實分析/第一節練習/答案

本華夏公益教科書中的答案遵循這樣的教學理念：你應該仍然能夠邏輯地拼湊出一個足以回答問題的證明。因此，本頁面上沒有提供複製貼上的答案。相反，答案部分只是列出了所有工具，足以充分證明問題。許多答案將提供隱藏的問題，因為你可能不知道某些假設。幸運的是，這些斷言中的一些可以在華夏公益教科書中的其他地方找到答案，或者可以獨立解決。

請注意，所有解決方案都是建議。可以有多種方法來解決一個問題，而且由於這是一個協作式的華夏公益教科書，你可以隨意寫下你的答案（只要它遵循指南）。

未排序

問題 4：證明 $0=-0$

1. 零的一個代數性質是 $\forall x\in \mathbb {R} :x-x=0$
2. 我們可以使用任何一個有效的定理
   • 用同一個變數減去方程的兩邊是有效的。
   • 將兩邊乘以負一是有效的。
3. 最後，對整個項進行替換是有效的。

代數

1. 以下是答案。
   1. 順便說一下，這就是為什麼你在“乘以-1”時要“不等號翻轉”。

      ${\begin{aligned}a&<b\\a-a&<b-a\\0&<b-a\\-b&<b-a-b\\-b&<(b-b)-a\\-b&<0-a\\-b&<-a\\\square \end{aligned}}$

   2. 直覺解決！

      ${\begin{aligned}a&<b\\a+c&<b+c\\a+c&<b+c<b+d\\a+c&<b+d\\\square \end{aligned}}$

   3. 第一部分：讓我們透過應用 (II) 從給定的語句中得到一個新的性質

      ${\begin{aligned}c&>d\\-c&<-d\end{aligned}}$

      第二部分：現在讓我們來解決它

      ${\begin{aligned}a&<b\\a+(-c)&<b+(-c)\\a-c&<b+(-d)\\a-c&<b-d\\\square \end{aligned}}$

   4. 回答我
   5. 回答我
   6. 回答我
   7. 回答我
   8. 回答我
   9. 回答我
   10. 回答我
   11. 回答我
2. 回答我
3. 以下答案只概述瞭解決問題的方法
4. 以下答案只概述瞭解決問題的方法
   1. 最大的障礙是想到證明它的方法，因為冪項的分配還沒有建立。但是，有一種方法
   2. 從 $1=1$
   3. 應用逆元的定義，例如：$(a\cdot 1/a)\cdot (b\cdot 1/b)=1$
   4. 重新分配變數，並將變數交換到另一邊，直到出現等價性。作為最後的手段，請參考以下用文字格式顯示的白色提示：<pre style="text-color: white;">(ab) × 1/a 1/b = 1 → 1/a × 1/b = 1/ab</pre>
   5. 假設問題 4I 已解決，這個問題就相對容易了。
   6. 假設問題 4I 已解決，這個問題就相對容易了。
   7. 回答我

絕對值

1. 以下是答案。
   1. 順便說一句，在證明中通常不應該使用平方！但是，這裡之所以有效，是因為我們處理的是絕對值，在反轉平方運算後得到的結果數字。

      ${\begin{aligned}|a+b|&\leq |a|+|b|\\|a+b|^{2}&\leq (|a|+|b|)^{2}\\a^{2}+2ab+b^{2}&\leq |a|^{2}+2|a||b|+|b|^{2}\\a^{2}+2ab+b^{2}&\leq a^{2}+2|ab|+b^{2}\\2ab&\leq 2|ab|\\ab&\leq |ab|\\\square \end{aligned}}$

數論

問題 1：證明關於偶數和奇數的以下性質

1. 這些定義可以代入以下每個問題。
   • 偶數e的定義是$\exists k\in \mathbb {Z} :e=2k$
   • 奇數o的定義是$\exists j\in \mathbb {Z} :o=2j+1$
2. 乘法和加法在整數範圍內是封閉的。
3. 分配律擴充套件到整數，這個公理可能是解決這些問題時用到的最難的定理。
4. 任何必要的因子都可以表示為一個變數來簡化解釋。

問題 2：證明任何完全平方數的連續數字都不是完全平方數

1. 用數學符號表示，問題要求$\forall x\in \{x^{2}:x\in \mathbb {N} \}:[(x+1)^{2}\neq x^{2}+1]\land [(x-1)^{2}\neq x^{2}-1]$
2. 一些有效的定理是自然數的分配律，以及在等式兩邊加相同的數。

問題 6：證明任何素數的平方根都是無理數

1. 素數不包括 1，並且應該只包含自身作為因子。
2. 如果 ${\sqrt {p}}$ 是有理數，則 ${\sqrt {p}}=r/s$ 對於一些互質整數 $s$ 和 $r$；$s$ 和 $r$ 處於最低項。
3. 得出矛盾的方法
   • 透過代數運算，可以證明 $s$ 和 $r$ 都可以被質數 $p$ 整除，從而打破了互質的定義。
     1. “任何自然數都有一個質數作為因子”是有效的。
   • 透過代數運算，可以證明質數 $p$ 有兩個相同自然數平方作為因子，這打破了質數的定義。
     1. “任何自然數不能表示為其最小公倍數形式的分數，並且其分母不能為 1 之外的任何數”是有效的。