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實分析 微積分基本定理

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微積分基本定理通常被認為是微積分的核心定理。雖然它可以自然地從微分和積分的正式定義中推匯出來，但它的結果開闢了一個更廣泛的數學領域，足以證明整個微積分作為數學學科的合理性。

你會驚訝地發現，實際上有兩個定理構成了微積分基本定理。它們都用來證明微分和定積分之間的關係，但第一個證明它們互為反函式，只是在它們相互抵消操作的意義上，而第二個證明存在一種使用反導數計算定積分的方法。這個定理，很像極限的概念，將構成未來定理的支柱，所以理解這些定理的功能至關重要。因此，本節的佈局與極限部分的佈局類似。

定義

理解這些定理的實際陳述至關重要，這些陳述在下面突出顯示

微積分第一基本定理

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給定一個連續函式ƒ和一個函式F，它們都在某個閉區間 I 上，如果形式$F=\int _{a}^{x}{f}$成立，那麼它意味著$F'=f$也成立。

微積分第二基本定理

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如果ƒ可積，並且ƒ是另一個函式g的微分，那麼定積分被定義為$\int _{a}^{b}{f}=g(b)-g(a)$.

但是，與極限部分不同的是，這不是一個主要基於一致數學概念的定義，就像極限一樣，它的定義只需要一個定理來證明，而是一個依賴於幾個概念共同運作而不會產生矛盾的定理。畢竟，微分是由極限和積分求和組成的。聲稱它們之間存在關係，除非得到證明，否則在數學上可能造成災難。因此，我們將在下一節正式證明這種關係是有效的。

證明

以下是證明我們之前斷言的，實際上證明了微積分基本定理的，不是一個，而是兩個證明。它們都主要依賴於微分和積分的定義，但它們根據使用的積分型別而有所不同。前兩個使用積分的定義，其中上下界被定義（達布積分），後兩個依賴於積分的定義，其中只使用單個求和（黎曼積分）。儘管如此，由於兩者已經被證明是等價的，所以任何證明都足夠。令人驚訝的是，以下證明並不複雜。無論達布還是黎曼版本的證明，都沒有依賴任何新概念，因此不需要證明新的假設。因此，閱讀將類似於前一部分中所學定理的簡單應用，即您選擇的積分。

達布

以下證明使用達布積分。一般的策略是利用微分和積分的定義，透過巧妙的操作來獲得一個蘊涵。然而，它依賴於比黎曼版本更多的定理。

第一基本定理

像往常一樣，將左導數和右導數留給您。

使用達布積分證明第一基本定理

給定函式 $F$ 及其定義，我們將假設兩件事。首先是以下數學陳述。其次是引入變數 $h$ ，我們將在稍後使用它，並附帶其隱含的意義。請注意，當 $h<0$ 時，會導致略微不同的數學運算（不等式的位移和積分位置，但並不嚴重）。然而，令人驚訝的是，它並不是一個主要問題，所以我們將忽略它（如果您好奇如何證明我們是對的或錯的，問題集中要求進行這個證明 - 並且您所證明的答案已從本節中刪除）。在證明的剩餘部分，我們將假設 $h>0$ 。	$F(x+h)-F(x)$
以下數學陳述意味著這個等式	$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{x}^{x+h}{f}$
為了利用這個積分，我們現在將定義函式 $f$ 的一個上確界/下確界，使它們代表積分的最高/最低可能逼近。它將根據變數 $h$ 的值而受到影響。	${\begin{aligned}m_{h}&=\inf {\Big \{}f(x)\mid x\in [c,c+h]{\Big \}}\\M_{h}&=\sup {\Big \{}f(x)\mid x\in [c,c+h]{\Big \}}\end{aligned}}$
現在，我們可以聲稱以下不等關係（證明見Darboux 積分 部分），可以透過代數運算得到以下結果。	${\begin{aligned}m_{h}\cdot h&\leq \int \limits _{x}^{x+h}f\leq M_{h}\cdot h\\m_{h}&\leq {\frac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f\leq M_{h}\\m_{h}&\leq {\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\leq M_{h}\\\end{aligned}}$
我們可以對整個不等式應用極限。現在導數的答案源於夾逼定理。 考慮到 $m_{h}$ 和 $M_{h}$ 使用的區間依賴於變數 $h$ ，對 $h$ 應用極限會將區間縮減為單個 $x$ 變數，這意味著由 $f(x)$ 組成的一個集合的上確界/下確界是不言而喻的。因此，中間的答案，現在完全是 $F$ 導數的定義，就是 $f$ ，這就是我們想要證明的。	${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{m_{h}}&\leq \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\leq \lim _{h\to 0}{M_{h}}\\f(x)&\leq \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\leq f(x)\\F'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}=f(x)\end{aligned}}$

黎曼

以下證明使用黎曼積分。 我們的總體策略是使用極限的定義來推匯出結論。 對於那些不熟悉極限的人來說，達布版本 可能更容易理解。

第一基本定理

這離最初的定義有點遠，所以我們將重申我們要證明的內容。

給定以下條件

• $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 在 $c\in [a,b]$ 處連續
• $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ 是 $f$ 的不定積分

然後，我們應該證明以下關係式是有效的 $F$ 在 $c$ 處可微，且 $F'(c)=f(c)$

Let $\varepsilon >0$ be given, and let $x\in [a,b]$ but $x\neq c$ Observe that $F(x)-F(c)=\int _{c}^{x}f=L$(say). There exists $\delta >0$ such that if a partition $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ then, $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<\varepsilon |x-c|$ (note that in this proof, all the Riemann sums are over the interval $[c,x]$). As $f$ is integrable over $[c,x]$, it is bounded over that interval. Hence, let $M=\sup f([c,x])$. Thus, $S(f,{\mathcal {\dot {P}}})\leq \sum _{i=1}^{n}M(x_{i}-x_{i-1})=M(x-c)$ As $f$ is continuous at $c$, there exists $\delta >0$ such that $M(x-c)-S(f,{\mathcal {\dot {P}}})<\varepsilon |x-c|$ whenever $|x-c|<\delta$. Now consider $x\in V_{\delta }(c)$ Then, $\left|{\tfrac {F(x)-F(c)}{x-c}}-f(c)\right|=\left|{\tfrac {L}{x-c}}-f(c)\right|<\left|{\tfrac {S(f,{\mathcal {\dot {P}}})+\varepsilon |x-c|}{x-c}}-f(c)\right|<\left|{\tfrac {M(x-c)+2\varepsilon |x-c|}{x-c}}-f(c)\right|$

也就是說，$<\left|{\tfrac {f(c)(x-c)+3\varepsilon |x-c|}{x-c}}-f(c)\right|<3\varepsilon$

也就是說，$\lim _{x\to c}{\frac {F(x)-F(c)}{x-c}}=f(c)$，或 $F'(c)=f(c)$

微積分第二基本定理

這離最初的定義有點遠，所以我們將重申我們要證明的內容。

給定以下條件

• $f,F:[a,b]\to \mathbb {R}$
• $F$ 在 $[a,b]$ 上可微，並且對於所有 $x\in [a,b]$ 有 $F'(x)=f(x)$
• $f$ 在 $[a,b]$ 上是黎曼可積的。

然後，我們應該證明以下關係式是有效的 $\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Let $\int _{a}^{b}f=L$ and let $\varepsilon >0$ be given. Then, there exists $\delta >0$ such that for a partition $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ implies that $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<\varepsilon$ Consider a partition ${\mathcal {P}}$ and let $x_{i-1},x_{i}\in {\mathcal {P}}$. By Lagrange's Mean Value Theorem, we have that there exists $c_{i}\in (x_{i-1},x_{i})$ that satisfies ${\frac {F(x_{i})-F(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}}=F'(c_{i})=f(c_{i})$ Let the tagged partition ${\mathcal {\dot {P}}}$ be the partition ${\mathcal {P}}$ along with the tags $c_{i}$ Thus, $S(f,{\mathcal {\dot {P}}})=\sum _{i=1}^{n}f(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {F(x_{i})-F(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}}(x_{i}-x_{i-1})=\sum _{i=1}^{n}(F(x_{i})-F(x_{i-1}))=F(b)-F(a)$ But we know that $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<\varepsilon$ and hence, $|F(b)-F(a)-L|<\varepsilon$. As $\varepsilon >0$ is arbitrary, $|F(b)-F(a)-L|=0$ that is, $\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

推論

根據定義，有很多解釋。

附加內容

這裡有一個額外的概念，供您參考（如果您不理解積分到可變界限）。

不定積分

設 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 在 $[a,b]$ 上是黎曼可積的。

我們定義 $f$ 的 **不定積分** 為函式 $F:[a,b]\to \mathbb {R}$，它由下式給出：

$F(x)=\int _{a}^{x}f$，對於所有 $x\in [a,b]$