實分析/戴德金構造

歷史上，戴德金給出了實數的第一個構造。與 Cantor 的構造一樣，戴德金的方法從有理數集構造實數。戴德金的構造給出了實數更幾何的影像。

構造的思想是，每個實數 $r$ 應該將數軸分成兩個子集，小於 $r$ 的數字和大於或等於 $r$ 的數字。這兩個集合對於每個實數都是不同的，並且給定這些集合，我們可以確定 $r$ 。事實上，因為每個實數都將數軸分成兩部分，所以它也將有理數分成兩部分。如果我們知道這兩個有理數集，那麼我們也可以確定 $r$ 。因此，當尋找定義實數的方法時，我們可以將它們定義為將有理數劃分為兩個集合的方式的集合。今天，當討論戴德金分割時，人們通常只跟蹤這兩個集合中的一個。我們對分割的定義可以非正式地認為是小於 $r$ 的數字。

定義

我們說 $\alpha \subset \mathbb {Q}$ 是一個分割當且僅當以下陳述為真

戴德金分割

x^{2}<2

集合 $\alpha$ 非空。也就是說，存在某個有理數 $p$ 使得 $p\in \alpha$ 。
如果 $p\in \alpha$ 並且 $q$ 是一個有理數，使得 $q<p$ ，那麼 $q\in \alpha$ 。因此，對於分割的任何元素，小於它的任何有理數也是分割的元素。
存在一個有理數 $a$ ，使得對於所有 $p\in \alpha$ 都有 $p<a$ 。因此，存在一個有理數大於特定分割中的任何元素。
對於每個 $p\in \alpha$ ，存在一個 $r\in \alpha$ ，使得 $p<r$ 。因此，分割中的每個元素都有另一個比它更大的元素。如果這看起來不可能，想象一個有理數序列，它們逼近我們試圖定義的實數。例如，分割 $x^{2}<2$ 包含一系列可數無限多個有理數，例如 1、1.2、1.4、1.41、1.414、1.4142 等，每個有理數都比上一個大，並且更接近於 ${\sqrt {2}}$ 。

構造

我們現在概述如何使 Dedekind 分割集形成一個滿足最小上界公理的有序域。

順序

首先，我們討論如何比較兩個分割的大小。

定義給定兩個分割 $\alpha ,\beta$ ，如果它們是有理數的同一個子集，則我們稱 $\alpha =\beta$ 。也就是說，如果 $\alpha \subseteq \beta$ 並且 $\beta \subseteq \alpha$ 。

練習證明上面定義的等價關係是等價關係。

定義給定兩個分割 $\alpha ,\beta$ ，如果 $\alpha \subset \beta$ ，則我們稱 $\alpha <\beta$ 。

練習證明上面的順序滿足順序公理，並且 $\mathbb {R}$ 是全序的。

我們現在還假設對 $\geq ,<,>$ 的通常定義，我們將其留給讀者提供正確的定義。

練習給定兩個分割 $\alpha ,\beta$ ，證明如果 $\alpha <\beta$ 那麼存在一個有理數 $p\in \beta$ 使得 $p\notin \alpha$ 。

練習（三等分律）證明在該序下，每個分割都恰好滿足以下三個不等式中的一個： $\alpha <0,\alpha =0,\alpha >0$ 。

域公理

令 $\alpha ,\beta$ 是兩個分割

定義加法為 $\alpha +\beta =\{p+q:p\in \alpha ,q\in \beta \}$ 。

定義否定為 $-\alpha =\{r\in \mathbb {Q} :r<-p{\text{ for some }}p\not \in \alpha \}$

令 0 為由 $\mathbf {0} =\{r:r<0\}$ 定義的分割。

練習對於兩個分割 α, β，驗證 α+β, −α 和 0 是分割。此外，證明在該加法定義下，分割集合形成一個阿貝爾群。單位元是什麼？

定義乘法需要更多注意。我們定義

\alpha \cdot \beta ={\begin{cases}\{p\cdot q\mid p\in \alpha ,p>0,q\in \beta \}&{\text{if }}\alpha \geq \mathbf {0} ,\beta \geq \mathbf {0} ;\\\{p\cdot q\mid p\notin \alpha ,q\in \beta ,q>0\}&{\text{if }}\alpha \geq \mathbf {0} ,\beta <\mathbf {0} ;\\\{p\cdot q\mid p\in \alpha ,q\notin \beta ,q>0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} ,\beta \geq \mathbf {0} ;\\\{r\mid r<p\cdot q,{\text{ with }}p\not \in \alpha ,q\not \in \beta ,{\text{ and }}p<0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} ,\beta <\mathbf {0} .\end{cases}}

我們注意到在乘法定義中，我們需要小心選擇具有特定符號的元素。這是透過涉及戴德金分割序的練習來實現的。

我們定義分割 1 為 1={r|r<1}。

對於分割 α ≠ 0，我們定義

\alpha ^{-1}={\begin{cases}\{r\mid r<{\frac {1}{p}},p\not \in \alpha \}&{\text{if }}\alpha >\mathbf {0} ;\\\{r\mid r<{\frac {1}{p}},p\not \in \alpha ,{\text{ and }}p<0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} .\end{cases}}

練習：對於兩個分割 α，β，驗證 α·β，α^-1（假設 α ≠ 0）和 1 都是分割。證明這些定義使得德德金分割的集合構成一個有序域。

最小上界性質

我們現在將展示德德金分割的集合滿足最小上界公理。

設 A 為一個非空的分割集合，並假設存在一個分割 β 使得對於所有的 α，α<β。換句話說，A 是一個非空的分割集合，且有由 β 給出的上界。

現在我們定義一個有理數子集 δ，透過對 A 中所有分割給出的子集進行並集。也就是說 $\delta =\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}\alpha$

現在我們想要證明 δ 是一個分割。假設 p∈δ，則意味著 p∈α₀，其中 α₀ 是 A 中的一個分割。那麼，如果 q<p，則 q∈α₀，因此 q∈δ。這證明了第一個性質。此外，存在某個 r∈α₀ 且 r>p，但此時 r∈δ。因此，第三個性質成立。為了看到第二個性質成立，注意到 δ⊆β，因為每個 α⊆β。根據 β 的分割性質，存在一個有理數 b 使得 b>p 對所有 p∈β 成立。因此，b>p 對所有 p∈δ 成立。所以 δ 是一個分割。

現在，根據順序的定義，δ 是 A 的上界。如果 η 是任何滿足 η<δ 的分割，那麼存在一個有理數 p∈δ 且 p∉η。但 p∈α₀，其中 α₀ 是 A 中的一個分割。因此，η 不大於 α₀，所以 η 不是 A 的上界。因此，δ 是最小上界。這表明德德金分割的集合滿足最小上界公理。

參考文獻

W. Rudin， *數學分析原理*， McGraw-Hill 國際