實分析/序列

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實分析 序列

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定義

序列在分析中經常出現，並且出現在許多環境中。雖然我們都熟悉序列，但有一個正式的定義是有用的。

**定義** 實數的*序列*是任何函式 *a* : **N**→**R**。

通常，這樣的序列被稱為*實數序列*、*實數序列*或*在**R** 中的序列*，以明確表明序列的元素是實數。對於自然數、整數等的序列可以給出類似的定義。

給定一個序列 ( *x*_n )，一個*子序列*，記為 $(x_{n_{j}})_{j=1}^{\infty }$，是一個序列，其中 ( *n*_j ) 是嚴格遞增的自然數序列。

例如，取 *n*_j=2*j* 將是包含原始序列中所有其他元素的子序列，即 ( *x*₂, *x*₄, *x*₆, …)。

序列符號

但是，我們通常將 *a*_n 寫為 *n* 在 *a* 下的像，而不是 *a*(*n*)。值 *a*_n 通常被稱為序列的*元素*。為了區分序列和它的某個值，通常用 $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ 來表示整個序列，或者只是 ( *a*_*n* )。有些人使用集合符號並將其表示為 { *a*_*n* } 當指定特定序列時，它可以寫成 ( *a*_*1*, *a*_*2*, *a*_*3*, …) 的形式，當序列是無限的，或 ( *a*_*1*, *a*_*2*, …, *a*_*n* ) 當序列是有限的。我們傾向於只離散地寫下足夠多的元素以使模式清晰，這通常是 3 次。

序列示例

(1, 2, 3, 4, …)、(1, -2, 3, -4, …) 和 (1, π, π², π³, π⁴, …) 都是序列的例子。但是，請注意，序列的元素不必具有任何特定的模式。例如，我們可以將 *a*_*n* 指定為 π 的第 *n* 位數字。通常，序列是遞迴定義的。也就是說，指定序列的某些初始值，然後指定如何從前面的元素獲得序列的下一個元素。例如，考慮序列 *x*₁=1，*x*₂=1，以及 *x*_*n* = *x*_*n*−1 + *x*_*n*−2 對於 *n* ≥ 3。此序列稱為斐波那契數列，其前幾項由 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) 給出。牛頓法是遞迴序列的另一個常見例子。對於函式零的初始猜測 *x*₀，牛頓法告訴您如何構造下一個猜測。這樣您就生成了一個（希望）收斂到函式零的序列。

序列運算

我們也可以對序列進行代數運算。換句話說，我們可以加、減、乘、除序列。這些運算只是逐元素執行的，為了完整性，我們給出定義。

**定義** 給定兩個序列 ( *x*_n ) 和 ( *y*_n ) 以及一個實數 *c*，我們定義以下運算

序列運算子

運算子	定義	屬性
加法	( *x*n ) + ( *y*n )	( *x*n + *y*n )
減法	( *x*n ) − ( *y*n )	( *x*n − *y*n )
乘法	( *x*n ) ⋅ ( *y*n )	( *x*n ⋅ *y*n )
除法	( *x*n ) ⁄ ( *y*n )	( *x*n / *y*n )，如果 *y*n ≠ 0 對於 **N** 中的所有 *n*
標量	*c* ⋅ ( *x*n )	( *c* ⋅ *x*n )

序列分類

一些序列的性質非常重要，以至於它們被賦予了特殊的名稱。

不同型別的單調序列

定義	屬性
嚴格遞增	如果 *a**n* < *a**n*+1 對於 **N** 中的所有 *n*
非遞減	如果 *a**n* ≤ *a**n*+1 對於 **N** 中的所有 *n*
嚴格遞減	如果 *a**n* > *a**n*+1 對於 **N** 中的所有 *n*
非遞增	如果 *a**n* ≥ *a**n*+1 對於 **N** 中的所有 *n*
定義	屬性
單調	如果它滿足 **N** 中所有 *n* 的上述任何定義
嚴格單調	如果它是嚴格遞增或嚴格遞減的；

單調性的可視示例

• 
  單調非遞減函式的示例
• 
  單調非遞增函式的示例
• 
  非單調函式的示例

其中一些術語以*嚴格*為字首，因為術語*遞增*在某些情況下意味著嚴格遞增或非遞減，類似地*遞減*可以意味著與嚴格遞減或非遞增相同。因此，這些模稜兩可的術語通常以*嚴格*為字首。我們將嘗試堅持使用這個明確的術語。

從這裡開始，我們也將描述基於*有界性*的序列性質，這個詞將在下面為序列定義。

不同型別的有界性

定義	屬性
上界	如果存在 R 中的 M 使得對於所有 N 中的 n，an<M。
下界	如果存在 R 中的 M 使得對於所有 N 中的 n，an>M。
有界	如果序列同時是*上界*和*下界*。
柯西	如果對於所有 ε>0，都存在一個自然數 N，使得對於所有 n, m > N，有 |am-an| < ε。

收斂和極限

序列的另一個重要性質（從分析的角度來看，也許是最重要的性質）是收斂性。這個性質可以透過擴充套件 ε-δ 定義來輕鬆描述。然而，由於序列與計數數有關，因此存在一種額外的想象收斂的方式。這兩種方法都在下面描述。

定義 令 (x_n) 是實數序列。序列 (x_n) 被認為*收斂*到實數 a。

如果對於所有 ε>0，都存在 N 中的 N 使得對於所有 n≥N，有 |x_n-a|<ε。

如果 (x_n) 收斂到 a，那麼我們說 a 是 (x_n) 的*極限*，並寫成

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

或者

$x_{n}\to a$ 當 $n\to \infty$.

這讀作 x_n 趨近於 a 當 n 趨近於 ∞。如果變數 n 的作用很明顯，則可以簡化為 x_n→a 或者 lim x_n=a。

如果一個序列收斂，那麼它被稱為*收斂*的。

擴充套件這個概念並允許極限為 ∞ 或 −∞ 的序列也很有用

定義 我們說 x_n→∞ 當 n→∞ 時，如果對於 R 中的每個 M，都存在一個自然數 N，使得對於所有 n≥N，有 x_n≥ M。我們說 x_n→−∞ 當 n→∞ 時，如果對於 R 中的每個 M，都存在一個自然數 N，使得對於所有 n≥N，有 x_n≤ M。

儘管如此，我們並不將此類序列稱為收斂。它們被稱為*發散*。

雖然可以使用 ε-δ 定義來證明收斂，但另一種證明序列收斂的方法是透過數學歸納法，因為序列使用計數數進行引用。透過這種方法，一些定理更容易證明。但是，使用數學歸納法的證明不能像使用 ε-δ 的證明那樣推廣到實數。

以下定理將證明收斂序列的變化形式（透過歸納符號、極限符號或柯西符號表示）收斂到同一個數。這在直覺上似乎很明顯，但請記住，在極限問題上，直覺往往會欺騙我們。嚴格證明呈現給我們的每一個數學概念也是正確的數學風格。

定理（極限的唯一性）

一個序列最多隻能有一個極限。換句話說：如果 x_n → a 且 x_n → b，那麼 a = b。

證明

假設序列有兩個不同的極限，所以 a≠b。令 ε=|a−b|/3。

顯然 ε>0，使用兩次收斂定義，我們可以找到自然數 N_a 和 N_b，使得

$|x_{n}-a|\leq \epsilon$ 對於所有 n > N_a。

和

$|x_{n}-b|\leq \epsilon$ 對於所有 n > N_b。

取 k=max(N_a,N_b)，那麼這兩個條件都對 x_k 成立。因此，我們得出 |x_k−a|≤ε 且 |x_k−b|≤ε。應用三角不等式，我們看到

$|a-b|=|(x_{k}-b)-(x_{k}-a)|\leq 2\epsilon =(2/3)|a-b|,$

這是一個矛盾。因此，任何序列最多隻能有一個極限。$\Box$

定理（收斂序列是有界的）

如果子序列 $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ 是一個收斂序列，那麼它是有界的。

證明

設 $a=\lim _{n\to \infty }x_{n}$，並令 ε = 1。

根據 收斂定義，存在自然數 N 使得

$|x_{n}-a|\leq 1$ 對於所有 n ≥ N。

序列 $(x_{n})_{n=N+1}^{\infty }$ 上界為 a+1，下界為 a−1。令 M = max(|x₁|,|x₂|,|x₃|,…,|x_N|, |a|+1)。因此 −M ≤ x_n ≤ M 對於所有 n ∈ N。因此該序列是有界的。 $\Box$

定理 (柯西序列的有界性)

如果 $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ 是一個柯西序列，那麼它是有界的。

證明

設 (x_n) 為一個柯西序列。根據柯西序列的定義，存在自然數 N 使得 |x_n−x_m|<1 對於所有 n,m > N。特別是，|x_N+1−x_m|<1 對於所有 m > N。由反三角不等式得出 |x_m| < |x_N+1| + 1。如果令 M=max(|x₁|, |x₂|, …, |x_N|, |x_N+1| + 1)，那麼 |x_n| ≤ M 對於所有 n ∈ N。 $\Box$

以下定理告訴我們，序列的代數運算與求極限運算可以互換。這個簡單的定理是計算極限的有用工具。

序列的性質

鑑於我們對收斂的新定義，我們應該確保能夠對從這些序列中獲得的值進行代數運算，並且我們是否也能夠對收斂序列應用代數直覺。

代數運算

如果 (x_n) 和 (y_n) 是收斂序列，並且 a ∈ R，則以下性質成立

1. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \infty }(x_{n})+\lim _{n\to \infty }(y_{n})$.
2. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }y_{n}\right)$.
3. $\lim _{n\to \infty }(ax_{n})=a\lim _{n\to \infty }(x_{n})$.
4. $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}$ (假設對於所有 n∈N，y_n ≠ 0 且 lim y_n ≠ 0)。
5. 如果對於每個 n∈N，x_n ≤ y_n，那麼 $\lim _{n\to \infty }x_{n}\leq \lim _{n\to \infty }y_{n}$.

證明

1. 令 x=lim x_n 和 y=lim y_n。我們需要證明對於任何 ε>0，都存在自然數 N，使得如果 n≥ N，則 |(x_n + y_n) − (x + y)|≤ε。給定任何 ε>0，我們有 ε/3>0，所以根據 收斂的定義，存在一個自然數 N_x，使得對於所有 n>N_x，|x_n−x|≤ε/3，類似地，我們可以選擇 N_y 使得對於所有 n>N_y，|y_n−y|≤ε/3。

令 N=max(N_x ,N_y)。如果 n>N，那麼根據三角不等式，我們有

$|(x_{n}+y_{n})-(x+y)|=|(x_{n}-x)+(y_{n}-y)|\leq \epsilon /3+\epsilon /3<\epsilon ,$

這就是我們需要證明的。 $\Box$

2. 令 x=lim x_n 和 y=lim y_n。由於這些序列是收斂的，所以它們是有界的。令 M_x 為 (x_n) 的界，令 M_y 為 (y_n) 的界。透過必要時增加這些數量，我們也可以假設 M_x > x 且 M_y > y。給定 ε>0，存在一些 N_x 和 N_y 使得

$|x_{n}-x|<{\epsilon \over 2M_{y}}$ 對於 n > N_x 且

$|y_{n}-y|<{\epsilon \over 2M_{x}}$ 對於 n > N_y。

那麼對於每個 n > max(N_x, N_y)，

$|x_{n}y_{n}-xy|\,$	$=|(x_{n}-x)y_{n}+x(y_{n}-y)|\,$
	$\leq |x_{n}-x|M_{y}+M_{x}|y_{n}-y|$
	$\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\leq \epsilon .$

$\Box$

3. 令 y_n = a 對於所有 n ∈ N。現在該陳述由 2. 推出。 $\Box$

4. 我們可以將此問題簡化為證明 lim (1/y_n) 存在且等於 1/(lim y_n)。然後由 2. 我們有

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)=\left(\lim _{n\to \infty }{1 \over y_{n}}\right)\left(\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}.$

令 y=lim y_n。根據習題，由於 y 和 y_n 不為 0，我們可以找到 δ > 0 使得 |y_n| > δ 且 |y| > δ。由此得出 1/|y_ny|<1/δ²。給定 ε > 0 選擇 n ∈ N 使得 |y_n − y| < δ²ε。我們有

$\left|{1 \over y_{n}}-{1 \over y}\right|=|y-y_{n}|{1 \over |y_{n}y|}\leq {\frac {|y-y_{n}|}{\delta ^{2}}}<\epsilon$.

因此，$\lim _{n\to \infty }{1 \over y_{n}}={1 \over y}.$ $\Box$

5. 我們首先可以簡化為一個序列恆等於 0 的情況。為了證明這一點，令 z_n = x_n − y_n。然後對於所有 n ∈ N，z_n < 0。令 z = lim z_n。假設 z > 0，那麼我們可以找到一個自然數 N 使得

$|z-z_{N}|<z\,$.

由於 z_N ≤ 0 < z，絕對值等於 z − z_N。減去 z 我們發現 −z_N < 0。因此 z_N 為正數。矛盾。因此，我們必須有 z ≤ 0。這意味著根據 1. 我們得到

$\lim _{n\to \infty }x_{n}-\lim _{n\to \infty }y_{n}=\lim _{n\to \infty }z_{n}=z\leq 0.$

因此 lim x_n ≤ lim y_n $\square$

定理 (夾逼定理)

這是重要的夾逼定理，它是極限的基石。由於收斂序列也可以透過極限概念和符號來思考，因此如果這個重要定理也適用於收斂序列，那麼它應該是明智的。

給定序列 (x_n)、(y_n) 和 (w_n)，如果 (x_n) 和 (y_n) 收斂於 a 且 x_n ≤ w_n ≤ y_n，則 w_n 收斂於 a。

證明

固定 ε > 0。我們需要找到一個 N 使得如果 n > N，則 |w_n − a| < ε。由於 (x_n) → a 且 (y_n) → a，收斂定義 確保存在整數 N_x 和 N_y 使得對於 n > N_x，|x_n − a| < ε，對於 n > N_y，|y_n − a| < ε。

令N=max(N_x, N_y)。 那麼，對於所有的n > N，我們有 −ε < x_n − a 和 y_n − a < ε。 由於 x_n < w_n < y_n，因此 x_n − a < w_n − a < y_n − a。

因此，如果 n ≥ N，那麼 −ε < x_n − a < w_n − a < y_n − a < ε。 換句話說，|w_n − a| < ε。$\Box$

完備性

以下結果與實數的完備性密切相關。

定理（單調序列的收斂性）

任何單調有界序列都收斂。 如果序列是單調不減的，那麼序列收斂到序列元素的上確界。 如果序列是單調不增的，那麼序列收斂到序列元素的下確界。

證明

設(x_n)為任何以實數M為界的單調序列。 不失一般性，假設(x_n)是單調不減的。 由於(x_n)在上方有界，根據上確界公理，它有一個上確界。 令x = sup {x_n | n ∈ N}。 我們現在將證明(x_n) → x。

固定ε > 0。 如練習中所述，如果s = sup(A)，那麼對於任何ε > 0，在A中存在一個元素a，使得s − ε < a < s。 因此，存在一個N在N中，使得x − ε < x_N < x。

對於任何n > N，由於x_n是單調不減的，我們有

$x-\epsilon <x_{N}\leq x_{n}<x$.

因此 |x − x_n| < ε，根據收斂定義，(x_n)收斂到x。 $\Box$

定理（巢狀區間性質）

如果存在閉區間序列I_n = [a_n, b_n] = {x | a_n ≤ x ≤ b_n}，使得I_n+1 ⊆ I_n 對於所有n，那麼∩I_n 非空。

證明

由於 I_n+1 ⊆ I_n，因此 a_n ≤ a_n+1 和 b_n+1 ≤ b_n。

由於(a_n)和(b_n)是單調序列，根據前一個定理，它們收斂。 此外，由於 a_n < b_n 對於所有n，因此 lim a_n ≤ lim b_n 。

根據(a_n)和(b_n)的單調性，對於每個n，我們有

$a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}\leq b_{n}.$

因此 lim a_n ∈ [a_n, b_n] 對於每個n，這意味著

$\lim _{n\to \infty }a_{n}\in \bigcap _{n=1}^{\infty }I_{n}.$

因此，交集非空。 $\Box$

定理（博爾扎諾-魏爾斯特拉斯）

任何有界實數序列都包含一個收斂子序列。

證明

設(x_n)為一個以實數M為界的實數序列，即 |x_n| < M 對於所有n。 我們定義集合A為 A = {r | |r| ≤ M 且 r < x_n 對於無窮多個n}。 我們注意到A非空，因為它包含-M，A在上方以M為界。 令x = sup A。

我們斷言，對於任意 ε > 0，在區間 (x − ε, x + ε) 內必須有無限多個點 x_n。假設不是這樣，並固定一個 ε > 0，使得在區間 (x − ε, x + ε) 內只有有限多個 x_n 的值。要麼 x ≤ x_n 對於無限多個 n 成立，要麼 x ≤ x_n 對於最多有限多個 n 成立（可能根本沒有 n）。假設 x< x_n 對於無限多個 n 成立。顯然在這種情況下 x ≠ M。如果需要，限制 ε 使得 x + ε ≤ M。設定 r = x + ε/2，我們有 r < x_n 對於無限多個 n 成立，因為在集合 [x,r] 中只有有限多個 x_n，並且 x 必須小於無限多個 x_n，此外 |r| < M。因此 r 在 A 中，這與 x 是 A 的上界相矛盾。現在假設 x< x_n 對於最多有限多個 n 成立。設定 y = x − ε/2。那麼最多隻有有限多個 n 使得 x_n ≥ y。因此，如果 r < x_n 對於無限多個 n 成立，我們有 r ≤ y。這意味著 y 是 A 的一個上界，小於 x，這與 x 是 A 的最小上界相矛盾。無論哪種情況，我們都得出一個矛盾，因此我們必須有，對於任意 ε > 0，在區間 (x − ε, x + ε) 內必須有無限多個點 x_n。

現在我們證明存在一個收斂於 x 的子序列。我們用歸納法定義子序列，從區間 (x − 1, x + 1) 中選擇任何 x_n1。假設我們已經選擇了 x_n1, …, x_nk−1，選擇 x_nk 為區間 (x − 1/k, x + 1/k) 中的一個元素，使得 n_k∉{n₁, …, n_k−1}，這是可能的，因為在該區間內有無限多個 (x_n) 元素。注意，對於這個選擇的 x_nk，我們有 |x − x_nk|<1/k。因此對於任何 ε>0，如果我們取任何 k > 1/ε，那麼 |x_nk-x| < ε。也就是說，子序列 (x_nk) → x。 $\Box$

定理（柯西準則）

一個序列收斂當且僅當它是柯西序列。雖然這看起來像是比收斂更弱的性質，但實際上它是等價的，正如以下定理所顯示的

證明

首先，我們證明如果 (x_n) → x 那麼 x_N 是柯西序列。現在假設對於給定的 ε > 0，我們希望找到一個 N 使得 |x_n − x_m| < ε 對於所有 n, m > N 成立。我們將選擇 N 使得對於所有 n ≥ N，我們有 |x_n − x| < ε/2。根據三角不等式，對於任何 n, m > N，我們有

$|x_{n}-x_{m}|\leq |x_{n}-x|+|x_{m}-x|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$.

因此 (x_n) 是一個柯西序列。

現在我們證明如果 (x_n) 是一個柯西序列，那麼它收斂於某個 x。令 (x_n) 為一個柯西序列，並令 ε > 0。根據柯西序列的定義，存在一個自然數 L 使得 |x_n − x_m| < ε/2 只要 n, m > L。由於 (x_n) 是一個柯西序列，因此它是 有界的。根據博爾扎諾-魏爾斯特拉斯定理，它有一個收斂於某個點 x 的子序列 (x_nk)。現在我們將證明整個序列收斂於 x

因為 (x_nk) 收斂，我們可以選擇一個自然數 M 使得如果 n_k > M，那麼 |x_nk − x| < ε/2。令 N = max(L, M)，並固定任何 n_k > N。對於 n > N，我們有

$|x_{n}-x|\leq |x_{n}-x_{n_{k}}|+|x_{n_{k}}-x|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$.

因此根據收斂的定義 (x_n) → x。 $\Box$

這些定理都描述了實數完備性的不同方面。讀者會注意到，最小上界性質在本節中被大量使用，並且它是將實數與有理數區分開來的公理。雖然這些定理對於有理數是錯誤的，但並非所有定理都可以替代最小上界性質。柯西準則和巢狀區間性質不足以在沒有額外假設的情況下蘊含最小上界性質，而單調序列收斂定理和博爾扎諾-魏爾斯特拉斯性質確實蘊含最小上界性質。

上極限和下極限

極限證明是分析中非常有用的工具，它們的主要缺點是它們可能並不總是存在。有時，對任何序列都有效的極限概念是有用的。為此，我們引入了上極限（通常簡稱為“lim sup”）和下極限（通常簡稱為“lim inf”）。

定義 對於一個序列 (x_n)，我們定義上極限，記為 lim sup，為

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\inf _{k}\sup _{n\geq k}x_{n}.$

類似地，我們定義下極限，用 lim inf 表示

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\sup _{k}\inf _{n\geq k}x_{n}.$

如果 (x_n) 不受上界限制，我們說 lim sup x_n = ∞。如果 (x_n) 不受界限制，我們說 lim inf x_n = −∞。

注意，對於有界序列，lim sup 和 lim inf 總是存在的。我們知道一般的有界序列，極限並不總是存在。但當 lim sup 和 lim inf 相等時，情況就會好轉，正如下一個定理所示。

定理（上極限和下極限）

設 (x_n) 為一個有界序列。那麼 (x_n) → x 當且僅當 lim sup x_n = x = lim inf x_n。

證明

首先假設 (x_n) → x。固定一個 ε > 0，選擇一個自然數 N，使得對於任何 n > N，x − ε < x_n < x + ε。因此，對於任何 k > N，我們有

$x-\epsilon \leq \sup _{n>k}x_{n}\leq x+\epsilon$

因此，x − ε < lim sup x_n < x + ε。由於 ε 是任意的，這種情況只有在 lim sup x_n = x 時才會發生。類似的論證表明 lim inf x_n = x。

現在假設 lim inf x_n = x = lim sup x_n，我們希望證明 lim x_n = x。

首先回想一下，x=lim sup x_n 定義為

$x=\inf _{k}\sup _{n>k}x_{n}$

給定一個 ε > 0，因為我們可以任意接近下確界，所以我們可以選擇 N_ls，使得

$\sup _{n>N_{ls}}x_{n}-x<\epsilon$

類似地，回想一下，x=lim inf x_n 定義為

$x=\sup _{k}\inf _{n>k}x_{n}$

因為我們可以任意接近上確界，所以我們可以選擇 N_li，使得

$x-\sup _{n>N_{li}}x_{n}<\epsilon$

設 N = max(N_ls, N_li)。現在如果 n > N，那麼

$\inf _{n>N_{li}}\leq \inf _{n\geq N}\leq x\leq \sup _{n\geq N}\leq \sup _{n>N_{ls}}$

因此，對於任何 n > N

$x-\sup _{n>N_{ls}}x_{n}\leq x-x_{n}\leq x-\inf _{n>N_{li}}x_{n}.$

根據我們對 N_ls 和 N_li 的選擇，這意味著對於任何 n > N

$-\epsilon \leq x-x_{n}\leq \epsilon .\quad \Box$