實分析/構造實數

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實分析 構造實數

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這種構造將使用數學中的一些高階概念，因此建議僅在您熟悉等價類和嵌入後才學習本章。 在您學習這些概念之前，可以安全地跳過它。

到目前為止，我們在研究實數時一直遵循公理化方法。 也就是說，我們假設存在一組具有某些公理的實數。 然而，在數學中，人們試圖儘可能少地進行這樣的假設。 在最基本的層面上，我們實際上做出了關於集合的（可能不知道的）一些假設，如果我們不必新增任何其他假設，那將是件好事。 事實上，僅使用關於集合的假設，就可以證明存在一組有理數。 因此，我們的工作實際上是使用可用的有理數來構造實數，以證明實數的公理在 ZFC 下是一致的並且存在。

我們將從大量定義開始我們的構造。

序列

這些定義在本書的序列部分中得到了更深入的探討。 主要區別在於我們這裡描述的序列的元素是有理數$\mathbb {Q}$ 而不是實數$\mathbb {R}$ 。

為了方便起見，這裡重複了它們，但更多細節請參閱相應的章節。

有理數的序列 是任何函式$x:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ 並用$(x_{n})$ 表示。

特殊序列

如果對於每個有理數$\varepsilon >0$ ，存在某個$N$ 使得對於每個$n>N$ 我們有$|x_{n}|<\varepsilon$ ，則有理數序列$(x_{n})$ 是一個零序列。

如果存在某個有理數$x$ 使得對於每個$n\in \mathbb {N}$ 有$x_{n}=x$ ，則有理數序列$(x_{n})$ 是一個常數序列。

序列的加法和乘法

現在定義兩個序列 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ 的加法為序列 ${\bigl (}(f+g)_{n}{\bigr )}$，其中 $(f+g)_{n}=f_{n}+g_{n}$。

同樣地，定義 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ 的乘法為序列 ${\bigl (}(f\cdot g)_{n}{\bigr )}$，其中 ${\bigl (}(f\cdot g)_{n}{\bigr )}=f_{n}\cdot g_{n}$。

取反

設 $(f_{n})$ 為一個有理數序列。那麼 $(f_{n})$ 的取反，記為 $-(f_{n})$，被定義為有理數序列 $(-f_{n})$，即序列 $(g_{n})$，其中 $g_{n}=-f_{n}$。

減法

令 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ 為兩個有理數序列。然後我們定義 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ 的差，記為 ${\bigr (}(f-g)_{n}{\bigl )}$ ，為序列 $(f_{n})+{\bigl (}-(g_{n}){\bigr )}$ 。

柯西序列

如果對於每個有理數 $\varepsilon >0$ ，存在一個 $N$ 使得對於每個 $m,n>N$ 我們有 $|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon$ ，那麼有理數序列 $(x_{n})$ 是 *柯西序列*。

設 ${\mathcal {C}}$ 表示這樣的有理柯西序列的集合。證明上述定義的零序列和常數序列是柯西序列留作練習。證明如果 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ 是柯西序列，則 ${\bigl (}(f+g)_{n}{\bigr )}$ 和 ${\bigl (}(f\cdot g)_{n}{\bigr )}$ 也在 ${\mathcal {C}}$ 中。進一步證明 ${\bigl (}(f-g)_{n}{\bigr )}$ 屬於 ${\mathcal {C}}$ 是一個簡單的步驟。

序列的等價性

在 ${\mathcal {C}}$，即柯西序列的集合上定義一個關係 $\sim$，當且僅當 $f-g$ 是一個零序列時，$f\sim g$。

現在，證明 $\sim$ 是一個 等價關係 是一個簡單的練習。

實數

我們用 $\mathbb {R}$ 表示 $\sim$ 的所有 等價類 的集合。此外，我們用 ${\bar {f}}$ 表示 $f$ 的等價類。我們的目標是證明這個集合滿足我們賦予實數的所有屬性。由於我們的目標是構造實數，因此將我們提議的集合分配相同的符號似乎是合理的。我們現在必須遍歷實數的所有基本公理，並證明它們是該集合的內在屬性。

全序域

現在，如果 ${\bar {f}},{\bar {g}}$ 是 $\mathbb {R}$ 的成員，那麼很容易驗證 $+$ 和 $\cdot$ 由 ${\bar {f}}+{\bar {g}}={\overline {f+g}}$ 和 ${\bar {f}}\cdot {\bar {g}}={\overline {f\cdot g}}$ 定義的柯西序列上的良定義二元運算。

此外，順序 $\leq$ 可以透過讓 ${\bar {f}}\leq {\bar {g}}$ 當且僅當存在某個有理數 $n_{0}$ 使得對於所有 $n$ ，如果 $n\geq n_{0}$ ，則 $f_{n}\leq g_{n}$ 。這樣我們就得到一個集合，其元素可以稱為實數。

備註

因此，實數是特殊型別的有理數序列的等價類。顯然，有理數 1 不是實數 1。這種看似違反直覺的問題可以透過考慮從有理數到實數的嵌入 $F$ 來解決，該嵌入由$F(r)={\overline {f_{r}}}$ 定義，其中 $f_{r}(n)=r,\forall n\in \mathbb {N}$ 。在這種嵌入下，有理數 1 可以與實數$F(1)$ 相一致，因此有理數可以被視為實數的子集。

這種定義實數的方式似乎很奇怪，但實際上從數學上講是相當合理的。以這種方式構建的集合的行為與我們直觀上理解的實數的行為完全一致，而且構建這個集合沒有任何超出$\mathbb {Q}$ 所需的假設。

另一種構建實數的方法是使用由理查德·戴德金提出的方法。上面提到的方法是由格奧爾格·康托爾在 1872 年提出的。戴德金也在同一年發表了他的方法。（對於那些感興趣的人，戴德金的構造在附錄中提供）。