實分析/第 2 節練習

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以下是華夏公益教科書中“序列與級數”部分的習題列表。此處列出的問題也包含與泰勒多項式和泰勒級數相關的題目，因為它們包含序列和級數性質。只有在你對導數有一定的瞭解時才做這些題目。否則，以下問題應該不會依賴於其部分以外的太多概念。

未分類

對於以下序列列表，直接從收斂定義確定以下序列是否收斂或發散
1. 序列 $\textstyle ({\frac {n-1}{n}})_{n=2}^{\infty }$ ;
2. 序列 $\textstyle ({\frac {{\sqrt {2n-1}}+2}{\sqrt {n+3}}})_{n=1}^{\infty }$ ;
3. 序列 $\textstyle \left({\frac {2n-7}{n^{2}+1}}\right)_{n=1}^{\infty }$ ;
4. 由以下定義的遞迴序列
  $x_{0}=2$
  
  $x_{n}={\sqrt {x_{n-1}}}$
令
$x_{n}={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}&{\text{if }}n{\text{ is odd;}}\\{\frac {1}{n}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$ .
求 lim sup x_n。
對於以下序列，確定對於哪些實數x，給定序列收斂，以及序列收斂到的值
1. $\textstyle ({\frac {x}{n}})_{n=1}^{\infty }$ ;
2. $\textstyle (x^{n})_{n=1}^{\infty }$ ;
3. $\textstyle ({\frac {1}{n^{x}}})$ 對於任意實數x;
給定任何實數c，找到一個收斂於 ${\sqrt {c}}$ 的遞迴定義序列。
給定一個序列 (x_n) 和一個自然數k，透過y_n = x_n+k 定義一個序列y_n。證明 (x_n) 收斂當且僅當 (y_n) 收斂。進一步證明當它們收斂時，它們收斂到相同的極限。
假設序列 (x_n) 和 (y_n) 收斂到實數a。證明由
$z_{n}={\begin{cases}x_{2n-1}&{\text{if }}n{\text{ is odd;}}\\y_{2n-3}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$
證明z_n → a。
令 (x_n) 為實數序列，並令 (y_n) 為子序列。假設 (y_n) 收斂，證明 (x_n) 可能不一定收斂。
假設 (x_n) 是一個收斂但不收斂於 0 的序列。進一步假設對於N 中的所有n，x_n ≠ 0。證明存在δ > 0 使得 |x_n| > δ 且 |lim x_n | > δ。
Cesaro 均值收斂：如果平均數序列 y_n = (x₁ + x₂ + … + x_n)/n 收斂到 x，則稱序列 (x_n) 按 Cesaro 均值 收斂到 x。假設 (x_n) 收斂到實數 x，證明 (x_n) 按 Cesaro 均值收斂到 x。舉一個例子說明發散序列 (x_n) 可能按 Cesaro 均值收斂。
求 (1, 1, -1, 1, 1, -1...) 的 Cesaro 均值序列，並判斷其是否收斂。如果收斂，求極限。
考慮由 x₁ = 1 和 x_n = 1 + 1/x_n 遞迴定義的序列。證明 x_n 收斂，並求其極限。
在我們關於伸縮級數的討論中，我們證明了伸縮級數收斂到 a₁ − lim a_N+1，並且為了使此成立，不需要 lim a_N+1 = 0。實際上，這是正確的，這不是必要的。另一方面，我們後來證明了對於收斂級數，項的極限必須為 0。兩者如何都正確？解釋一下為什麼，在我們的設定中，我們可以有一個收斂的伸縮級數使得 lim a_N+1 ≠ 0，但對於每個收斂級數，項的極限仍為 0。
假設對於所有自然數 n，c_n ≤ a_n ≤ b_n。證明如果 ∑ c_n 和 ∑ b_n 都收斂，則 ∑ a_n 收斂。