實分析/極限與連續性練習/提示

實分析
練習

這些是華夏公益教科書中極限與連續性部分的問題列表。

雖然華夏公益教科書斷言以下問題的真實性在此表中，但證明它們是一個很好的練習。因此，給定連續函式 $f$ $f$ 和 $g$ $g$ ，證明以下
- $\lim _{x\rightarrow c}{(f+g)(x)}=f(c)+g(c)$
- $\lim _{x\rightarrow c}{(f\cdot g)(x)}=f(c)\cdot g(c)$
- $\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {f}{h}}\right)(x)}={\dfrac {f(c)}{h(c)}}$ ，給定 $h$ 是一個函式，使得 $h(c)\neq 0$
給定一個連續函式 $f$ 和 $g$ 在任何區間 $I$ 上，證明 $f\circ \lim _{x\rightarrow a}g(x)=\lim _{x\rightarrow a}f\circ g(x)$ 對於區間 $I$ 中的所有 $x$

評論和進一步閱讀

問題 2 是一個證明，極限可以在函式複合之間“轉移”。

這些問題屬於困難型別，或者換句話說，如果不是稍微的話，就是非標準型別。嘗試在沒有提示的情況下解決問題，因為大多數情況下，你可能會有不同的方法或思考問題的方式。只有在你真的卡住的時候才使用提示！不多說了，以下是問題

證明函式 f(x) = 1/x 在區間 (0,∞) 上不一致連續。
證明凸函式是連續的(回想一下，一個函式 $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ 是一個凸函式，如果對於所有的 $x,y\in (a,b)$ 和所有的 $s,t\in [0,1]$ 滿足 $s+t=1$ ， $f(sx+ty)\leq sf(x)+tf(y)$ )
證明每個將 [0,1] 對映到自身的連續函式 f 至少有一個不動點，也就是說 $\exists p\in [0,1]$ 使得 $f(p)=p$
證明在區間上的連續函式空間具有 $\mathbb {R}$ 的基數。
令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 是一個單調函式，即 $\forall x,y\in [a,b];x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$ 。證明 $f$ 有可數個間斷點。
令 $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ 是一個可微函式，並且假設存在一個正常數 $K$ $K$ 使得 $|f'(x)|\leq K$ $|f'(x)|\leq K$ 對於所有的 $x\in (a,b)$ $x\in (a,b)$ 成立。
1. 證明 $f$ 在 $(a,b)$ 上是 Lipschitz 連續的。
2. 證明每個 Lipschitz 連續的函式也是一致連續的（因此你正在使用的函式 $f$ 是一致連續的）。

提示 (問題 6.1)

這裡可以使用中值定理。

無提示。
你可能想先證明凸函式上方的區域是凸的（即連線區域中兩個點的任何直線都完全位於區域內），然後利用這個事實，用反證法來證明凸函式確實是連續的（即沒有跳躍或可去間斷點）。
考慮函式 $h(x)=f(x)-x$ 。使用中間值性質，證明存在 $\exists p$ 使得 $h(p)=0$ 。
首先證明所有實數無窮序列的集合與 $\mathbb {R}$ 具有相同的基數，然後證明每個連續函式都由其在 $\mathbb {Q}$ 上的值確定。
無提示。
(a) 使用中值定理（當我們學習到的時候）。(b) 令 $\delta =\epsilon /K$ 。