實分析/序列

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實分析 序列

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定義

序列在分析中經常出現，並且出現在許多上下文中。雖然我們都熟悉序列，但擁有一個正式的定義是有用的。

定義 實數的序列是任何函式 a : N→R。

通常，此類序列被稱為實數序列、實數序列或R中的序列，以明確表示序列的元素是實數。對於自然數、整數等的序列，可以給出類似的定義。

給定一個序列（x_n），一個子序列，記為$(x_{n_{j}})_{j=1}^{\infty }$，是一個序列，其中（n_j）是自然數的嚴格遞增序列。

例如，取 n_j=2j 將是包含原始序列中每個其他元素的子序列，即（x₂, x₄, x₆, …）。

序列記號

但是，我們通常用 a_n 來表示 n 在 a 下的像，而不是 a(n)。值 a_n 通常稱為序列的元素。為了區分序列及其值之一，通常用$(a_{n})_{n=1}^{\infty }$或僅（a_n）來表示整個序列。有些人使用集合符號並將其表示為{a_n} 在指定特定序列時，可以將其寫成（a₁, a₂, a₃, …）的形式，當序列是無限的時，或者（a₁, a₂, …, a_n）當序列是有限的時。我們傾向於只離散地寫下足夠多的元素，以便模式清晰，通常是3倍。

序列示例

(1, 2, 3, 4, …)、(1, -2, 3, -4, …) 和 (1, π, π², π³, π⁴, …) 都是序列的示例。但是，請注意，序列的元素不必有任何特定的模式。例如，我們可以指定 a_n 為 π 的第 n 位數字。通常，序列以遞迴方式定義。也就是說，指定序列的一些初始值，然後指定如何從前面的元素獲取序列的下一個元素。例如，考慮序列 x₁=1、x₂=1 和 x_n = x_n−1 + x_n−2，其中 n ≥ 3。此序列稱為斐波那契數列，其前幾項由 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) 給出。牛頓法是遞迴序列的另一個熟悉的例子。對於函式零點的初始猜測 x₀，牛頓法告訴您如何構造下一個猜測。這樣，您就可以生成一個（希望）收斂到函式零點的序列。

序列運算

我們還可以對序列執行代數運算。換句話說，我們可以加、減、乘、除序列。這些運算只是逐元素執行的，為了完整起見，我們給出定義。

定義 給定兩個序列（x_n）和（y_n）以及一個實數 c，我們定義以下運算

序列運算子

運算子	定義	屬性
加法	(xn) + (yn)	(xn + yn)
減法	(xn) − (yn)	(xn − yn)
乘法	(xn) ⋅ (yn)	(xn ⋅ yn)
除法	(xn) ⁄ (yn)	(xn/yn)，如果 yn ≠ 0 對於所有 n 在 N 中
標量	c ⋅ (xn)	(c ⋅ xn)

序列分類

序列的一些性質非常重要，因此被賦予了特殊的名稱。

不同型別的單調序列

定義	屬性
嚴格遞增	如果 an < an+1 對於所有 n 在 N 中
非遞減	如果 an ≤ an+1 對於所有 n 在 N 中
嚴格遞減	如果 an > an+1 對於所有 n 在 N 中
非遞增	如果 an ≥ an+1 對於所有 n 在 N 中
定義	屬性
單調	如果它滿足上述任何定義，對於所有 n 在 N 中
嚴格單調	如果它是嚴格遞增或嚴格遞減的；

單調性的視覺示例

• 
  單調非遞減函式的示例
• 
  單調非遞增函式的示例
• 
  非單調函式的示例

一些術語前面加上了嚴格地，因為術語遞增在某些上下文中既可以表示嚴格遞增，也可以表示非遞減，類似地，遞減既可以表示嚴格遞減，也可以表示非遞增。因此，這些模稜兩可的術語通常前面會加上嚴格地。我們將盡量堅持使用這些明確的術語。

從這裡開始，我們還將根據有界性來描述序列的性質，我們將在下面對序列的有界性進行定義。

不同型別的有界性

定義	屬性
上界	如果存在R中的M，使得對於所有N中的n，都有an<M
下界	如果存在R中的M，使得對於所有N中的n，都有an>M
有界	如果序列既有上界又有下界
柯西	如果對於所有ε>0，都存在自然數N，使得對於所有n，m > N，都有|am-an| < ε

收斂性和極限

序列的另一個重要性質（從分析的角度來看，可以說是最重要的性質）是收斂性。這個性質可以透過擴充套件ε-δ定義來輕鬆描述。但是，由於序列與自然數相關，因此存在另一種想象收斂的方式。下面將描述這兩種方法。

定義 令(x_n)為實數序列。如果序列(x_n)收斂到實數a。

則對於所有ε>0，都存在N中的N，使得對於所有n≥N，都有|x_n-a|<ε。

如果(x_n)收斂到a，則我們稱a為(x_n)的極限，並寫成

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

或者

$x_{n}\to a$ 當 $n\to \infty$。

這讀作x_n趨近於a，當n趨近於∞。如果n的角色很明確，則可以簡寫為x_n→a或lim x_n=a。

如果一個序列收斂，則稱其為收斂序列。

擴充套件這個概念，允許序列的極限為∞或−∞也是有用的。

定義 我們說當n→∞時，x_n→∞，如果對於R中的每一個M，都存在自然數N，使得對於所有n≥N，都有x_n≥ M。我們說當n→∞時，x_n→−∞，如果對於R中的每一個M，都存在自然數N，使得對於所有n≥N，都有x_n≤ M。

儘管如此，我們並不將此類序列稱為收斂序列。相反，它們被稱為發散序列。

雖然可以使用ε-δ定義來證明收斂性，但由於序列是使用自然數引用的，因此另一種證明序列收斂的方法是透過數學歸納法。透過這種方法，一些定理更容易證明。但是，使用數學歸納法的證明無法像使用ε-δ的證明那樣推廣到實數。

下面的定理將證明，用歸納法表示、極限表示或柯西表示的收斂序列的變化形式都收斂到唯一的數字。這在直覺上似乎很清楚，但請記住，當涉及到極限時，直覺往往會讓我們失望。嚴格證明我們遇到的每一個數學概念也是符合數學規範的。

定理（極限的唯一性）

一個序列最多隻有一個極限。換句話說：如果x_n → a且x_n → b，則a = b。

證明

假設該序列有兩個不同的極限，因此a≠b。令ε=|a−b|/3。

當然ε>0，使用兩次收斂的定義，我們可以找到自然數N_a和N_b，使得

$|x_{n}-a|\leq \epsilon$ 對於所有n > N_a。

並且

$|x_{n}-b|\leq \epsilon$ 對於所有n > N_b。

取k=max(N_a,N_b)，則這兩個條件都適用於x_k。因此，我們推斷|x_k−a|≤ε且|x_k−b|≤ε。應用三角不等式，我們可以看到

$|a-b|=|(x_{k}-b)-(x_{k}-a)|\leq 2\epsilon =(2/3)|a-b|,$

這是一個矛盾。因此，任何序列最多隻有一個極限。$\Box$

定理（收斂序列是有界的）

如果子序列$(x_{n})_{n=1}^{\infty }$是一個收斂序列，則它是是有界的。

證明

令$a=\lim _{n\to \infty }x_{n}$，並令ε = 1。

根據收斂的定義，存在一個自然數N，使得

$|x_{n}-a|\leq 1$對於所有n ≥ N 成立。

序列$(x_{n})_{n=N+1}^{\infty }$以上界為a+1，下界為a−1。令M = max(|x₁|,|x₂|,|x₃|,…,|x_N|, |a|+1)。由此可知，對於所有n ∈ N，−M ≤ x_n ≤ M。因此，該序列是有界的。$\Box$

定理（柯西序列的有界性）

如果$(x_{n})_{n=1}^{\infty }$是一個柯西序列，則它是是有界的。

證明

令(x_n)為一個柯西序列。根據柯西序列的定義，存在一個自然數N，使得對於所有n,m > N，|x_n−x_m| < 1。特別是，對於所有m > N，|x_N+1−x_m| < 1。根據反三角不等式，可知|x_m| < |x_N+1| + 1。如果我們取M=max(|x₁|，|x₂|，…，|x_N|，|x_N+1| + 1)，則對於所有n ∈ N，|x_n| ≤ M。$\Box$

下面的定理告訴我們，序列上的代數運算與取極限是可交換的。這個簡單的定理是計算極限的有用工具。

序列的性質

鑑於我們對收斂的新定義，我們應該能夠從代數角度使用我們從收斂序列中獲得的值，以及是否能夠將代數直覺應用於收斂序列。

代數運算

如果(x_n)和(y_n)是收斂序列，且a ∈ R，則以下性質成立

1. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \infty }(x_{n})+\lim _{n\to \infty }(y_{n})$.
2. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }y_{n}\right)$.
3. $\lim _{n\to \infty }(ax_{n})=a\lim _{n\to \infty }(x_{n})$.
4. $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}$（假設對於所有 n∈N，y_n≠0，並且lim y_n≠0）。
5. 如果對於每個 n∈N，x_n≤y_n，則$\lim _{n\to \infty }x_{n}\leq \lim _{n\to \infty }y_{n}$。

證明

1. 令x=lim x_n 和 y=lim y_n。我們需要證明對於任何ε>0，存在自然數N，使得如果n≥ N，則|(x_n + y_n) − (x + y)|≤ε。給定任何ε>0，我們有ε/3>0，因此根據收斂性的定義，存在一個自然數N_x，使得對於所有n>N_x，|x_n−x|≤ε/3，類似地，我們可以選擇N_y使得對於所有n>N_y，|y_n−y|≤ε/3。

令N=max(N_x ,N_y)。如果n>N，則根據三角不等式，我們有

$|(x_{n}+y_{n})-(x+y)|=|(x_{n}-x)+(y_{n}-y)|\leq \epsilon /3+\epsilon /3<\epsilon ,$

這就是我們需要證明的。$\Box$

2. 令x=lim x_n 和 y=lim y_n。由於這些序列是收斂的，因此它們是有界的。令M_x為(x_n)的一個界，令M_y為(y_n)的一個界。透過必要時增加這些量，我們也可以假設M_x > x 和 M_y > y。給定ε>0，存在一些N_x和N_y使得

$|x_{n}-x|<{\epsilon \over 2M_{y}}$對於n > N_x，並且

$|y_{n}-y|<{\epsilon \over 2M_{x}}$對於n > N_y。

然後對於每個n > max(N_x, N_y)，

$|x_{n}y_{n}-xy|\,$	$=|(x_{n}-x)y_{n}+x(y_{n}-y)|\,$
	$\leq |x_{n}-x|M_{y}+M_{x}|y_{n}-y|$
	$\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\leq \epsilon .$

$\Box$

3. 令y_n = a 對於所有 n∈N。該陳述現在由 2 推出。$\Box$

4. 我們可以將其簡化為證明 lim (1/y_n) 存在且等於 1/(lim y_n)。然後根據 2，我們有

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)=\left(\lim _{n\to \infty }{1 \over y_{n}}\right)\left(\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}.$

令 y=lim y_n。根據練習，由於 y 和 y_n 不為 0，我們可以找到 δ > 0，使得 |y_n| > δ 且 |y| > δ。因此，1/|y_ny|<1/δ²。給定 ε > 0，選擇 n ∈ N，使得 |y_n − y| < δ²ε。我們有

$\left|{1 \over y_{n}}-{1 \over y}\right|=|y-y_{n}|{1 \over |y_{n}y|}\leq {\frac {|y-y_{n}|}{\delta ^{2}}}<\epsilon$.

因此，$\lim _{n\to \infty }{1 \over y_{n}}={1 \over y}.$ $\Box$

5. 我們首先可以將其簡化為一個數列恆等於 0 的情況。要看到這一點，令 z_n = x_n − y_n。則對於所有 n ∈ N，z_n < 0。令 z = lim z_n。假設 z > 0，則我們可以找到一個自然數 N，使得

$|z-z_{N}|<z\,$.

由於 z_N ≤ 0 < z，絕對值等於 z − z_N。減去 z，我們發現 −z_N < 0。因此 z_N 為正。矛盾。因此，我們必須有 z ≤ 0。這意味著根據 1，我們得到

$\lim _{n\to \infty }x_{n}-\lim _{n\to \infty }y_{n}=\lim _{n\to \infty }z_{n}=z\leq 0.$

因此 lim x_n ≤ lim y_n $\square$

定理（夾逼定理）

這是重要的夾逼定理，它是極限的基礎。由於收斂數列也可以透過極限的概念和符號來理解，因此如果這個重要定理也適用於收斂數列，那將是明智的。

給定數列 (x_n)、(y_n) 和 (w_n)，如果 (x_n) 和 (y_n) 收斂到 a，且 x_n ≤ w_n ≤ y_n，則 w_n 收斂到 a。

證明

固定 ε > 0。我們需要找到一個 N，使得如果 n > N，則 |w_n − a| < ε。由於 (x_n) → a 且 (y_n) → a，收斂的定義 確保存在整數 N_x 和 N_y，使得對於 n > N_x，|x_n − a| < ε，並且對於 n > N_y，|y_n − a| < ε。

令 N=max(N_x, N_y)。然後，對於所有 n > N，我們有 −ε < x_n − a 且 y_n − a < ε。由於 x_n < w_n < y_n，因此 x_n − a < w_n − a < y_n − a。

因此，如果 n ≥ N，則 −ε < x_n − a < w_n − a < y_n − a < ε。換句話說，|w_n − a| < ε。$\Box$

完備性

以下結果與實數的完備性密切相關。

定理（單調數列的收斂性）

任何單調有界序列都收斂。如果序列是單調不減的，則序列收斂於該序列元素的上確界。如果序列是單調不增的，則序列收斂於該序列元素的下確界。

證明

設 (x_n) 為任意一個由實數 M 有界的單調序列。不失一般性，假設 (x_n) 是單調不減的。由於 (x_n) 在上方有界，根據上確界公理，它存在一個上確界。設 x = sup {x_n | n ∈ N}。我們現在將證明 (x_n) → x。

固定 ε > 0。如練習中所示，如果 s = sup(A)，則對於任何 ε > 0，存在一個元素 a 在 A 中，使得 s − ε < a < s。因此，存在一個 N 在 N 中，使得 x − ε < x_N < x。

對於任何 n > N，由於 x_n 是單調不減的，我們有

$x-\epsilon <x_{N}\leq x_{n}<x$.

因此 |x − x_n| < ε，根據收斂的定義，(x_n) 收斂於 x。 $\Box$

定理（巢狀區間性質）

如果存在一個閉區間序列 I_n = [a_n, b_n] = {x | a_n ≤ x ≤ b_n}，使得對於所有 n，I_n+1 ⊆ I_n，則 ∩I_n 非空。

證明

由於 I_n+1 ⊆ I_n，因此 a_n ≤ a_n+1 且 b_n+1 ≤ b_n。

由於 (a_n) 和 (b_n) 是單調序列，根據前面的定理，它們都收斂。此外，由於對於所有 n，a_n < b_n，因此 lim a_n ≤ lim b_n 。

根據 (a_n) 和 (b_n) 的單調性，對於每個 n，我們有

$a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}\leq b_{n}.$

因此 lim a_n ∈ [a_n, b_n] 對於每個 n 都成立，這意味著

$\lim _{n\to \infty }a_{n}\in \bigcap _{n=1}^{\infty }I_{n}.$

因此，交集非空。 $\Box$

定理（博爾扎諾-魏爾斯特拉斯）

每個有界的實數序列都包含一個收斂子序列。

證明

設 (x_n) 為一個由實數 M 有界的實數序列，即對於所有 n，|x_n| < M。我們定義集合 A 為 A = {r | |r| ≤ M 且 r < x_n 對於無限多個 n 成立}。我們注意到 A 非空，因為它包含 −M，並且 A 在上方由 M 有界。設 x = sup A。

我們斷言，對於任何 ε > 0，區間 (x − ε, x + ε) 中必須有無限多個 x_n 的點。假設並非如此，並固定一個 ε > 0，使得區間 (x − ε, x + ε) 中只有有限多個 x_n 的值。要麼 x ≤ x_n 對於無限多個 n 成立，要麼 x ≤ x_n 對於最多有限多個 n 成立（可能根本沒有 n）。假設 x< x_n 對於無限多個 n 成立。顯然在這種情況下 x ≠ M。如有必要，限制 ε 使得 x + ε ≤ M。設 r = x + ε/2，我們有 r < x_n 對於無限多個 n 成立，因為集合 [x,r] 中只有有限多個 x_n，並且 x 必須小於無限多個 x_n，此外 |r| < M。因此 r 在 A 中，這與 x 是 A 的上界相矛盾。現在假設 x< x_n 對於最多有限多個 n 成立。設 y = x − ε/2。那麼最多隻有有限多個 n 使得 x_n ≥ y。因此，如果 r < x_n 對於無限多個 n 成立，我們有 r ≤ y。這意味著 y 是 A 的上界，並且小於 x，這與 x 是 A 的最小上界相矛盾。在這兩種情況下，我們都得到一個矛盾，因此我們必須有，對於任何 ε > 0，區間 (x − ε, x + ε) 中必須有無限多個 x_n 的點。

現在我們證明存在一個子序列收斂到x。我們用歸納法定義這個子序列，從區間(x − 1, x + 1)中選擇任意一個x_n1。假設我們已經選擇了x_n1, …, x_nk−1，選擇x_nk為區間(x − 1/k, x + 1/k)中的一個元素，使得n_k∉{n₁, …, n_k−1}，這是可能的，因為區間中有無限多個(x_n)的元素。注意，對於我們選擇的這個x_nk，我們有|x − x_nk|<1/k。因此，對於任何ε>0，如果我們取任何k > 1/ε，那麼|x_nk-x| < ε。也就是說，子序列(x_nk) → x。$\Box$

定理（柯西準則）

一個序列收斂當且僅當它是柯西序列。儘管這看起來比收斂是一個更弱的性質，但實際上它是等價的，如下面的定理所示。

證明

首先我們證明如果(x_n) → x，那麼x_N是柯西序列。現在假設對於給定的ε > 0，我們希望找到一個N，使得對於所有n, m > N，都有|x_n − x_m| < ε。我們將選擇N，使得對於所有n ≥ N，都有|x_n − x| < ε/2。根據三角不等式，對於任何n, m > N，我們有

$|x_{n}-x_{m}|\leq |x_{n}-x|+|x_{m}-x|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$.

因此(x_n)是一個柯西序列。

現在我們證明如果(x_n)是一個柯西序列，那麼它收斂到某個x。設(x_n)是一個柯西序列，並設ε > 0。根據柯西序列的定義，存在一個自然數L，使得只要n, m > L，就有|x_n − x_m| < ε/2。由於(x_n)是一個柯西序列，因此它是

因為(x_nk)收斂，所以我們可以選擇一個自然數M，使得如果n_k > M，那麼|x_nk − x| < ε/2。設N = max(L, M)，並固定任何n_k > N。對於n > N，我們有

$|x_{n}-x|\leq |x_{n}-x_{n_{k}}|+|x_{n_{k}}-x|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$.

因此，根據收斂的定義，(x_n) → x。$\Box$

這些定理都描述了實數完備性的不同方面。讀者會注意到，本節中大量使用了上確界性質，它是將實數與有理數區分開來的公理。雖然這些定理對於有理數來說是錯誤的，但並非所有這些定理都可以替代上確界性質。柯西準則和巢狀區間性質不足以在沒有額外假設的情況下蘊含上確界性質，而單調序列收斂定理和博爾扎諾-魏爾施特拉斯性質確實蘊含上確界性質。

上極限和下極限

極限結果證明是分析中一個非常有用的工具，其主要缺點是它們可能並不總是存在。偶爾，對於任何序列，使用某種極限的概念都是有用的。為此，我們引入了上極限（通常簡稱為“lim sup”）和下極限（通常簡稱為“lim inf”）。

定義對於一個序列(x_n)，我們定義上極限，記為lim sup，如下所示：

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\inf _{k}\sup _{n\geq k}x_{n}.$

類似地，我們定義下極限，記為lim inf，如下所示：

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\sup _{k}\inf _{n\geq k}x_{n}.$

如果 (x_n) 沒有上界，則稱 lim sup x_n = ∞。如果 (x_n) 沒有界，則稱 lim inf x_n = −∞。

注意，對於有界序列，lim sup 和 lim inf 始終存在。我們知道，一般的有界序列並不總存在極限。但當 lim sup 和 lim inf 相等時，情況會變得更簡單，如下面的定理所示。

定理（上極限和下極限）

設 (x_n) 為一個有界序列。則 (x_n) → x 當且僅當 lim sup x_n = x = lim inf x_n。

證明

首先假設 (x_n) → x。固定一個 ε > 0，選擇一個自然數 N，使得對於任何 n > N，都有 x − ε < x_n < x + ε。因此，對於任何 k > N，我們有

$x-\epsilon \leq \sup _{n>k}x_{n}\leq x+\epsilon$

因此 x − ε < lim sup x_n < x + ε。由於 ε 是任意的，這隻有在 lim sup x_n = x 時才會發生。類似的論證表明 lim inf x_n = x。

現在假設 lim inf x_n = x = lim sup x_n，我們希望證明 lim x_n = x。

首先回顧一下，x=lim sup x_n 定義為

$x=\inf _{k}\sup _{n>k}x_{n}$

給定一個 ε > 0，由於我們可以任意接近下確界，因此我們可以選擇 N_ls，使得

$\sup _{n>N_{ls}}x_{n}-x<\epsilon$

類似地，回顧一下，x=lim inf x_n 定義為

$x=\sup _{k}\inf _{n>k}x_{n}$

由於我們可以任意接近上確界，因此我們可以選擇 N_li，使得

$x-\sup _{n>N_{li}}x_{n}<\epsilon$

設 N = max(N_ls, N_li)。現在如果 n > N，則

$\inf _{n>N_{li}}\leq \inf _{n\geq N}\leq x\leq \sup _{n\geq N}\leq \sup _{n>N_{ls}}$

因此，對於任何 n > N

$x-\sup _{n>N_{ls}}x_{n}\leq x-x_{n}\leq x-\inf _{n>N_{li}}x_{n}.$

根據我們對 N_ls 和 N_li 的選擇，這意味著對於任何 n > N

$-\epsilon \leq x-x_{n}\leq \epsilon .\quad \Box$