實分析/計數數字

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實分析 有序集

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有序集

有序集是一組具有明確的“更大”含義的物件。與其給出排序的抽象定義，不如從一些有序集的例子開始，探索哪些基本假設是必要的。這種方法雖然不如嚴格，但應該更易於理解。我們第一個也是最重要的集合是 _自然數_。

自然數

分析的基本集合是 _自然數_ $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$（有些作者認為 $\{0,1,2,\ldots \}$——當我們想引用這個集合時，我們使用 $\mathbb {N} _{0}$）。自然數是你 _計數_ 所需的全部。這個集合由它的性質定義。自然數集合 $\mathbb {N}$ 的第一個性質是它具有等價關係 $=\$，這意味著以下公理得到滿足

1. 自反性

   對於所有 $n\in \mathbb {N} ,\ n=n;$

2. 對稱性

   對於所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ n=m$ 當且僅當 $m=n$；

3. 傳遞性

   對於所有 $n,m,l\in \mathbb {N}$ 如果 $n=m$ 並且 $m=l$，那麼 $n=l$；

這些簡潔的數學陳述可以用不那麼嚴格的方式寫出來。第一個陳述只是說明每個自然數都等於它本身。第二個陳述說明，無論你以什麼順序說，等式都是成立的。最後一個陳述說明，當兩個自然數相等，其中一個等於其他東西時，它們三個必須相等。這些是我們鬆散地談論等式時所做出的簡單假設。這個簡短的列表為我們提供了一種方法來檢查提議的等式是否滿足我們對兩個事物相等意味著什麼的觀念。

1. 三等分律

   對於所有 $m,n\in \mathbb {N}$，以下三種情況中只有一種成立

   $m<n$

   $m=n$

   $m>n$

   符號 $m\leq n$ 表示 $m<n$ 或 $m=n$，符號 $m\geq n$ 表示 $m>n$ 或 $m=n$.

2. < 和 > 的傳遞性.

   對於所有 $n,m,l\in \mathbb {N}$，如果 $n<m$ 且 $m\leq l$，則 $n<l$.

   對於所有 $n,m,l\in \mathbb {N}$，如果 $n>m$ 且 $m\geq l$，則 $n>l$.

三等分性意味著任何兩個自然數要麼相等，要麼可以唯一地選出更大的數。傳遞性表明，如果存在第三個數比我們的前兩個數中最大的數還要大，那麼它也比最小的數大。有了這個，我們現在有了對自然數之間順序的簡潔定義。最後，自然數集 $\mathbb {N}$ 具有一個相關的運算，稱為加法。集合 $\mathbb {N}$ 和加法運算 $+$ 滿足以下公理

1. 封閉性

   對於所有 $n,m\in \mathbb {N} ,n+m\in \mathbb {N}$.

2. 交換律

   對於所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ n+m=m+n$.

3. 結合律

   對於所有 $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ n+(m+l)=(n+m)+l$.

   也就是說，我們可以無歧義地寫出 $n+m+l$

4. 與排序的相容性

   對於所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ n<n+m$

也就是說，如果我們新增兩個自然數，結果是自然數。我們新增數字的順序並不重要，如果我新增兩個自然數，那麼它們的和大於我開始的兩個自然數中的任何一個。這是我們對正數加法的概念，簡化為基本假設。為了使我們所知的自然數有一個明確的存在，只需要再新增一個假設，即自然數集不是空的。我們可以將 $\mathbb {N}$ 中最小的元素命名為 1。

存在一個數字 $1\in \mathbb {N}$，使得對於所有 $n\in \mathbb {N}$，$1\leq n$。

這個陳述簡單地說，存在一個數字，它小於或等於任何其他自然數。有了這些假設，我們可以繼續推匯出 $\mathbb {N}$ 的所有性質。

乘法

在自然數上，我們可以定義第二個運算子，乘法 $\times$。 $\mathbb {N}$ 上的乘法概念僅僅是重複加法的簡寫。以下是乘法的公理。

1. 封閉性

   對於所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ n\times m\in \mathbb {N}$.

2. 恆等式

   對於所有 $n\in \mathbb {N} ,\ n\times 1=n$.

3. 交換律

   對於所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ n\times m=m\times n$.

4. 結合律

   對於所有 $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ (n\times m)\times l=n\times (m\times l)$,

   也就是說，我們可以無歧義地寫出 $n\times m\times l$.

5. 分配律

   對於所有 $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ n\times (m+l)=n\times m+n\times l$.

6. 與排序的相容性

   對於所有 $n,m\in \mathbb {N} ,\ m\leq n\times m$.

這意味著自然數相乘得到自然數。任何數乘以 1 等於它本身。乘法的順序和分組並不重要。最後兩個描述了乘法如何與加法和在 $\mathbb {N}$ 上的排序相關。總是寫 $n\times m$ 來表示乘法很繁瑣，因此我們將其縮寫為 $nm\$。此外，我們使用上標來縮寫某個數的重複乘積，上標表示該數重複的次數。例如，

$n\times n\equiv n^{2}.$

皮亞諾公理

自然數集的另一種推導方法可以用一些稱為皮亞諾或戴德金-皮亞諾公理的公理來描述。對皮亞諾公理中加法和乘法的定義進行略微修改，可以構建一個不同的集合，其中元素“0”（很快就會描述）實際上可以是某個與 0 不同的自然數。因此，這些公理可以作為自然數集的定義。

1. $\exists 0\in \mathbb {N} _{0}$

   自然數集中存在一個稱為“0”的元素。

2. $\forall x\in \mathbb {N} _{0}\ \exists S_{x}\in \mathbb {N} _{0}$

   每個自然數都有一個後繼，該後繼也是一個自然數。

3. $\forall x\in \mathbb {N} _{0}\ S_{x}\not =0$

   沒有自然數的後繼是 0。

4. $\forall x,y\in \mathbb {N} _{0}\ S_{x}=S_{y}\implies x=y$

   後繼函式是一對一的。

5. $\left(0\in A\land \left(x\in A\implies S_{x}\in A\right)\right)\implies \mathbb {N} _{0}\subset A$

   數學歸納法：如果 0 在集合中，並且 n 在集合中意味著其後繼也在集合中，那麼所有自然數都在集合中。

自然數可以定義為自然數集中的一個元素。這些公理可以用來證明關於基本運算和謂詞的非常重要的基本定理，即加法、乘法和順序。加法和乘法是非常重要的二元運算子，而順序是一個非常重要的二元謂詞。它們可以定義如下

• 排序

  $S_{y}>y\$

  數字 y 的後繼大於數字 y。

  $x>y\implies S_{x}>y$

  如果數字 x 大於數字 y，那麼 x 的後繼大於 y。

• 加法

  $x+0=x\$

  任何數字與零的和等於該數字。

  $x+S_{y}=S_{x+y}\$

  數字 x 與數字 y 的後繼的和等於 x 與 y 的和的後繼。

• 乘法

  $x\ 0=0$

  任何數與零的乘積為零。

  $x\ S_{y}=x+xy$

  一個數 x 與另一個數 y 的後繼數的乘積等於 x 與 x 與 y 的乘積的和。

要理解加法、乘法和排序的含義，並不需要知道這些定義。但是，這些定義展示瞭如何從皮亞諾公理中構建加法、乘法和排序。

加法和乘法的替代構造

基本元素不一定必須是加法的單位元。事實上，如果加法和乘法的定義不同，那麼基本元素通常寫為“1”。

1. $\exists 1\in \mathbb {N}$

   1 是集合中的一個元素。

2. $\forall x\in \mathbb {N} \implies (x+1)\in \mathbb {N} \$

   對於任何自然數 x，x 與 1 的和也是一個自然數。

3. $\forall x\in \mathbb {N} \ x+1\neq x$

   任何自然數 x 與 1 的和都不等於 x。

4. $\forall x,y\in \mathbb {N} \ x+1=y+1\implies x=y$

   加一是一個一一函式。

5. $(1\in A\land (x\in A\implies (x+1)\in A))\implies \mathbb {N} \subset A$

   數學歸納法：如果 1 是集合 A 的一個元素，其中對於 A 的任何元素 x，x 與 1 的和也在集合中，那麼所有自然數都在集合 A 中。

策梅洛-弗蘭克爾公理

自然數也可以從集合中構造。這不是一個必要的步驟，可以跳過，但它表明集合論為解釋自然數提供了足夠的依據。策梅洛-弗蘭克爾公理為滿足皮亞諾公理的集合提供了充分的條件。

1. 令 0 與空集 $\emptyset$ 相關聯。
2. 令集合 $S_{n}=n\cup \{n\}$

   自然數 n 的後繼數是與 n 相關聯的集合與包含 n 的集合的並集。因此，每個自然數都是一個包含其所有前驅數的集合。

   例如，令 0 := $\emptyset$，那麼 1 := $S_{0}=0\cup \{0\}=\emptyset \cup \{0\}$ = {0}

   $2:=S_{1}=1\cup \{1\}$ = {0}∪{1} = {0} ∪ {{0}} = {0, {0}} = 因此 {0,1}，3 是 {0,1,2}，依此類推。

3. $\exists \mathbb {N} _{0}:\emptyset \in \mathbb {N} _{0}\land \left(\forall x\in \mathbb {N} _{0}\ x\cup \{x\}\in \mathbb {N} _{0}\right)$

   存在一個稱為$\mathbb {N} _{0}$的集合，它包含$\emptyset$（空集），並且對於任何元素 x，集合$x\cup \{x\}$ 也在該集合中。這個公理被稱為 **無窮公理**，構造的集合被識別為自然數。

這種自然數的構造顯然滿足前三個皮亞諾公理。事實上，S_x=S_y→x=y 可以很容易地從$x\cup \{x\}=y\cup \{y\}\implies x=y$ 中看出。第五個皮亞諾公理成立，因為如果$\emptyset \in A\land \left(\forall x\in A\ x\cup \{x\}\in A\right)$，那麼這個集合將是自然數，因此自然數將是 A 的一個平凡子集。

整數

如果我們在$\mathbb {N}$ 中新增$0,$ 我們可以得到加法單位的概念，由

$\exists 0:\forall n\in \mathbb {N} ,\ n+0=n,$

表明存在一個數字$0$，它加到一個自然數上後，仍然是那個自然數。這裡我們有一個選擇：$0$ 在我們的排序中應該放在哪裡？通常的選擇是$0<1$，這也是我們將在這裡使用的選擇，儘管值得指出這個選擇的好奇之處。定義了零後，$\mathbb {N}$ 逆元的可能性出現了。我們將逆元的集合記為$\mathbb {-N}$，該集合滿足以下公理

$\forall n\in \mathbb {N} ,\ \exists (-n)\in \mathbb {-N} :n+(-n)=0.$

將所有三個結合起來，我們得到整數

$\mathbb {Z} =\{\mathbb {N} \}\cup \{0\}\cup \{\mathbb {-N} \}=\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$.

整數允許我們跟蹤債務以及計數事物，換句話說，執行會計。如果你假設加法的公理在良序假設採用以下形式的情況下成立

$(\forall z\in \mathbb {Z} )(\forall n\in \mathbb {N} ),\ z<z+n,$

並且乘法的恆等式、封閉性和分配律對整數$\mathbb {Z} ,$ 成立，那麼乘法運算也可以擴充套件到包括所有整數$\mathbb {Z} .$

它們可以很容易地從自然數構造出來。它們可以是序對 (a,b) 的等價類，其中 a 和 b 都是自然數。然後可以說，當 a+d=b+c 時，(a,b) 和 (c,d) 相等，和 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，積 (a,b)(c,d)=(ac+bd,ad+bc)，其中使用了自然數的和與積的定義。有一個形式為 (a,a) 的加法單位元，因為 (a,a)+(b,c)=(a+b,a+c)，它等價於 (b,c)，因為 a+b+c=a+b+c。所有形式為 (a,a) 的這些元素顯然是等價的。所有元素 (a,b) 都有加法逆元 (b,a)，因為 (a,b)+(b,a)=(a+b,a+b)。思考這些序對 (a,b) 的最佳方式是將它們視為 a-b。因此，(a,a) 可以被認為是“0”。

絕對值

通常，我們將整數視為延伸到正負無窮大。由於這個幾何概念對於我們的理解是如此基本，我們希望討論幾何性質。特別是，我們需要知道兩個整數之間的距離的含義。為此，我們將符號$|x|$ 定義為給出從$x$ 到零的距離的函式，透過將$\mathbb {-N}$ 對映到它們在$\mathbb {N}$ 中的相應逆元，並將零對映到自身。

$|x|=\left\{{\begin{matrix}x&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x&{\mbox{if }}x<0\\\end{matrix}}\right.$

現在我們可以透過取它們差的絕對值來定義兩個整數之間的距離，在任何幾何環境中我們將其稱為點：$d(x,y)=|x-y|\$。此距離函式滿足一些不錯的幾何性質

1. 正性

   $d(x,y)\geq 0$ 且當且僅當 $x=y$ 時等於 0。

2. 對稱性

   $d(x,y)=d(y,x).$

3. 三角不等式

   $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z).$

請特別注意三角不等式，因為它將在後面的章節中被頻繁使用。

一般來說，任何具有滿足這些性質的距離函式的集合都被稱為度量空間。很容易證明，整數在度量 d 下構成一個度量空間

1. 正性
   • 如果 $x\geq 0$，那麼 $|x|=x\geq 0$。
   • 如果 $x<0\$，那麼 $|x|=-x\ >0$。
2. 對稱性
   • 如果 $x-y\geq 0$，那麼 $y-x\leq 0$，所以 $|x-y|=x-y=-(y-x)=|y-x|\$。
   • 如果 $x-y\ <0$，那麼 $y-x>0\$，所以 $|x-y|=-(x-y)=y-x=|y-x|\$。
3. 三角不等式
   • 如果 $x\geq 0$，那麼 $|x|=x\geq 0>-|x|$。
   • 如果 $x<0\$，那麼 $|x|>0>x=-|x|\$。
   • 這給了我們 $-|x|\leq x\leq |x|$ 和 $-|y|\leq y\leq |y|$。
   • 相加，我們看到 $-(|x|+|y|)\leq x+y\leq |x|+|y|$。
   • 如果 $x+y\geq 0$，那麼 $|x+y|=x+y\leq |x|+|y|$。
   • 如果 $x+y<0\$，那麼 $|x+y|=-(x+y)\leq |x|+|y|$。
   • 因此，在所有情況下，$|x+y|\leq |x|+|y|$。
   • 將 $x\$ 替換為 $x-y\$ 和 $y\$ 替換為 $y-z\$，得出 $|x-y|+|y-z|\geq |x-z|$。

絕對值的另一個基本性質是它具有乘法性

$|x||y|=|xy|.$

證明留作練習。正如上面所述，這僅僅是檢查所有情況的問題。