實分析/第 1 節練習

實分析
練習

這些是華夏公益教科書實數部分的練習題。大多數這些問題都可以被描述為代數問題，儘管這套習題也包括了來自數論的定理和概念。數論不是本華夏公益教科書的主要主題，但有一個附錄部分專門用於形式化數論中的幾個概念。建議做一些數論標題中的問題，因為它的討論範圍——與自然數及其超集整數和有理數相關的定理——很少被清晰地討論，通常留給直覺來理解。

未排序

證明 $-1<0\$
證明 $\forall z\in \mathbb {Z} ,\ z^{2}\geq 0$
完成上面給出的簡單結果的證明。
證明覆數 $\mathbb {C}$ 不能被構成一個有序域。
透過給出 $x<1$ 情況的細節來完成平方根定理的證明。
假設A 是一個非空的實數集合，它有上界，並設 s = sup A。證明如果s 不在A 中，那麼對於任何 ε > 0，都存在A 中的一個元素a，使得s − ε < a < s。

代數

以下問題旨在將你在初等數學中可能僅僅記憶的代數規則形式化，作為公理成立。然而，即使在實數部分中建立了前幾個定律，例如交換律和代數運算（例如，在等號兩邊移動變數），以下問題應該是一種簡單的方法，可以讓你習慣於應用定理來證明你的主張——這是數學中一項非常重要的技能。

1. 證明以下關於不等式的定理（假設變數，除非明確限制，可以在其假定的域中取任何值）

如果 0 ≤ x，那麼 -x ≤ 0
如果 a < b，那麼 -b < -a
給定 x < 0，如果 y < z，那麼 xy > xz
如果 a < b 且 c < d，那麼 a + c < b + d
如果 a < b 且 c > d，那麼 a - c < b - d
如果 0 ≤ a < b 且 0 ≤ c < d，那麼 ac < bd

2. 證明以下不等式（假設變數，除非明確限制，可以在其假定的域中取任何值）

如果 1 ≤ x，那麼 x ≤ x²
如果 1 ≤ x，那麼 1 ≤ x²
如果 0 < x < 1，那麼 x² < x
如果 0 ≤ x < y，那麼 x² < y²
給定 x, y 使得 0 ≤ x, y，如果 x² < y²，那麼 x < y
給定一個奇數 n，如果 x < y，那麼 xⁿ < yⁿ
給定一個自然數 n，如果 0 ≤ x < y，那麼 xⁿ < yⁿ

3. 證明以下與本章中提供的定律相關的結論性定理

如果存在數字 0，那麼 $0=-0$
$\forall x,y\in \mathbb {Z} ,\ -(xy)=(-x)y=x(-y)$

4. 證明以下關於有理數的定理

給定 $a\neq 0,b\neq 0$ ， ${\frac {1}{ab}}={\frac {1}{a}}\cdot {\frac {1}{b}}$
給定 $b\neq 0,c\neq 0$ ， ${\frac {a}{b}}={\frac {ac}{bc}}$
給定 $b\neq 0,d\neq 0$ ， ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$
給定 $b\neq 0,d\neq 0$ ， ${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}$

方法提示（一般 1）

大多數問題不應該太難；記住你的代數定律！它們仍然是有效的公理，即使在不等式中也是如此。

方法提示（一般 2a）

如果需要協調，這些問題是為了強化你解決不等式問題時可以使用的特殊性質。

方法提示（一般 2b）

作為提示 2a 的延續，此屬性類似於你可以在方程中用變數代入的方式。然而，它仍然適用於不等式，只要進行一個更改。

提示（問題 III）

你可以使用問題 II 中證明的 x 的替代定義。另外，請記住你不必一步到位。

評論和進一步閱讀

問題 1ii 提供了一種證明當乘以 -1 時不等號“翻轉”的原因。

問題 1vii 對於不等式問題非常重要，在不等式問題中，將不等式插入其他不等式之間通常不是有效的操作。它提供了一個在該操作有效的示例。

答案

絕對值

1. 證明以下不等式（假設變數除非受限，可以是任何數字）

|a| + |b| ≤ |a + b|

方法提示（一般 1）

記住你的代數定律！它們仍然是有效的公理，即使在不等式中也是如此。

方法提示（一般 2a）

絕對值根據定義是正數。

方法提示（一般 2b）

有一種代數運算可以保證正輸出，並且其對輸出數字的逆運算最好表示為絕對值（在初等數學中，如果邏輯上可行，則將其分解成不同的情況）。

進一步閱讀（1i）

這是對三角不等式的證明。請注意，此版本適用於實數軸，但該網頁上顯示的一般版本是也適用的泛化。

答案

數論

證明關於偶數和奇數的以下性質
1. 如果將兩個偶數相加，則和為偶數。
2. 如果將兩個奇數相加，則和為偶數。
3. 如果將一個奇數與一個偶數相乘，則積為偶數。
4. 如果將兩個奇數相乘，則積為奇數。
證明對於所有自然數，不存在任何連續的完全平方數也是完全平方數。對於此問題，你不必考慮 0。
證明不存在任何原始畢達哥拉斯三元組 $a,b,c$ 使得 a 和 b 都是偶數或 a 和 b 都是奇數。
給定 $\forall a\in \mathbb {Z} :[\exists b\in \mathbb {N} :\exists r,q\in \mathbb {Z} :a=bq+r]$ ，證明如果給定條件成立，則餘數 r 具有以下性質 $0\leq r<b$ 。
證明 ${\sqrt {2}}$ 是無理數。
證明任何質數的平方根都是無理數。
給定方程 $x-c=A(x-d)+B(x-e)$ ，其中 $A,B,c,d,e$ 是常數，證明如果 $x$ 是除了 $d$ 或 $e$ 以外的任何數，那麼 $A$ 和 $B$ 都不能定義。