實分析/戴德金構造

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實分析 戴德金構造

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歷史上，戴德金給出了實數的第一個構造。與康托爾的構造一樣，戴德金的方法從有理數集構造實數。戴德金的構造對實數給出了一個更幾何的影像。

構造的思想是，每個實數 $r$ 應該將數軸分成兩個子集，小於 $r$ 的數和大於或等於 $r$ 的數。這兩個集合對於每個實數都是不同的，並且給定這些集合，我們可以確定 $r$ 。事實上，因為每個實數都將數軸分成兩部分，它也將有理數分成兩部分。如果我們知道這兩組有理數，那麼我們也可以確定 $r$ 。因此，當尋找定義實數的方法時，我們可以將它們定義為將有理數分成兩個集合的方法的集合。今天在討論戴德金分割時，通常只跟蹤這兩個集合中的一個。我們對分割的定義可以非正式地理解為小於 $r$ 的數。

定義

我們說 $\alpha \subset \mathbb {Q}$ 是一個分割 當且僅當以下陳述為真

戴德金分割 $x^{2}<2$

1. 集合 $\alpha$ 不是空的。也就是說，存在某個有理數 $p$ 使得 $p\in \alpha$ 。
2. 如果 $p\in \alpha$ 且 $q$ 是一個有理數，使得 $q<p$ ，那麼 $q\in \alpha$ 。所以對於分割的任何元素，小於它的每個有理數也是分割的元素。
3. 存在一個有理數 $a$ 使得 $p<a$ 對於所有 $p\in \alpha$ 。因此，存在一個有理數，它大於某個特定的分割中的任何元素。
4. 對於每個 $p\in \alpha$ ，存在一個 $r\in \alpha$ 使得 $p<r$ 。因此，分割中的每個元素都存在另一個比它更大的元素。如果這似乎不可能，想象一系列近似於我們試圖定義的實數的有理數。例如，分割 $x^{2}<2$ 包含一系列可數無限個有理數，如 1、1.2、1.4、1.41、1.414、1.4142 等，它們中的每一個都比上一個大，並且更接近 ${\sqrt {2}}$ 。

構造

我們現在概述如何使 Dedekind 割集形成滿足最小上界公理的有序域。

順序

首先，我們討論如何比較兩個分割的大小。

定義 給定兩個分割 $\alpha ,\beta$ ，我們說 $\alpha =\beta$ 如果它們是有理數的相同子集。也就是說，如果 $\alpha \subseteq \beta$ 並且 $\beta \subseteq \alpha$ 。

練習 證明上面定義的等價關係是等價關係。

定義 給定兩個分割 $\alpha ,\beta$ ，我們說 $\alpha <\beta$ 如果 $\alpha \subset \beta$ 。

練習 證明上面的順序滿足順序公理，並且 $\mathbb {R}$ 是全序的。

我們現在也假設對 $\geq ,<,>$ 的通常定義，我們把這些定義留給讀者自行補充。

練習 給定兩個切口 $\alpha ,\beta$ ，證明如果 $\alpha <\beta$ ，那麼存在一個有理數 $p\in \beta$ 使得 $p\notin \alpha$ 。

練習 （三等分律）證明，在這種順序下，每個切口恰好滿足以下三個不等式中的一個： $\alpha <0,\alpha =0,\alpha >0$ 。

域公理

設 $\alpha ,\beta$ 是兩個切口

定義加法為 $\alpha +\beta =\{p+q:p\in \alpha ,q\in \beta \}$ 。

定義否定為 $-\alpha =\{r\in \mathbb {Q} :r<-p{\text{ for some }}p\not \in \alpha \}$

令 0 為由 $\mathbf {0} =\{r:r<0\}$ 定義的切口。

練習 對於兩個切口 α，β 驗證 α+β，−α 和 0 都是切口。此外，證明切口集合在這種加法定義下形成一個阿貝爾群。單位元是什麼？

定義乘法需要更多小心。我們定義

$\alpha \cdot \beta ={\begin{cases}\{p\cdot q\mid p\in \alpha ,p>0,q\in \beta \}&{\text{if }}\alpha \geq \mathbf {0} ,\beta \geq \mathbf {0} ;\\\{p\cdot q\mid p\notin \alpha ,q\in \beta ,q>0\}&{\text{if }}\alpha \geq \mathbf {0} ,\beta <\mathbf {0} ;\\\{p\cdot q\mid p\in \alpha ,q\notin \beta ,q>0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} ,\beta \geq \mathbf {0} ;\\\{r\mid r<p\cdot q,{\text{ with }}p\not \in \alpha ,q\not \in \beta ,{\text{ and }}p<0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} ,\beta <\mathbf {0} .\end{cases}}$

我們注意到，在乘法定義中，我們需要小心地選擇具有特定符號的元素。這是透過涉及 Dedekind 切口的順序的練習來實現的。

我們定義切口 1 為 1={r|r<1}。

對於一個非零分割 α ≠ 0，我們定義

$\alpha ^{-1}={\begin{cases}\{r\mid r<{\frac {1}{p}},p\not \in \alpha \}&{\text{if }}\alpha >\mathbf {0} ;\\\{r\mid r<{\frac {1}{p}},p\not \in \alpha ,{\text{ and }}p<0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} .\end{cases}}$

練習 對於兩個分割 α，β，驗證 α·β，α^-1（假設 α ≠ 0）和 1 都是分割。證明在這些定義下，德德金分割的集合構成一個有序域。

最小上界性質

我們現在將證明德德金分割的集合滿足最小上界公理。

設 *A* 是一個非空的分割集合，假設存在一個分割 β，使得對所有 α，α < β。換句話說，*A* 是一個非空的分割集合，並具有由 β 給出的上界。

現在，我們透過對 *A* 中所有分割給出的子集取並集，來定義有理數的一個子集 δ。即 $\delta =\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}\alpha$

現在，我們想證明 δ 是一個分割。假設 *p*∈δ，則意味著 *p*∈α₀，對於 *A* 中的某個 α₀。那麼，如果 *q* < *p*，則 *q*∈α₀，因此 *q*∈δ。這說明了第一個性質。此外，存在某個 *r*∈α₀，使得 *r* > *p*，但此時 *r*∈δ。因此，第三個性質成立。為了證明第二個性質成立，注意到 δ⊆β，因為每個 α⊆β。根據 β 的分割性質，存在有理數 *b*，使得 *b* > *p*，對於所有 *p*∈β。因此，*b* > *p*，對於所有 *p*∈δ。因此，δ 是一個分割。

現在，根據定義，δ 是 *A* 的上界。如果 η 是任何滿足 η < δ 的分割，則存在有理數 *p*∈δ 且 *p*∉η。但 *p*∈α₀，對於 *A* 中的某個 α₀。因此，η 不大於 α₀，因此 η 不是 *A* 的上界。因此，δ 是最小上界。這說明了德德金分割的集合滿足最小上界公理。

參考文獻

• W. Rudin, *數學分析原理*，McGraw-Hill International