實分析/第 1 節練習/提示

實分析/第 1 節練習
練習

以下是一些針對華夏公益教科書中實數部分的練習題。大部分問題可以歸類為代數問題，但這一組問題也包含了來自數論的定理和概念。數論不是本華夏公益教科書的重點，但有一節附錄專門用於形式化數論中的一些概念。建議做一些數論部分的題目，因為它的討論範圍——與自然數及其超集整數和有理數相關的定理——很少被清晰地討論，通常留給直覺去理解。

無序

證明 $-1<0\$
證明 $\forall z\in \mathbb {Z} ,\ z^{2}\geq 0$
完成上述簡單結果的證明。
證明覆數集 $\mathbb {C}$ 不能構成一個有序域。
完成平方根定理的證明，詳細說明 $x<1$ 的情況。
假設 A 是一個有上界的非空實數集，令 s = sup A。證明如果 s 不在 A 中，那麼對於任何 ε > 0，都存在 A 中的一個元素 a 使得 s − ε < a < s。

代數

以下問題旨在將你在初等數學中可能僅僅記憶為公理式的代數規則進行形式化。但是，只要有在實數部分建立的前幾個定律，例如交換律和將變數移到等號兩邊的代數運算，以下問題應該是讓你習慣於應用定理來證明你主張的一種簡單方法——這是數學中一項非常重要的技能。

1. 證明以下關於不等式的定理（假設變數除非明確限制，否則可以在其假設的域中取任何值）

如果 0 ≤ x，則 -x ≤ 0
如果 a < b，則 -b < -a
給定 x < 0，如果 y < z，則 xy > xz
如果 a < b 且 c < d，則 a + c < b + d
如果 a < b 且 c > d，則 a - c < b - d
如果 0 ≤ a < b 且 0 ≤ c < d，則 ac < bd

2. 證明以下不等式（假設變數除非明確限制，否則可以在其假設的域中取任何值）

如果 1 ≤ x，則 x ≤ x²
如果 1 ≤ x，則 1 ≤ x²
如果 0 < x < 1，則 x² < x
如果 0 ≤ x < y，則 x² < y²
給定 x，y 使得 0 ≤ x，y，如果 x² < y²，則 x < y
給定奇數 n，如果 x < y，則 xⁿ < yⁿ
給定自然數 n，如果 0 ≤ x < y，則 xⁿ < yⁿ

3. 證明以下與本章中提供的定律相關的推論定理

如果存在數 0，則 $0=-0$
$\forall x,y\in \mathbb {Z} ,\ -(xy)=(-x)y=x(-y)$

4. 證明以下關於有理數的定理

給定 $a\neq 0,b\neq 0$ ， ${\frac {1}{ab}}={\frac {1}{a}}\cdot {\frac {1}{b}}$
給定 $b\neq 0,c\neq 0$ ， ${\frac {a}{b}}={\frac {ac}{bc}}$
給定 $b\neq 0,d\neq 0$ ， ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$
給定 $b\neq 0,d\neq 0$ ， ${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}$

方法提示（通用 1）

大多數這些不應該太難; 記住你的代數定律！即使在不等式中，它們仍然是有效的公理。

方法提示（通用 2a）

如果協調，這些問題是為了強化你在解決不等式問題時可以做的一種特殊屬性。

方法提示（通用 2b）

作為提示 2a 的延續，此屬性類似於你在解方程時如何用變數進行代入。但是，只要改變一下，它仍然適用於不等式。

提示（問題 III）

你可以使用問題 II 中證明的 x 的另一種定義。另外，請記住，你不必一步完成所有操作。

評論和進一步閱讀

問題 1ii 提供了一種證明為什麼當你乘以 -1 時不等號“翻轉”的方法。

問題 1vii 在不等式問題中非常重要，在這些問題中，在其他不等式之間插入不等式通常不是有效操作。它提供了一個它有效的示例。

答案

絕對值

1. 證明以下不等式（假設變數，除非受限制，可以是任何數字）

|a| + |b| ≤ |a + b|

方法提示（通用 1）

記住你的代數定律！即使在不等式中，它們仍然是有效的公理。

方法提示（通用 2a）

絕對值，根據定義，是正數。

方法提示（通用 2b）

有一個代數運算可以保證正輸出，其對輸出數字的逆運算最好表示為絕對值（在初等數學中，它被分解成多個情況，如果邏輯上是合理的，而不是）。

進一步閱讀 (1i)

這是三角不等式的證明。請注意，此版本適用於實數線，但該網頁上顯示的通用版本是也適用的概括。

答案

數論

證明偶數和奇數的以下性質
1. 如果你加上兩個偶數，那麼和是偶數。
2. 如果你加上兩個奇數，那麼和是偶數。
3. 如果你將一個奇數與一個偶數相乘，那麼積是偶數。
4. 如果你將兩個奇數相乘，那麼積是奇數。
證明對於所有自然數，沒有一個完美的平方數的連續數也是一個完美的平方數。你不必為這個問題考慮 0。
證明不存在原始畢達哥拉斯三元組 $a,b,c$ 使得 a 和 b 都是偶數或 a 和 b 都是奇數。
給定 $\forall a\in \mathbb {Z} :[\exists b\in \mathbb {N} :\exists r,q\in \mathbb {Z} :a=bq+r]$ ，證明如果給定的成立，那麼餘數 r 具有以下性質 $0\leq r<b$ 。
證明 ${\sqrt {2}}$ 是無理數。
證明任何素數的平方根都是無理數。
給定方程 $x-c=A(x-d)+B(x-e)$ ，其中 $A,B,c,d,e$ 是常數，證明如果 $x$ 是除 $d$ 或 $e$ 以外的任何數，那麼 $A$ 和 $B$ 都無法定義。