實分析/有理數

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在我們建立有序域的概念之前，我們需要先了解一些代數的基本概念。

群

群在數學中扮演著重要的角色。它們描述了代數中最基本的結構。群論的研究物件是普通群的性質和結構。在這本書中，我們主要關注你已經熟悉的群，所以這一節只是為了設定一些標準術語。我們首先定義一個二元運算，它通常被認為是乘法或加法，具體取決於上下文。為了避免混淆，在討論一般群時，我們將此運算表示為*，但在特定情況下，我們通常使用+或·

定義：集合S上的二元運算是從S×S到S的函式

定義：群是一個集合G以及G上的一個二元運算，滿足以下公理。

• G在二元運算下封閉。也就是說，對於G中的所有x，y，x*y都在G中。
• 二元運算是結合的。也就是說，對於G中的所有x，y和z，x*(y*z)=(x*y)*z。
• 存在一個單位元，我們用e表示，它滿足對於G中的所有x，e*x=x*e=x。
• 對於G中的所有x，都存在一個逆元，我們用x^-1表示，使得x*x^-1=x^-1*x=e。

例子

• 整數$\mathbb {Z}$以及加法二元運算構成一個群。
• 有理數$\mathbb {Q}$以及加法二元運算構成一個群。
• 非零有理數$\mathbb {Q} \setminus \{0\}$以及乘法二元運算構成一個群。
• 集合$\mathbb {Z}$以及乘法二元運算不是一個群。
• 集合$\{-1,1\}$以及乘法二元運算構成一個群。
• 集合$\{e,o\}$以及由$e+e=e$，$e+o=o$，$o+e=o$以及$o+o=e$給出的二元關係構成一個群。如果將$e$作為偶數的簡寫，將$o$作為奇數的簡寫，這些就是我們童年時代熟悉的規則，“偶數加偶數還是偶數”等等。

討論兩個群在本質上是否相同通常很有用。可能會發生兩個群具有不同的底層集合，並且具有不同的二元運算，但從代數角度來看行為完全相同。當這種情況發生時，這兩個群被稱為同構。

定義 群(G,*)和(H,⊗)被稱為同構，如果存在一個雙射函式φ:G→H，滿足以下兩個性質

• φ(e_G)=e_H，其中e_G是G中的單位元，e_H是H中的單位元；
• φ(x*y)=φ(x)⊗φ(y)，對於G中的所有x和y。

域

整數集$\mathbb {Z}$和加法運算$+\$構成一個群，乘法$\times$則缺少逆元。如果我們允許乘法和加法作用於$\mathbb {Z}$，我們可以定義一個集合，其中除了零之外的每個元素都具有乘法逆元。這就是有理數集。

有理數

下一個標準擴充套件增加了商或除法的可能性，併為我們提供了有理數（或簡稱有理數）$\mathbb {Q}$，其中包括$\mathbb {Z} \setminus \{0\}$的乘法逆元，形式為${\frac {1}{z}}$，例如${\frac {1}{2}}$，以及這兩個集合的乘積，形式為${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$，例如${\frac {64}{7}},{\frac {17}{16\times 10^{5}}}$。有理數允許我們使用任意精度，並且它們足以進行測量。

有理數可以從整數構建，作為整數序對 (a,b) 的等價類，其中 (a,b) 和 (c,d) 在 ad=bc 時等價，使用整數乘法的定義。當然，這些有序對通常寫成${\tfrac {a}{b}}$。可以使用整數加法和乘法的定義，將加法定義為 (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)，將乘法定義為 (ac,bd)。

另請參閱

• 抽象代數
  • 域