實分析/實數

為什麼我們需要實數

這是一個很好的時機來證明實分析的主題，實質上相當於證明研究 $\mathbb {R}$ 的必要性。那麼，缺少了什麼？為什麼我們需要超出有理數的任何東西呢？

第一個麻煩的跡象是平方根。眾所周知， ${\sqrt {2}}$ 不是有理數——換句話說，沒有有理數的平方等於 $2$ （參見練習）。這個事實有一個奇怪的結果——考慮以下函式

$f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \ ;\ x\mapsto {\begin{cases}0&:x^{2}<2\\1&:x^{2}>2\\\end{cases}}$

顯然，這個函式在有理數 $1.4$ 附近有一個劇烈的跳躍，它突然從等於零變為等於一。然而，很難（甚至不可能）準確地確定這個跳躍發生在哪裡。任何特定有理數都安全地位於一邊或另一邊，事實上，在 $\mathbb {Q}$ 上的標準拓撲中，這個函式是連續的（如果你不明白這一點，別擔心）。

實數就是為了彌補這個缺陷而設計的。我們將定義實數 $\mathbb {R}$ ，這樣無論我們多麼聰明，如果一個函式像 $f$ 一樣有“跳躍”，那麼我們總能找到一個它跳躍的特定數字。

以下部分描述了 $\mathbb {R}$ 的屬性，這些屬性使得這成為可能。

不同的視角

為了證明關於實數的任何東西，我們需要知道它們的屬性是什麼。描述這些屬性有兩種不同的方法——公理化和構造性。

公理化方法

當我們採用公理化方法時，我們只是對 $\mathbb {R}$ 做出一系列斷言，並假設它們成立。

我們做出的斷言被稱為公理——在數學語境中，這個詞大致意味著“基本假設”。

這種方法的優點是，在繼續推匯出僅依賴於這些假設的結果之前，就可以清楚地知道到底假設了什麼。

這種方法的缺點是，可能不清楚是否真的存在滿足我們想要屬性的任何物件！

構造性方法

使用構造性方法，我們並不滿足於簡單地假設我們想要的東西，而是試圖構造 $\mathbb {R}$ 從更簡單的東西開始，然後證明它具有我們想要的屬性。這樣，原本可能成為公理的東西就變成了定理。有幾種不同的方法可以做到這一點，從 $\mathbb {Q}$ 開始，並使用一些方法來“填補有理數之間的空白”。

所有這些方法都相當複雜，將在下一節中討論。

公理

那麼，我們需要哪些公理呢？簡而言之， $\mathbb {R}$ 是一個完備有序域。這實際上是在說很多事情。

That $\mathbb {R}$ 是一個全序域.
That $\mathbb {R}$ 在這個排序中是完備的（注意，這裡完備的含義與偏序集研究中的常見含義略有不同）。
域公理描述的代數運算（加法和乘法）以預期的方式與排序互動。

更詳細地說，我們斷言以下內容

$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 是一個域。為此，我們需要定義在 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 上的二元運算加法（記為 $+$ $+$ ）和乘法（記為 $\times$ $\times$ ），以及滿足以下條件的不同的元素 $0$ $0$ 和 $1$ $1$ ：
1. $(\mathbb {R} ,+,0)$ $(\mathbb {R} ,+,0)$ 是一個交換群，這意味著
  1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x+y)+z=x+(y+z)$ （結合律）
  2. $\forall x,y\in \mathbb {R} :x+y=y+x$ （交換律）
  3. $\forall x\in \mathbb {R} :x+0=x$ （單位元）
  4. $\forall x\in \mathbb {R} :\exists y\in \mathbb {R} :x+y=0$ （逆元）
2. $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\times ,1)$ $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\times ,1)$ 是一個阿貝爾群，這意味著
  1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$ （結合律）
  2. $\forall x,y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=y\times x$ （交換律）
  3. $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times 1=x$ （單位元）
  4. $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:\exists y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=1$ （逆元）
3. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$ （分配律）
$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 是一個全序集。為此，我們需要一個關係（用 $\leq$ $\leq$ 表示）滿足
1. $\forall x\in \mathbb {R} :x\leq x$ （自反性）
2. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}y\leq z)\implies x\leq z$ （傳遞性）
3. $\forall x,y\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}y\leq x)\implies x=y$ （反對稱性）
4. $\forall x,y\in \mathbb {R} :{\text{either }}x\leq y{\text{ or }}y\leq x$ （全序性）
$\mathbb {R}$ 在此順序下是完備的（有關詳細資訊，請參見下文）。
域運算和順序以預期的方式互動，這意味著
1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\leq y\implies (x+z)\leq (y+z)$
2. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\text{ and }}0\leq z)\implies (x\times z)\leq (y\times z)$

這是一個相當長的列表，如果你不習慣公理化數學（或者即使你習慣了！），它可能看起來有點令人生畏，尤其是因為我們還沒有給出完備性的細節。這是數學任何領域中最長的公理列表之一，但如果你逐條檢查它們，你會發現它們都陳述了你可能理所當然地認為是“數字的行為方式”的東西，而沒有經過仔細思考。

這些公理非常精確，以至於在某種意義上它們精確地指定了實數。換句話說， $\mathbb {R}$ 是唯一的完備有序域。

進一步的符號

在定義了 $\mathbb {R}$ 上的這些運算和關係之後，我們需要引入更多符號來幫助討論它們。希望所有這些約定你都熟悉，但正式地展示它們很重要，以避免因符號理解錯誤而導致的混淆

我們不必寫 $\times$ 表示乘法，我們可以簡單地用並置來表示它。換句話說，我們寫 $xy$ 表示 $x\times y$ .
由於乘法和加法都是結合律，當多個數字相加或相乘時，我們省略不必要的括號。換句話說，我們不必寫 $(x+y)+z$ 或 $x+(y+z)$ ，它們是相等的，我們簡單地寫 $x+y+z$ 來表示它們共同的值。
為了進一步節省書寫括號，按照慣例，乘法比加法具有更高的優先順序。因此，例如，表示式 $x+yz$ 應解釋為 $x+(yz)$ ，而不是 $(x+y)z$ .
數字 $x+y$ 被稱為 $x$ 和 $y$ 的和。
數字 $xy$ 被稱為 $x$ 和 $y$ 的積。
$x$ 的加法逆元寫成 $-x$ ，稱為 $x$ 的負數或 相反數。所以， $x+(-x)=0$ 。
$x$ 的乘法逆元寫成 $x^{-1}$ ，稱為 $x$ 的倒數，或者簡稱為 $x$ 的逆。所以， $x(x^{-1})=1$ 。
我們定義減法的二元運算如下：對於 $x,y\in \mathbb {R}$ ，我們設定 $x-y=x+(-y)$ 。數字 $x-y$ 被稱為 $x$ 和 $y$ 的差。
減法與加法具有相同的優先順序（低於乘法），當兩個運算混合在一起且沒有括號時，意味著使用左結合性。例如， $a+b-c-d+e$ 應該解釋為 $(((a+b)-c)-d)+e$ 。
我們定義二元運算除法如下：對於 $x,y\in \mathbb {R}$ ，其中 $y\not =0$ ，我們設定 $x/y=x(y^{-1})$ 。數字 $x/y$ 稱為 $x$ 和 $y$ 的商，也記作 ${\frac {x}{y}}$ 。
除法比加法或減法的優先順序更高，但對於混合乘法和除法的處理方式沒有簡單的約定。使用 ${\frac {x}{y}}$ 符號而不是 $x/y$ 符號有助於避免混淆。
我們定義二元運算指數運算如下：對於 $x\in \mathbb {R}$ 和 $n\in \mathbb {N} _{0}$ ，我們遞迴地定義 $x^{n}$ 為 $x^{0}=1$ 和 $x^{n+1}=(x^{n})x$ 。那麼對於 $n\in \mathbb {Z}$ ，其中 $n<0$ ，我們定義 $x^{n}=(x^{-1})^{-n}$ 。
指數運算的優先順序高於除法、乘法、加法和減法。例如， $ab^{2}+d^{3}$ 應該被解釋為 $(a(b^{2}))+(d^{3})$ .
我們用 $x\geq y$ 來表示 $y\leq x$ .
我們用 $x<y$ 來表示 $x\leq y$ 並且 $x\not =y$ .
我們用 $x>y$ 來表示 $y<x$ .
為了縮寫一系列等式或不等式，它們可以串在一起。例如，表示式 $a\leq b=c=d<e$ 應該被解釋為 $a\leq b$ 並且 $b=c$ 並且 $c=d$ 並且 $d<e$ .
要說明 $x$ 是 *正數*，意味著 $x>0$ .
要說明 $x$ 是 *負數*，意味著 $x<0$ .
如果說 $x$ 是非正的，意味著 $x\leq 0$ 。
如果說 $x$ 是非負的，意味著 $x\geq 0$ 。
我們還引入了幾個常見的 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 子集的符號。所有這些子集都被稱為區間。
- $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$ (被稱為從 $a$ 到 $b$ 的 閉區間)
- $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$ (被稱為從 $a$ 到 $b$ 的 開區間)
- $[a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}$
- $(a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}$
- 在所有這些情況下， $a$ 被稱為區間的下限，而 $b$ 被稱為上限。
- 一個被排除的下限（如第二和第四種情況）可以用 $-\infty$ 來代替，表示沒有下限限制。例如， $(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} :x\leq b\}$ 。
- 類似地，一個被排除的上限（如第二和第三種情況）可以用 $\infty$ 來代替。例如， $(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$ 。
- 一些經常出現的特定區間是 *閉單位區間*，或者簡稱為 *單位區間*，它是 $[0,1]$ ，以及 ${\mathbb {R} }^{+}=(0,\infty )$ ，正實數。