實分析/實數

為什麼我們需要實數

這是一個很好的時機來解釋實分析的主題，實質上簡化為證明研究 $\mathbb {R}$ 的必要性。那麼，還有什麼缺失？為什麼我們需要超越有理數的任何東西？

第一個問題是平方根。眾所周知， ${\sqrt {2}}$ 不是有理數 - 換句話說，沒有平方等於 $2$ 的有理數（參見練習）。這個事實有一個奇怪的結果 - 考慮以下函式

$f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \ ;\ x\mapsto {\begin{cases}0&:x^{2}<2\\1&:x^{2}>2\\\end{cases}}$

顯然，這個函式在有理數 $1.4$ 附近有一個劇烈的跳躍，在那裡它突然從等於零變為等於一。但是，很難（甚至不可能）精確地確定這個跳躍發生在哪個地方。任何特定的有理數都安全地位於一側或另一側，並且，事實上，在 $\mathbb {Q}$ 上的標準拓撲中，這個函式是連續的（如果你不理解沒關係）。

實數的定義正是為了修復這個缺陷。我們將定義實數 $\mathbb {R}$ ，這樣無論我們試圖多麼巧妙，如果一個函式像 $f$ 一樣有“跳躍”，那麼我們總是能夠找到一個它跳躍的特定數字。

以下各節將描述使這成為可能的 $\mathbb {R}$ 的性質。

不同的視角

為了證明關於實數的任何東西，我們需要知道它們的性質是什麼。描述這些性質有兩種不同的方法 - 公理化方法和構造性方法。

公理化方法

當我們採用公理化方法時，我們只是對 $\mathbb {R}$ 做出一系列斷言，並假設它們成立。

我們做出的斷言稱為公理 - 在數學語境中，這個詞的意思大致是“基本假設”。

這種方法的優點是，在繼續推匯出僅依賴於這些假設的結果之前，我們就能清楚地知道到底假設了什麼。

這種方法的缺點是，可能不清楚是否存在任何滿足我們想要的性質的物件！

構造性方法

採用構造性方法時，我們不會僅僅滿足於假設我們想要的東西，而是試圖構造 $\mathbb {R}$ 從更簡單的東西開始，然後證明它具有我們想要的性質。這樣，本來可能是公理的東西就變成了定理。有幾種不同的方法可以做到這一點，從 $\mathbb {Q}$ 開始，並使用某種方法來“填補有理數之間的間隙”。

所有這些方法都相當複雜，將在下一節推遲到後面討論。

公理

那麼，我們需要哪些公理呢？簡而言之， $\mathbb {R}$ 是一個完備的有序域。這實際上包含了很多意思。

即 $\mathbb {R}$ 是一個全序域。
即 $\mathbb {R}$ 在此排序中是完備的（注意，這裡的完備性與偏序集研究中的常見意義不完全相同）。
即域公理所描述的代數運算（加法和乘法）以預期的方式與排序互動。

更詳細地說，我們斷言以下內容。

$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 是一個域。為此，我們需要定義在 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 上的二元運算加法（記為 $+$ $+$ ）和乘法（記為 $\times$ $\times$ ），以及滿足以下條件的互異元素 $0$ $0$ 和 $1$ $1$ ：
1. $(\mathbb {R} ,+,0)$ $(\mathbb {R} ,+,0)$ 是一個交換群，這意味著
  1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x+y)+z=x+(y+z)$ （結合律）
  2. $\forall x,y\in \mathbb {R} :x+y=y+x$ （交換律）
  3. $\forall x\in \mathbb {R} :x+0=x$ （單位元）
  4. $\forall x\in \mathbb {R} :\exists y\in \mathbb {R} :x+y=0$ （逆元）
2. $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\times ,1)$ $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\times ,1)$ 是一個交換群，這意味著
  1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$ （結合律）
  2. $\forall x,y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=y\times x$ （交換律）
  3. $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times 1=x$ （單位元）
  4. $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:\exists y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=1$ （逆元）
3. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$ （分配律）
$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 是一個全序集。為此我們需要一個關係（用 $\leq$ $\leq$ 表示）滿足
1. $\forall x\in \mathbb {R} :x\leq x$ （自反性）
2. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}y\leq z)\implies x\leq z$ （傳遞性）
3. $\forall x,y\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}y\leq x)\implies x=y$ （反對稱性）
4. $\forall x,y\in \mathbb {R} :{\text{either }}x\leq y{\text{ or }}y\leq x$ （完全性）
$\mathbb {R}$ 在此順序下是完備的（有關詳細資訊，請參見下文）。
域運算和順序以預期的方式互動，這意味著
1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\leq y\implies (x+z)\leq (y+z)$
2. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}0\leq z)\implies (x\times z)\leq (y\times z)$

這是一個相當長的列表，如果你不習慣公理數學（即使你習慣了！），它可能看起來有點令人生畏，特別是我們還沒有詳細說明完備性的含義。這是數學任何領域中最長的公理列表之一，但如果你依次檢查每個公理，你會發現它們都陳述了你可能視為理所當然的事情，即“數字的行為方式”，而無需多加思考。

這些公理是如此精確，以至於在某種程度上，它們精確地指定了實數。換句話說， $\mathbb {R}$ 是唯一的完備有序域。

進一步的符號

在 $\mathbb {R}$ 上定義了這些運算和關係後，我們需要引入更多符號來幫助我們討論它們。希望所有這些約定對你來說都很熟悉，但正式介紹所有這些約定很重要，以避免因符號理解錯誤而導致的混淆。

與其為乘法寫 $\times$ ，我們可以簡單地用並置表示它。換句話說，我們寫 $xy$ 來表示 $x\times y$ 。
由於乘法和加法都是結合律的，當多個數字相加或相乘時，我們省略不必要的括號。換句話說，與其寫 $(x+y)+z$ 或 $x+(y+z)$ ，它們是相等的，我們簡單地寫 $x+y+z$ 來表示它們的公共值。
為了進一步節省寫括號，按照慣例，乘法優先順序高於加法。因此，例如，表示式 $x+yz$ 應該被解釋為 $x+(yz)$ ，而不是 $(x+y)z$ 。
數字 $x+y$ 稱為 $x$ 和 $y$ 的和。
數字 $xy$ 稱為 $x$ 和 $y$ 的積。
$x$ 的加法逆元寫成 $-x$ ，稱為 $x$ 的負數或 相反數。所以， $x+(-x)=0$ .
$x$ 的乘法逆元寫成 $x^{-1}$ ，稱為 $x$ 的倒數，或簡稱為 $x$ 的逆元。所以， $x(x^{-1})=1$ .
我們定義二元運算減法如下：對於 $x,y\in \mathbb {R}$ ，我們設定 $x-y=x+(-y)$ 。數字 $x-y$ 稱為 $x$ 和 $y$ 的差。
減法與加法具有相同的優先順序（低於乘法），當兩種運算混合在一起而沒有括號時，隱含著左結合性。例如， $a+b-c-d+e$ 應該被解釋為 $(((a+b)-c)-d)+e$ .
我們定義二元運算除法如下：對於 $x,y\in \mathbb {R}$ ，其中 $y\not =0$ ，我們設定 $x/y=x(y^{-1})$ 。數字 $x/y$ 稱為 $x$ 和 $y$ 的商，也記作 ${\frac {x}{y}}$ .
除法優先順序高於加法或減法，但對於混合乘除運算的處理方式沒有簡單的約定。使用 ${\frac {x}{y}}$ 符號，而不是 $x/y$ 符號有助於避免混淆。
我們定義二元運算指數如下：對於 $x\in \mathbb {R}$ 以及 $n\in \mathbb {N} _{0}$ ，我們遞迴地定義 $x^{n}$ 為 $x^{0}=1$ 和 $x^{n+1}=(x^{n})x$ 。然後，對於 $n\in \mathbb {Z}$ ，其中 $n<0$ ，我們定義 $x^{n}=(x^{-1})^{-n}$ 。
指數優先順序高於除法、乘法、加法和減法。例如， $ab^{2}+d^{3}$ 應該被解釋為 $(a(b^{2}))+(d^{3})$ 。
我們用 $x\geq y$ 表示 $y\leq x$ 。
我們用 $x<y$ 表示 $x\leq y$ 以及 $x\not =y$ 。
我們寫 $x>y$ 表示 $y<x$ .
為了簡化一系列等式或不等式的表達，可以將它們串聯在一起。例如，表示式 $a\leq b=c=d<e$ 應解釋為 $a\leq b$ 以及 $b=c$ 以及 $c=d$ 以及 $d<e$ .
要說明 $x$ 是正數，意味著 $x>0$ .
要說明 $x$ 是負數，意味著 $x<0$ .
要說明 $x$ 是非正數，意味著 $x\leq 0$ .
要說明 $x$ 是非負數，意味著 $x\geq 0$ .
我們還引入了表示 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 的幾種常見子集的符號。所有這些子集都被稱為區間
- $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$ （稱為從 $a$ 到 $b$ 的閉區間）
- $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$ （稱為從 $a$ 到 $b$ 的開區間）
- $[a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}$
- $(a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}$
- 在所有這些情況下， $a$ 被稱為區間的下限，而 $b$ 被稱為上限。
- 一個被排除的下限（如第二和第四種情況）可以用 $-\infty$ 來代替，以表示沒有下限限制。例如 $(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} :x\leq b\}$ 。
- 類似地，一個被排除的上限（如第二和第三種情況）可以用 $\infty$ 來代替。例如， $(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$ 。
- 一些經常出現的特定區間是閉單位區間，或簡稱單位區間，即 $[0,1]$ ，以及 ${\mathbb {R} }^{+}=(0,\infty )$ ，即正實數。