實分析/第二節練習/答案

關於序列

問題 1

嚴格遞增

1. 我們需要確定它是否單調，以及是什麼型別（是嚴格遞增、嚴格遞減、非遞增、非遞減，還是什麼？）。根據題目，我們假設嚴格遞增。
2. 首先，我們應該證明基本情況。這意味著證明a₁ < a₂。

   ${\begin{aligned}a_{1}&<a_{2}\\{\frac {1}{2}}&<{\frac {2}{3}}\\3&<4\end{aligned}}$

3. 接下來，我們應該證明這適用於任何數字n

   ${\begin{aligned}a_{n}&<a_{n+1}\\{\frac {n}{n+1}}&<{\frac {n+1}{n+2}}\\n(n+2)&<(n+1)(n+1)\\n^{2}+2n&<n^{2}+2n+1\\0&<1\\\end{aligned}}$

4. 你完成了！一切都檢查無誤且有效。

一般

對於問題 2，我們看到 supx_n = 1，因為 n/(n+1) 接近 1。