實分析/極限與連續性習題

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實分析 練習

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這些是華夏公益教科書的 極限與連續性 部分的習題列表。

無序 1

1. 雖然華夏公益教科書斷言以下問題 在該表中 的真實性，但證明它們是一個很好的練習。因此，給定連續函式 $f$ 和 $g$，證明以下內容
   • $\lim _{x\rightarrow c}{(f+g)(x)}=f(c)+g(c)$
   • $\lim _{x\rightarrow c}{(f\cdot g)(x)}=f(c)\cdot g(c)$
   • $\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {f}{h}}\right)(x)}={\dfrac {f(c)}{h(c)}}$，給定 $h$ 是一個函式，使得 $h(c)\neq 0$
2. 給定一個連續函式 $f$ 和 $g$ 在任何區間 $I$ 上，證明 $f\circ \lim _{x\rightarrow a}g(x)=\lim _{x\rightarrow a}f\circ g(x)$ 對於區間 $I$ 中的所有 $x$

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問題 2 是證明極限可以在函式組合之間“轉移”的證明。

無序 2

這些問題屬於困難的型別，或者換句話說，如果不是溫和的話，就是非標準的型別。嘗試在沒有提示的情況下解決這些問題，因為大多數情況下，你可能會有不同的方法或思考問題的思路。只有在你真的卡住的時候才使用提示！閒話少說，以下是問題

1. 證明函式 f(x) = 1/x 在區間 (0,∞) 上不是一致連續的。
2. 證明凸函式是連續的(回顧一下，一個函式 $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ 是一個凸函式，如果對於所有 $x,y\in (a,b)$ 和所有 $s,t\in [0,1]$ 滿足 $s+t=1$，有 $f(sx+ty)\leq sf(x)+tf(y)$)
3. 證明每個連續函式f，它將[0,1]對映到自身，至少有一個不動點，即 $\exists p\in [0,1]$ 使得 $f(p)=p$
4. 證明區間上連續函式空間的基數為 $\mathbb {R}$
5. 設 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 是一個單調函式，即 $\forall x,y\in [a,b];x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$。證明 $f$ 有可數個間斷點。
6. 設 $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ 是一個可微函式，並假設存在某個正常數 $K$ 使得 $|f'(x)|\leq K$ 對於所有 $x\in (a,b)$ 成立。
   1. 證明 $f$ 在 $(a,b)$ 上是利普希茨連續的。
   2. 證明每個利普希茨連續函式也是一致連續的（因此你正在處理的函式 $f$ 是一致連續的）。

提示（問題 6.1）

這裡可以使用中值定理。