表示為 ${\mathcal {P}}=(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$，其中離散寫入的 x 的數量是任意的。

定義 劃分點

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劃分 集合中的一個元素。

現在，我們將忽略對這些值的實際索引過程。 但是，應該注意的是，我們對劃分的定義沒有對數字之間關係做出任何宣告； 這些值不一定均勻分佈——但它們可以。

上和與下和

令 ${\mathcal {P}}$ 是 $[a,b]$ 的一個劃分

對於每個 $x_{i}\in {\mathcal {P}}$，您可以定義兩個特殊數字

$m_{i}\,{\dot {=}}\,\inf {\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}$ 以及

$M_{i}\,{\dot {=}}\,\sup {\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}$

這兩個變數的文字定義更加清晰；m_i 定義了兩個分割點之間所有有效 ƒ(x) 值的下確界，而 M_i 定義了兩個分割點之間所有有效 ƒ(x) 值的上確界。

接下來，我們將定義達布積分的關鍵函式元件，即和式。

對於 ${\mathcal {P}}$，$f$ 的 *上和式* 的定義

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一個函式，記為 $U(f,{\mathcal {P}})$，定義為 $\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

對於 ${\mathcal {P}}$，$f$ 的 *下和式* 的定義

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一個函式，記為 $L(f,{\mathcal {P}})$，定義為 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

從幾何學的角度來看，你會注意到這兩個和式本質上都是各種矩形面積的加和，由於長度的定義分別是上確界或下確界，因此這些矩形與函式 ƒ 相關聯。

需要注意的是，雖然上和式和下和式借用了函式符號，但它們並不一定是以通常意義上的函式。它們以分割作為輸入，分割的大小是自然數。函式 ƒ 被視為一個固定的常數。

實際上，要得到達布積分，只需要再進行一個構造。唯一的難題是？最後一步是將上和式和下和式聯絡起來。畢竟，從這個函式生成的矩形留下了很多空隙，因為分割點太少。分割點越多，M_i 和 m_i 就越趨近於同一個值。現在接下來的任務應該很清楚了；我們需要證明上和式和下和式可以收斂到一個點。

細化

構造的倒數第二部分要求我們證明以下兩個關於分割和和式的引理

1. $L(f,{\mathcal {P}})\leq L(f,{\mathcal {P}}^{*})$
2. $U(f,{\mathcal {P}})\geq U(f,{\mathcal {P}}^{*})$

請原諒，在我們分析這個陳述之前，我們需要先定義帶星號的劃分 *P* 的含義。

定義劃分 ${\mathcal {P}}^{*}$ 的 *細化* ${\mathcal {P}}$

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一個劃分，使得 ${\mathcal {P}}^{*}\supset {\mathcal {P}}$。或者，${\mathcal {P}}^{*}$ 在相同區間 [a,b] 上比 ${\mathcal {P}}$ 有更多的劃分點。

好的，為什麼我們需要證明這一點？很簡單，這些不等式表明，更多的劃分會導致對實際面積更好的近似。下界將隨著它接近“面積”而增加，而上界將隨著它接近“面積”而減少。這個事實應該很直觀，以至於你可能從未想過要證明它。然而，我們現在將證明這個引理。這將是達布積分拼圖的最後一塊。

這個證明很簡單，只需要不等式代數。

證明更精細的劃分的下和永遠不會更小

現在，讓我們假設 ${\mathcal {P}}^{*}$ 比 ${\mathcal {P}}$ 多一個劃分點（我們將在後面用這個特例來證明一般情況）。鑑於此，在我們的證明中，我們只需要從這些劃分中使用三個劃分點：僅在 ${\mathcal {P}}^{*}$ 中找到的額外劃分點，以及在 ${\mathcal {P}}^{*}$ 和 ${\mathcal {P}}$ 中都找到的兩個相鄰的劃分點。	令 $x_{i},x_{i-1}\in {\mathcal {P}}$，並令 $x^{*}\in {\mathcal {P}}^{*}\setminus {\mathcal {P}}$，使得 $x_{i-1}<x^{*}<x_{i}$.
現在，我們將為這些劃分點生成特定的下確界變數 *mi*。它們被賦予變數名 *m′* 和 *m″*。	令 $m'_{i}=\inf\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x^{*}]\}$ 以及 $m''_{i}=\inf\{f(x)\,|\,x\in [x^{*},x_{i}]\}$
我們將使用所有這些變數來表示精細分割的下和與分割的下和的關係。	${\begin{aligned}L(f,{\mathcal {P}})&=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}{\text{ and }}\\L(f,{\mathcal {P}}^{*})&=\sum _{i=1}^{x^{*}-1}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\\&+m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})\\&+\sum _{i=x^{*}+1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\end{aligned}}$
最後比較這兩個方程之間的關係可以簡化為去除求和符號（透過減法），得到如下結果：	$m_{i}(x_{i}-x_{i-1}){\text{ and }}m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})$
鑑於我們有兩個下確界，它們是在同一個分割點之間的，而不僅僅是一個，所以這個關係應該很明顯。這意味著透過一個分割點進行精細分割的分割更大。	$m_{i}(x_{i}-x_{i-1})\leq m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})$
使用遞迴，可以獲得任意大小的精細分割。以下數學語句描述了遞迴過程。	${\mathcal {P}}\subset {\mathcal {P}}^{1}\subset {\mathcal {P}}^{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {P}}^{*}$
$\blacksquare$

類似地，我們可以證明 $U(f,{\mathcal {P}})>U(f,{\mathcal {P}}^{*})$，使用相同的方法，只需反轉必要的函式即可。

收斂

現在我們已經證明了我們的直覺是正確的；更多的分割槽將從下限和上限產生更接近的近似值，很公平地看看我們是否可以將它們結合起來。如果我可以隨意使用數學符號，它可以被描述為

$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\rightarrow {\text{``Area''}}\leftarrow U(f,{\mathcal {P}}_{2})$

當上限（高估的面積）大於實際的“面積”，而下限（低估的面積）小於實際的“面積”，但當分割槽變得更細時，它們都收斂於“面積”。然而，這樣想會讓我們避免我們收集的數學部分，這些部分也可以公平地構建我們的積分。證明達布積分的路線圖將引導我們到最後一塊，

$L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})$

其中 ${\mathcal {P}}$ 可以被認為是一個足夠完整的分割槽，可以產生完美的近似。為了解釋的目的，我們將它稱為**完美分割槽**，儘管重要的是**完美分割槽**不是無限的。但是，您可能想知道如何解決這個問題；前面的引理沒有對上下限進行任何比較。這就是我們準備證明這一點的原因

$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\leq U(f,{\mathcal {P}}_{2})$

當 ${\mathcal {P}}_{1}$ 和 ${\mathcal {P}}_{2}$ 是 [a,b] 的任何分割槽。是的，它們不需要是相同的分割槽，只要它們在相同的區間 [a,b] 上。這實際上會更簡單，因為我們的證明將使用這兩個和作為界限——我敢將其比作擠壓嗎？

證明和收斂

假設 ${\mathcal {P}}_{1}$ 和 ${\mathcal {P}}_{2}$ 是主分割槽的子集，我們可以使用我們的引理不斷細化我們的分割槽，直到它們變成**完美分割槽**。	$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\leq L(f,{\mathcal {P}})$ $U(f,{\mathcal {P}}_{2})\geq U(f,{\mathcal {P}})$
即使在建立**完美分割槽**的過程中，也可以注意到上限大於下限。這是由於上確界根據定義大於或等於任何其他值。我們可以排除下限大於上限的情況。	$L(f,{\mathcal {P}}^{n})\leq U(f,{\mathcal {P}})$
說到這裡，我們也可以想象和的上確界/下確界也會遵守保持上限地位的這個性質。	$\sup\{L(f,{\mathcal {P}}^{n})\}\leq \inf\{U(f,{\mathcal {P}})\}$
對函式使用上確界和下確界模擬了 *完美分割* 的行為。	$\sup\{L(f,{\mathcal {P}}^{n})\}=L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})=\inf\{U(f,{\mathcal {P}})\}$
我們無法得出證明的結論。	$\blacksquare$

結論

我們遇到了一個障礙。我們最後的步驟得出了關於下和上和的非常奇怪的答案。也就是說它們不是相等，而是不等式

$L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})$

其中數字的確定性仍然未知。但是，我們可以透過將其分成兩種情況並驗證其中一種來輕鬆規避這個問題。我們所說的驗證是什麼意思？我們可以將積分（即達布積分）定義為確保上和和下和相等的數字。然後，我們可以將無效積分定義為保持不等式。用數學符號表示，我們將積分定義為

$L(f,{\mathcal {P}})=U(f,{\mathcal {P}})$

並拒絕所有其他情況作為無效積分。

從這裡，我們自下而上完成了達布積分的構建.

定義

在 $[a,b]$ 上的函式 ƒ 的 *達布可積* 定義是

備用符號注意。這兩個定義是等價的，只是為了澄清令人困惑的符號。

1. 當且僅當 $\sup _{\mathcal {P}}L(f,{\mathcal {P}})=\inf _{\mathcal {P}}U(f,{\mathcal {P}})$，其中上確界取自該區間上的 所有分割的集合
2. 當且僅當 $\sup {\{L(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}=\inf {\{U(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}$

它通常表示為

1. $\int _{a}^{b}f$
2. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

取決於您是否願意顯式地寫出函式 (#2) 或用名稱寫出 (#1)

備註

1. 當然，函式必須是實數函式，即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$.
2. 達布積分的定義基於唯一性的條件，與本華夏公益教科書中其他概念不同，例如極限，極限是根據定義推匯出的。

性質

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

$f$ 在 $[a,b]$ 上達布可積當且僅當對於任意 $\varepsilon >0$，存在一個在 $[a,b]$ 上的分割 ${\mathcal {P}}$ 使得 $U(f,{\mathcal {P}})-L(f,{\mathcal {P}})<\varepsilon$

證明

($\Rightarrow$)令 $A=\int _{a}^{b}f$ 並且令 $\varepsilon >0$ 為給定值。因此，根據間隙引理，存在一個分割 ${\mathcal {P}}$ 使得 $U(f,{\mathcal {P}}),L(f,{\mathcal {P}})\in V_{\frac {\varepsilon }{2}}(A)$，因此 $U(f,{\mathcal {P}})-L(f,{\mathcal {P}})<\varepsilon$

($\Leftarrow$)設 ${\mathcal {P}}_{0}$ 是 $[a,b]$ 上的任意一個劃分。觀察到 $L(f,{\mathcal {P}}_{0})$ 是集合 ${\mathcal {U}}=\{U(f,{\mathcal {P}})|{\mathcal {P}}$ 是任意一個劃分$\}$ 的下界，並且 $U(f,{\mathcal {P}}_{0})$ 是集合 ${\mathcal {L}}=\{L(f,{\mathcal {P}})|{\mathcal {P}}$ 是任意一個劃分$\}$ 的上界。

因此，設 $\alpha =\sup {\mathcal {L}}$ 且 $\beta =\inf {\mathcal {U}}$。因為 $L(f,{\mathcal {P}})<U(f,{\mathcal {P}})$，因此 $\alpha >\beta$ 不可能成立。同樣，因為 $\alpha ,\beta$ 分別是上確界和下確界，$\alpha <\beta$ 也不可能成立。因此，$\alpha =\beta =L$ （假設）。

當 $L=\sup _{\mathcal {P}}L(f,{\mathcal {P}})=\inf _{\mathcal {P}}U(f,{\mathcal {P}})$，我們有 $\int _{a}^{b}f=L$

黎曼積分與達布積分的等價性

乍一看，達布積分似乎是黎曼積分的特例。然而，這是一種錯覺，實際上兩者是等價的。

引理

(1) 令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 為達布可積函式，其積分值為 $L$

定義函式 $\varepsilon (\delta )=\sup\{|L-S(f,{\dot {P}})|:\|{\dot {P}}\|=\delta \}$

(2) 則 $\delta _{1}<\delta _{2}$ $\Rightarrow$ $\varepsilon (\delta _{1})<\varepsilon (\delta _{2})$

證明

令 $\delta _{1}<\delta _{2}$。考慮標記分割槽集 ${\dot {P}}$，使得 $\varepsilon (\delta _{1})\leq |L-S(f,{\dot {P}})|$

令 $T'$ 是 ${\dot {P'}}$ 的集合，其中 ${\dot {P'}}\subset {\dot {P}}\in T$ 且 $\|{\dot {P'}}\|=\delta _{2}>\delta _{1}$

注意 $T'\neq T$ 並且集合 $T'$ 確實包含所有劃分 ${\dot {P'}}$ ，其中 $\|{\dot {P'}}\|=\delta _{2}$

現在，對於 ${\dot {P}}\in T$ ，我們可以構造 ${\dot {P'}}\in T'$ 使得 $|L-S(f,{\dot {P'}})|>|L-S(f,{\dot {P}})|$

因此， $\displaystyle \sup _{{\dot {P}}\in T}\{|L-S(f,{\dot {P}})|\}<\sup _{{\dot {P'}}\in T'}\{|L-S(f,{\dot {P'}})|\}$

即 $\varepsilon (\delta _{2})>\varepsilon (\delta _{1})$

定理

令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$

(1) $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積當且僅當

(2) $f$ 在 $[a,b]$ 上達布可積

證明

($\Rightarrow$) 令 $\epsilon >0$ 為給定值。

(1) $\Rightarrow$ $\exists$ 帶標記的分割槽 ${\dot {P}}$ 使得 $|S(f,{\dot {P}})-L|<{\frac {\epsilon }{2}}$.

令分割槽 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 為 ${\dot {P}}$ 的相同細化，但標記不同。

因此， $|S(f,P_{1})-S(f,P_{2})|<\epsilon$ $\forall$ $P_{1}$ 和 $P_{2}$

即，根據三角不等式，$|S(f,P_{1})|-|S(f,P_{2})|<\epsilon$

間隙引理 $\Rightarrow$ $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$,

$\epsilon >0$ 是任意的，根據定理 2.1，我們有 $f$ 是 Darboux 可積的。

($\Leftarrow$) 設 $\epsilon >0$ 是給定的。

(2), 定理 2.1 $\Rightarrow$ $\exists$ 分割 $P$ 使得 $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$

因此，$|L-S(f,P)|<\epsilon$ 因為 $L(f,P)\leq S(f,P)\leq U(f,P)$

根據引理 3.1，$|L-S(f,P')|<\epsilon$ 如果 $\|P'\|<\|P\|$

因此，如果我們設定 $\delta =\|P\|$，我們有 (1)

我們在這裡注意到，這個證明中的關鍵要素是引理 3.1，因為它本質上給出了 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 之間的順序關係，而這種關係在黎曼或達布克斯定義中都不直接存在。