實分析/極限

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實分析 極限

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理解極限的挑戰不在於其定義，而在於其執行。成功地完成極限證明，使用 ε-δ 定義，需要同時學習許多不同的概念——其中大多數在之前的數學學習中並不熟悉。本章將作為導航這些證明的指南，因為這裡的技巧將在更高的數學中對你大有幫助。

定義

在普通實分析中，極限的定義表示為

$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$

一種理解極限定義的方法，也是你可能學過的方法，是：$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$意味著我們可以透過使 x 接近 c 來使 f(x) 儘可能接近 L。然而，在實分析中，你需要對你的定義保持嚴謹——我們對極限有一個標準定義。

極限的符號實際上是對以下表達式的簡寫

"ƒ 接近 c 附近極限 L" 的定義

---

給定一個函式 ƒ；一個極限 L；和一個接近值 c，∀ε > 0，∃δ > 0 使得 ∀x，$0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$.

這個定義讓很多人感到困擾，但因為它在高等數學中如此基礎，所以有許多方法可以幫助鞏固這個定義。本章將作為鞏固這個定義的行為的指南，並提供對使用這個定義的必要洞察，而練習將幫助你解開謎團，鞏固概念，並使你能夠正確地執行這個定義。

極限的推論

一個函式在接近無窮大時收斂於極限的圖形示例

對於給定的極限，用無窮大的概念工作是非常常見的。然而，無窮大的概念還沒有被很好地定義。直觀地，我們知道無窮大代表無窮無盡，它被表示為∞。然而，無窮大本身並不是一個數字。如果我們將無窮大像數字一樣使用，當前的極限定義就會失敗。如果你假設某個極限，其中c = ∞，並且我們使用原始定義，這意味著

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L$  意味著  $\forall M>0:\exists \delta :0<|x-\infty |<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$

這顯然是無稽之談！

1. 你不能 "減去無窮大" - 無窮大既不是一個數字，也不是一個真正的變數。
2. 無窮大不能被限制，但透過將無窮大放在$|a-b|<x$ 格式中，它意味著有界。

所以，需要重新編寫定義，這在下面的圖表中完成。當 x 接近正無窮大或負無窮大時，或者當 ƒ(x) 收斂於正無窮大或負無窮大時，定義如下

注意
是的，逼近 和 收斂 的區別很重要。您可以將其視為分別引用 Δ 或 ε。

ε-δ 定義的變體

符號	公式
$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty$	$\forall N>0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies f(x)>N$
$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=-\infty$	$\forall N>0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies f(x)<-N$
$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L$	$\forall \epsilon >0:\exists M:x>M\implies |f(x)-L|<\epsilon$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=L$	$\forall \epsilon >0:\exists M:x<-M\implies |f(x)-L|<\epsilon$
$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$	$\forall N>0:\exists M:x>M\implies f(x)>N$
$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=-\infty$	$\forall N>0:\exists M:x>M\implies f(x)<-N$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$	$\forall N>0:\exists M:x<-M\implies f(x)>N$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty$	$\forall N>0:\exists M:x<-M\implies f(x)<-N$

請注意以下變數

1. N 通常表示無窮大極限，類似於 ε。
2. M 通常表示無窮大極限，類似於 δ。

我們只使用大寫 N 和 M，因為 ε 和 δ 的含義是它們是小的數字。大寫 N 和 M 則具有相反的含義。

概念化

極限的概念：當一個點 x 處於 c 的 δ 單位內時，f(x) 處於 L 的 ε 單位內。

1. 對於所有 ε，只有 ε 變數將用於推匯出 δ。

   這個強有力的說法基本上說明了 δ 與 ε 的關係。為了暫時避免嚴格的數學語言，可以將 δ 想象成一個輸出 ε 的函式。這實際上很重要，因為δ 和 ε 都不能包含變數，例如 x，作為其公式的一部分。

2. ε 和 δ 應該代表邊界。

   因此存在絕對值符號。它們在數學上等同於寫 $-\delta <x-c<\delta$ 和 $-\epsilon <f(x)-L<\epsilon$，這更能體現出它們的邊界性質。

3. 這個極限定義旨在忽略 f(c) 的值，以及 c 是否在 ƒ 的定義域內。

   要求 $|x-c|>0$ 為研究微積分提供了吸引力，因為它消除了分析該點行為的技術性（通常該點本身是未定義的）。它是從數學角度實現了一個想法，即一個函式在某個點附近的行為不應該受到其在該點處的行為的影響。因此，f(x) 不需要在 c 處定義即可在該處有極限。

屬性

鑑於極限是微積分的基本概念，因此應該合理地預期極限應該具有一些引人入勝的屬性，既可以保證分析，也可以成為初等數學、應用數學和高等數學中必不可少的數學主題。

唯一性

一個極限是唯一的，也就是說，如果輸入相同，則始終只有一個答案。這通常被重新表述為“一個函式不能在c處趨近於兩個不同的極限”。極限具有唯一的答案非常重要，因為如果它們沒有，那麼極限的使用將變得如此複雜，以至於它將變得不可用。

定理

---

假設一個函式 ƒ，當 x 趨近於 c 時，其極限收斂於 L。如果 ƒ 在趨近於 c 時的極限也收斂於 M，則 L = M

代數運算

如果 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$，並且 $\lim _{x\rightarrow c}g(x)=M$，則

極限的代數運算列表

名稱	意義
加法	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=L+M$
減法	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)-g(x)}=L-M$
加法	$\lim _{x\rightarrow c}af(x)=a\cdot \lim _{x\rightarrow c}f(x)=aL$
乘法	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)\cdot g(x)}=L\cdot M$
倒數	$\lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$	假設 $M$ 和 $\lim _{x\rightarrow c}g(x)$ 都非零。
除法	$\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L}{M}}$	假設 $M$ 和 $\lim _{x\rightarrow c}g(x)$ 都非零。

透過應用相應的序列極限定理，我們發現函式極限是唯一的——它們保留了代數運算和排序——並且相應的“夾逼定理”成立。

• 如果 $\exists \delta :f(x)>g(x)\forall x\in A$，則 $L>M$。

• $L=M,f(x)\leq h(x)\leq g(x)\implies \lim _{x\rightarrow c}h(x)=L$

• 如果 L = 0 且 h(x) 有界，則 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)h(x)=0$。

證明

對於各種運算，以下證明可能需要更多或更少的代數不等式操作知識。

加法

在所有運算中，加法運算的證明是最簡單的，因為它依賴於最少的代數不等式。

極限加法證明

假設當 x 趨近於 c 時，兩個函式 ƒ 和 g 的極限。方程如下。	$|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-L|<\epsilon _{1}$ $|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-M|<\epsilon _{2}$
由於兩個 ε-δ 描述都引用了 |x - c| 中的相同變數 x 和 c，我們可以透過 min 函式，確保在兩個不等式中都使用最小的界限（因為界限範圍對兩者都成立），將兩個方程結合起來。	$|x-c|<\delta _{1}{\text{ and }}|x-c|<\delta _{2}\implies$ $|x-c|<\delta =min(\delta _{1},\delta _{2})$
由於對 δ 的約束，前一個表示式，根據我們的陳述它是一個極限的定義，必須暗示 ε 表示式。然而，由於前一個表示式包含了兩個 ε，現在它同時暗示了兩個 ε。	$|x-c|<\delta =min(\delta _{1},\delta _{2})\implies$ $|f(x)-L|<\epsilon _{1}{\text{ and }}|g(x)-M|<\epsilon _{2}$
同樣，鑑於整個 δ 表示式是共享的，因此可以用相同的 ε 來約束兩個函式 ƒ 和 g 的 ε 值。具體來說，是 ε 的一半，比你想象的小。	$|f(x)-L|<\epsilon _{1}{\text{ and }}|g(x)-M|<\epsilon _{2}\implies$ $|f(x)-L|<{\frac {\epsilon }{2}}{\text{ and }}|g(x)-M|<{\frac {\epsilon }{2}}$
我們不能像對 δ 不等式那樣強制將 ε 不等式合併在一起，因為絕對符號中的變數不同，因此不代表相同的變數。但是，我們知道 a + c < b + d (問題 1.II) 並且 |x + y| ≤ |x| + |y| (問題 1.I)，因此我們可以將這兩個 ε 不等式合併起來，形成	$|f(x)-L|<{\frac {\epsilon }{2}}{\text{ and }}|g(x)-M|<{\frac {\epsilon }{2}}\implies$ ${\begin{aligned}|f(x)-L|+|g(x)-M|&<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\|f(x)-L+g(x)-M|&<\epsilon \\|(f(x)+g(x))-(L+M)|&<\epsilon \end{aligned}}$
最終的表述可以用極限符號表示為	$|x-c|<\delta \implies |(f(x)+g(x))-(L+M)|<\epsilon$ ${\text{ means }}\lim _{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=L+M$
$\blacksquare$

減法

減法透過設想一個函式 *h* 為函式 *g* 的負函式來證明。換句話說，在證明中將函式 *g* 想象成一個負函式的變數。

$\blacksquare$

乘法

在這些運算中，乘法的證明最為複雜，因為它依賴於最多的不等式代數運算。它還需要一個看似人為的引理來運作。我們先從證明引理開始，它僅僅是關於不等式的代數關係，類似於二項式定理將項的求和與乘積聯絡起來。

引理證明

引理指出	${\text{If }}|a-c|<\min \left(1,{\frac {x}{2(|d|+1)}}\right){\text{ and }}|b-d|<{\frac {x}{2(|c|+1)}}$ ${\text{then }}|ab-cd|<x$, 對於任何數 *a*, *b*, *c* 和 *d*；以及 *x* > 0。
第一步是將 min 函式分解成兩種情況。	$|a|<1+|c|$ 以及 $|a-c|<{\frac {x}{2(|d|+1)}}$
然後，將主函式改寫成允許代入的形式。	${\begin{aligned}|ab-cd|&=|a(b-d)+d(a-c)|\\&\leq |a||b-d|+|d||a-c|\\&<(1+|c|)\cdot {\frac {x}{2(|c|+1)}}+|d|\cdot {\frac {x}{2(|d|+1)}}\\&<{\frac {x}{2}}+{\frac {|d|}{|d|+1}}\cdot {\frac {x}{2}}\\&<{\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}\\&<x\end{aligned}}$
$\blacksquare$

正如您所見，引理本身描述了數字之間一個簡單易證且有效的，但非常人為且不自然的關係。但這種關係非常適合盲目地應用於極限，因為輸入的任何 a、b、c 和 d 值（即使是 0）都有效，而 x > 0 也是與 ε 變數相匹配的條件。

正如您將在下面看到的，我們將把這個引理應用於乘法。

極限乘法證明

假設當 x 趨近於 c 時，兩個函式 ƒ 和 g 的極限。方程如下。	$|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-L|<\epsilon _{1}$ $|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-M|<\epsilon _{2}$
由於兩個 ε-δ 描述都引用了 |x - c| 中的相同變數 x 和 c，我們可以透過 min 函式，確保在兩個不等式中都使用最小的界限（因為界限範圍對兩者都成立），將兩個方程結合起來。	$|x-c|<\delta _{1}{\text{ and }}|x-c|<\delta _{2}\implies$ $|x-c|<\delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})$
現在，假設 ε 等於以下公式，您可以看到 ε 本質上是數值的，因此原始函式沒有關係（這很好），並且它們現在具有與前面證明的引理相同的形式和條件（提醒一下，f 和 g 極限的 ε 值不必等於 ε，但最終結果應該相同）。	$|f(x)-L|<\min \left(1,{\frac {\epsilon }{2(|M|+1)}}\right){\text{ and }}|g(x)-M|<{\frac {\epsilon }{2(|L|+1)}}$ $\because |x-c|<\delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})\implies$ $|f(x)-L|<\epsilon _{1}{\text{ and }}|g(x)-M|<\epsilon _{2}$
因此，您可以應用引理來宣告該關係已被證明。	$|f(x)-L|<\min \left(1,{\frac {\epsilon }{2(|M|+1)}}\right){\text{ and }}|g(x)-M|<{\frac {\epsilon }{2(|L|+1)}}$ $\implies |(f(x)g(x)-LM|<\epsilon$ ${\text{which means }}\lim _{x\rightarrow c}{f(x)g(x)}=LM$
$\blacksquare$

加法

某個函式 f 的倍數的證明從乘法的證明得出。然而，它依賴於常數極限的證明。由於這些證明依賴於兩個先前的證明，而這兩個證明是穩健的（它們考慮了諸如 0 之類的東西），因此這個證明也一樣穩健，即使在 a = 0 時也能工作。

極限倍數證明

給定一個函式 f 和一個常數 a，極限可以首先使用極限的倍數進行簡化，然後使用常數函式的極限。	${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow c}{(a\cdot f(x))}&=\lim _{x\rightarrow c}{a}\cdot \lim _{x\rightarrow c}{f(x)}\\&=a\cdot \lim _{x\rightarrow c}{f(x)}\end{aligned}}$
$\blacksquare$

倒數

在所有運算中，倒數的證明與乘法的證明類似。它也需要看似人為的數學表示式之間的關係才能起作用，並依賴於以下論點：確保ε和δ有界性的公式或概念的定義，才是有效的極限的定義。總之，讓我們從“人為關係”開始。

引理證明

引理指出	${\text{If }}b\neq 0{\text{ and }}|a-b|<\min \left({\frac {|b|}{2}},{\frac {x|b|^{2}}{2}}\right)$ ${\text{then }}a\neq 0{\text{ and }}\left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|<x$, 對於任何數字 *a* 和 *b*。
第一步是將min函式分解為兩種情況。第一種情況可以簡化為以下形式。	${\begin{aligned}|a-b|&<{\frac {|b|}{2}}\\|b|-|a|\leq |b-a|=|a-b|&<{\frac {|b|}{2}}\\{\frac {|b|}{2}}-|a|&<0\\{\frac {|b|}{2}}&<|a|\end{aligned}}$
斷言 *a* 不等於 0 (*a* ≠ 0)，則可以對不等式斷言倒數定義	${\begin{aligned}{\frac {|b|}{2}}&<|a|\\{\frac {|b|}{2|a|}}&<1\\{\frac {1}{|a|}}&<{\frac {2}{|b|}}\end{aligned}}$
回到最終目標不等式，我們現在將應用第二種情況和我們剛剛推匯出的結論來達到我們的結論。	${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|&=\left|{\frac {b-a}{ab}}\right|\\&={\frac {|b-a|}{|ab|}}\\&={\frac {1}{|a|}}\cdot {\frac {|b-a|}{|b|}}\\&<{\frac {2}{|b|}}\cdot {\frac {x|b|^{2}}{2|b|}}\\&<x\end{aligned}}$
$\blacksquare$

如你所見，引理本身描述了數字之間一個簡單易證且**有效**的關係，儘管它看起來很牽強且不自然。但這種關係非常適合盲目地應用於極限，因為任何輸入的 a 和 b 值（不包括 0）都適用，而 x > 0 的條件與 ε 變數相匹配。

正如你將在下面看到的，我們將把這個引理應用於倒數。注意，證明是一個簡單的斷言語句。

倒數極限的證明

給定一個函式 ƒ 的倒數的極限，我們可以斷言 ε 的關係與前面表格中證明的引理相似。由此，你可以得出相同的結論。	$0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$ ${\text{Assert }}\epsilon =\min \left({\frac {|L|}{2}},{\frac {\epsilon |L|^{2}}{2}}\right)$ $|f(x)-L|<\min \left({\frac {|b|}{2}},{\frac {x|b|^{2}}{2}}\right)\implies \left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{L}}\right|<\epsilon$
$\blacksquare$

除法

函式 ƒ 除以 g 的證明是基於乘法極限和倒數極限證明的推論。

極限除法的證明

給定函式 ƒ 和 g，極限可以表示為分母與分子倒數的乘積。由此，結果如所示。	${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(x)}{g(x)}}&=\lim _{x\rightarrow c}{f(x)}\cdot \lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{g(x)}}\\&=L\cdot {\frac {1}{M}}\\&={\frac {L}{M}}\end{aligned}}$
$\blacksquare$

與往常一樣，這個證明有一個明顯的限制，即 *M* 不能為 0。

函式的極限

在這裡，我們將證明你可能會經常看到的許多函式的答案。與往常一樣，下面提供了以下表格以供快速回憶。

極限的代數運算列表

名稱	意義
常數	$\lim _{x\rightarrow c}{a}=a$
線性	$\lim _{x\rightarrow c}{z}=c$

注意，對於線性函式，我們使用 *z* 代替通常的 *x*，因為變數名 *x* 已經定義並被極限符號使用。

序列的極限

注意
以下標題需要了解 序列。

考慮序列 $(x_{n})=({\frac {1}{n}}),(y_{n}=({\frac {-1}{n}})$。它們都收斂於零，但 $(f(x_{n}))=1$ 和 $(f(y_{n}))=0$，並且當 $n\rightarrow \infty$ 時，它們的極限不同。因此極限不存在。

間斷點的極限

注意
以下標題需要了解 連續性。

我們將在關於連續性的部分中給出更多示例。雖然間斷性在使用連續性時更重要（在 下一章 中介紹），但間斷性的定義實際上是根據極限定義的。

點間斷

點間斷的一個例子是函式

示例 1

$f(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x=0\\0&{\mbox{if }}x\not =0\\\end{cases}}$

示例 2

$g(x)={\frac {x(x-1)}{x-1}}$

對於以下函式，

示例 1

$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$

示例 2

$\lim _{x\rightarrow 1}f(x)=1$

證明如下

跳躍間斷

• 設 $f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\leq 0\\1&{\mbox{if }}x>0\\\end{cases}}$。那麼 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$ 不存在。

不尋常函式的極限

這裡許多示例可能看起來有點牽強，甚至證明也相當難看，但如果操作正確，這些示例（以及相關的練習）將不僅鞏固極限證明的方法，還會讓你理解數學如何利用驗證過的定理和行為來解決一些看似無解的問題。

我們的第一個例子，通常被用作展示函式可以有多麼糟糕（以及定義可以帶你走多遠）的演示，是

$f(x)={\begin{cases}1/q&{\mbox{if }}x{\text{ is rational, and thus }}x=p/q\\0&{\mbox{else}}\\\end{cases}},\forall x\in (0,1)$

對於函式 ƒ，$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=0$，對於域中的所有數字都成立。是的，真的。

理解這個陳述證明的第一步是停止將極限和連續性想象成一樣的——也就是說，如果這個問題的第一步是想象這個函式的圖形，然後在某種程度上放大，直到可以從圖形上推匯出答案。如果你是這樣思考如何解決這個問題的，不要感到沮喪；這種方法是對初等數學中常用的極限的簡化解釋，因此無論如何你都會對此感到熟悉。

這個證明展示了一種透過操作定理而不是運算元字或變數來形成epsilon-delta模型的數學證明方法，而epsilon-delta模型反過來意味著極限的有效性；極限的存在。它還展示了極限證明實際上是嘗試使用有效定理將兩個易於操作的不等式聯絡在一起的練習。

極限等於 0 的證明

透過驗證（透過推導）每個方面來斷言極限的定義是有效的。首先，我們可以假設 ε > 0，因為它在極限定義中也是假設的。我們還可以使用逼近的數字 c、極限 l 和函式 ƒ。從這裡，我們將根據 epsilon 賦值另一個變數 n，如相鄰列所示。	$n>{1}/{\epsilon }\implies \epsilon >1/n$
現在，假設集合 S 由所有大於 0、小於 1 且分母不能超過 n 的有理陣列成。這些要求通常被描述為左側的集合（儘管這個特定的描述更像是用於舉例說明一個元素不能彼此相等的集合）。 另外，我們將新增一個條件，即如果 c 是一個有理數，那麼它也不會在這個集合中。這個條件的解釋將在後面給出。	$S=\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},...,{\frac {1}{n}},...,{\frac {n-1}{n}}\right\}\backslash \{c\}$
從這裡可以明顯看出，這個集合是有限的，因為集合 S 的定義是列舉定義（它在數學上被證明，因為這個集合是透過分子、分母以及分子和分母的組合來限定的）。這個集合，因為它是一個集合，也包含一個獨特的數字列表。從這裡，你可以找到一個具有以下屬性的數字 k。換句話說，你可以找到最小的距離。	$\exists k\in S:|k-c|{\text{ is minimized}}$
我們將定義變數 δ 為以下內容。這意味著以下關係。 從這裡，你可以看到為什麼這個集合不能包含變數 c。如果它在那裡，delta 關係就會被破壞，從而破壞我們的證明。因此，我們把它從遊戲中移除，實際上，我們總是會有一些非零的 δ。	$\delta =|k-c|\implies 0<|x-c|<|k-c|=\delta$
這個定義的結果不僅僅是 x 必須小於 k。如果 x 是無理數，那麼透過代理變數 n 從 epsilon 值中推匯出 delta 的方法是有效的，並且以下極限解釋也是有效的。	$0<|x-c|<|k-c|=\delta \implies |f(x)-0|=0<\epsilon$ 和 $\epsilon >1/n$
同樣，如果 x 是有理數，那麼 x 按照定義不能是集合 S 的成員，因此意味著透過代理變數 n 從 epsilon 值中推匯出 delta 的方法是有效的，並且以下極限解釋也是有效的。	$0<|x-c|<|k-c|=\delta \implies |f(x)-0|<\epsilon$ 和 $\epsilon >1/n$
$\blacksquare$

下一個類似的例子是

注意
這個函式在其定義域的任何點上也是不連續的。

$g(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Q} \\0&{\mbox{else}}\\\end{cases}}$

對於函式 *g*，$\lim _{x\rightarrow c}g(x)$ 對於任何 $c\in \mathbb {R}$ 都不存在。

給定 $x\in R$，令 $x_{n}$ 是區間 $({\frac {-1}{n}},{\frac {1}{n}})$ 中的任何有理數，並令 $y_{n}$ 是同一個區間 ($x_{n}$ 和 $y_{n}$ 中的任何無理數（有理數和無理數的稠密性保證了 $x_{n}$ 和 $y_{n}$ 的存在）。給定任何 $\epsilon >0,|x_{n}-0|<{\frac {1}{n}}$ 和 $|y_{n}-0|<{\frac {1}{n}}$，所以 $(x_{n}),(y_{n})\rightarrow 0$。然而，(g(x_n)) = 1 且 (g(y_n)) = 0，因此它們的極限分別為 1 和 0。由於它們不相等，$\lim _{y\rightarrow x}g(y)$ 不存在。

附錄

在本節中，我們將進一步探討極限相關的主題。首先，我們將回顧函式的本質。請記住，從集合 X 到集合 Y 的函式是一個對映 $f:X\rightarrow Y$，使得對於每個 $x\in X$，f(x) 都是 Y 中唯一的元素。在分析中，我們通常討論從實數子集 $A\subseteq \mathbb {R}$ 到 $\mathbb {R}$ 的函式。

函式極限的定義與序列極限的定義非常相似。事實上，正如我們將在後面看到的那樣，可以使用序列極限來定義函式極限。然而，現在讓我們重新評估給定一個廣義函式的函式 ƒ 的極限定義。

給定一個子集 $A\subset \mathbb {R}$ 和一個函式 $f:A\rightarrow \mathbb {R}$，我們說 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$，如果 $\forall \epsilon >0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$

序列極限

思考實數建立在自然數和其他數的基礎上（正如我們在本華夏公益教科書中對數的結構劃分）的一個有趣的結論是，極限的定義，我們一直在使用實數版本的定義來處理實函式，可以從序列極限推匯出來，而不是作為公理，就像這樣

給定一個子集 $A\subset \mathbb {R}$ 和一個函式 $f:A\rightarrow \mathbb {R}$，我們說 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$，如果對於每個 $\forall (x_{n})_{n=1}^{\infty }$，滿足 $x_{n}\not =c,\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n})=c$，並且 $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))=L$

請注意，要求 $x_{n}\not =c$ 等同於要求 $|x-c|>0$。

為了檢驗你的理解，請證明這兩個定義是等價的。請注意，取逆否命題可以得到一個很好的判定函式是否發散的準則。

如果 $\exists (x_{n}),(y_{n}):(x_{n})\rightarrow c,(y_{n})\rightarrow c$，並且 $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))\not =\lim _{n\rightarrow \infty }(f(y_{n}))$，那麼 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ 不存在。

任意度量空間上的定義

設 $(X,d_{1})$ 和 $(Y,d_{2})$ 是度量空間。設 $f:X\to Y$

當 $x\in X$ 趨近於 $a\in X$ 時，$f$ 的極限等於 $L\in Y$，如果 $\forall \epsilon >0{\text{ }}\exists \delta {\text{ such that if }}0<d_{1}(x,a)<\delta {\text{, }}d_{2}(f(x),L)<\epsilon$

這記為 $\lim _{x\to a}f=L$