實分析/第二節習題/提示

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實分析/第二節習題 習題

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這些是華夏公益教科書序列和級數部分的問題列表。這裡列出的問題還將包含與泰勒多項式和泰勒級數相關的題目，因為它們具有類似於序列和級數的性質。只有在你對導數有一定的瞭解時才做這些題目。否則，以下問題不應依賴於其部分之外的太多概念。

未排序

1. 對於以下序列列表，直接根據收斂的定義確定以下序列是否收斂或發散
   1. 序列 $\textstyle ({\frac {n-1}{n}})_{n=2}^{\infty }$;
   2. 序列 $\textstyle ({\frac {{\sqrt {2n-1}}+2}{\sqrt {n+3}}})_{n=1}^{\infty }$;
   3. 序列 $\textstyle \left({\frac {2n-7}{n^{2}+1}}\right)_{n=1}^{\infty }$;
   4. 由以下定義的遞迴序列

      $x_{0}=2$

      $x_{n}={\sqrt {x_{n-1}}}$

2. 令

   $x_{n}={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}&{\text{if }}n{\text{ is odd;}}\\{\frac {1}{n}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$.

   求 lim sup x_n。
3. 對於以下序列，確定對於哪些實數x，給定序列收斂，以及序列收斂到什麼值
   1. $\textstyle ({\frac {x}{n}})_{n=1}^{\infty }$;
   2. $\textstyle (x^{n})_{n=1}^{\infty }$;
   3. $\textstyle ({\frac {1}{n^{x}}})$ 對於任意實數x；
4. 給定任何實數c，找到一個遞迴定義的序列，該序列收斂到 ${\sqrt {c}}$。
5. 給定一個序列 (x_n) 和一個自然數k，定義一個序列y_n，使y_n = x_n+k。證明 (x_n) 收斂當且僅當 (y_n) 收斂。進一步證明當它們收斂時，它們收斂到同一個極限。
6. 假設序列 (x_n) 和 (y_n) 收斂到一個實數a。證明由以下定義的序列 (z_n)

   $z_{n}={\begin{cases}x_{2n-1}&{\text{if }}n{\text{ is odd;}}\\y_{2n-3}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$

   證明z_n → a。
7. 設 (x_n) 是一個實數序列，(y_n) 是它的一個子序列。假設 (y_n) 收斂，證明 (x_n) 不一定收斂。
8. 假設 (x_n) 是一個不收斂到 0 的收斂序列。進一步假設對於所有 n ∈ N，x_n ≠ 0。證明存在 δ > 0 使得 |x_n| > δ 且 |lim x_n | > δ。
9. Cesaro 均值收斂：如果平均數序列 y_n = (x₁ + x₂ + … + x_n)/n 收斂到 x，則稱序列 (x_n) **按 Cesaro 均值** 收斂到 x。假設 (x_n) 收斂到實數 x，證明 (x_n) 按 Cesaro 均值收斂到 x。給出例子說明發散序列 (x_n) 可能按 Cesaro 均值收斂。
10. 求 (1, 1, -1, 1, 1, -1...) 的 Cesaro 均值序列，並確定它們是否收斂。如果收斂，求極限。
11. 考慮由 x₁ = 1 和 x_n = 1 + 1/x_n 遞迴定義的序列。證明 x_n 收斂並求其極限。
12. 在我們討論伸縮級數時，我們證明了一個伸縮級數收斂到 a₁ − lim a_N+1，並且為了使此成立，不必有 lim a_N+1 = 0。事實上，這確實是不必要的。另一方面，我們後來證明了對於一個收斂級數，項的極限必須為 0。這兩種說法如何才能都正確？解釋為什麼，在我們的設定中，我們可能有一個收斂的伸縮級數，使得 lim a_N+1 ≠ 0，但對於每個收斂級數，項的極限仍然為 0。
13. 假設對於所有自然數 n，c_n ≤ a_n ≤ b_n。證明如果 ∑ c_n 和 ∑ b_n 都收斂，那麼 ∑ a_n 也收斂。

關於序列

對於以下問題，點選方框將顯示一般提示和選擇不同型別提示的選項。答案也將顯示，但會在點選之前隱藏。每個問題的答案都在單獨的頁面上，出於技術和心理上的原因。

1. 給定序列 {a_n}，使得 {a_i} = i/i+1，證明 {a_n} 是嚴格遞增的。

問題提示

證明 a_i < a_i+1 對於所有 i 成立，i 是一個自然數。

方法提示 1

使用數學歸納法很容易證明該序列嚴格遞增。

方法提示 2

在數學歸納法中，您可能需要將兩邊展開。

答案

2. 證明自然數沒有上界

問題提示

N 的結果：給定 n，存在 n + 1 > n

方法提示

使用定義和反證法證明自然數不可能存在上界。

泰勒多項式和級數

1. 以下問題不依賴與泰勒多項式相關的任何定理。但是，您應該知道泰勒多項式的定義是什麼。
   1. 證明任何泰勒多項式都是連續的。
   2. 證明任何泰勒多項式都是無限可微的。

提示 / 答案

1. 無提示。
2. 無提示。
3. 無提示。
4. 使用牛頓法近似函式 x² − c 的零點。
5. 無提示。
6. 無提示。
7. 無提示。
8. 無提示。
9. 無提示。
10. 無提示。
11. 為了證明序列收斂，證明該序列是有界的並且包含兩個單調子序列，它們根據單調收斂定理都收斂，並且它們的差收斂到 0。為了找到極限，對遞迴關係的兩邊取極限以找到極限必須滿足的方程。
12. 無提示。
13. 仔細觀察我們如何定義伸縮和。
14. 嘗試將其與通常的比較檢驗聯絡起來。