實分析/微分

←練習

實分析 微分

導數的應用→

在本章中，我們將介紹微分的概念。微分是微積分中的一種基本工具，你在學習早期數學時應該已經對此有所瞭解。然而，為什麼這是真的，原因並不總是那麼清晰。本章證明了微分的一個簡單推論，你應該很熟悉 - 也就是說，我們將集中證明每個微分“運算”，它為我們提供了一種簡單的方法來找到常見函式的導數。

定義

讓我們定義函式的導數。

設 $a\in \mathbb {R}$。給定一個函式 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$，我們說ƒ(x) 在x=a處可微當且僅當 $\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$ 存在。

ƒ 在a處的導數記為 $f'(a)$

如果在集合A中的每個a處都存在導數，則稱該函式在集合A上可微。如果一個函式在其整個定義域上可微，則稱該函式可微。

定義推出的定理（可微性蘊含連續性）

從我們對導數的定義可以看出，它使用了極限和函式。這個定理將微分與連續性聯絡起來，這對於證明本章將討論的許多後續定理很有用。該定理的證明很簡單；它需要一個有效的極限收斂於零來模擬連續性的定義。

定理 給定一個在a處可微的函式ƒ，它也在a處連續

該定理的證明如下

證明在a處可微的函式在a處連續

可微定義	${\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}\\f'(a)\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{h}&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{h}\\f'(a)\cdot 0&=\lim _{h\rightarrow 0}{{\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}\cdot h}\\0&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)}-\lim _{h\rightarrow 0}{f(a)}\\\lim _{h\rightarrow 0}{f(a)}&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)}\\\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)}&=f(a)\end{aligned}}$
假設我們用0乘以兩邊
代數運算
連續性定義 $\blacksquare$

然而，反過來在這種情況下不成立。分析證明，很明顯，一個在a處連續的函式並不一定意味著它在a處可微，僅僅是因為它會涉及去除乘以0的操作，而這根據我們的代數公理是不可能的。

微分的性質

根據這個定義，我們將建立新的導數性質。熟悉微積分的人應該注意到，我們正在證明某些函式和運算的導數是有效的。這些第一個定理直接從定義得出。

基本性質

以下是僅出於完整性而提及的屬性列表，以及關於導數公式如何工作的演示。

基本導數列表

常數函式	給定 $f(x)=c,\quad f'(a)=0$
恆等函式	給定 $f(x)=x,\quad f'(a)=1$

常數函式

假設一個常數函式 ƒ 使得 $f(x)=c\quad \forall x\in \mathbb {R}$。這個函式對於任何實數的導數始終為 0。

根據導數定義，我們有

$f'=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$

應用函式的定義，我們可以用 c 代替函式，如下所示

${\begin{aligned}f'&=\lim _{h\rightarrow 0}{c-c \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{0 \over h}\\&=0\\&\blacksquare \end{aligned}}$

恆等函式

假設一個恆等函式 ƒ 使得 $f(x)=x\quad \forall x\in \mathbb {R}$。這個函式對於任何實數的導數始終為 1。

根據導數定義，我們有

$f'=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$

應用函式的定義，我們可以用它的輸入代替函式，如下所示

${\begin{aligned}f'&=\lim _{h\rightarrow 0}{a+h-a \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{h \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{1}\\&=1\\&\blacksquare \end{aligned}}$

代數性質

假設兩個函式 f 和 g 在 a 處可微，以下性質適用

代數運算的導數列表

加法	$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$
減法	$(f-g)'(a)=f'(a)-g'(a)$
乘法	$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$
函式的倍數	$(\lambda f)'(a)=\lambda \cdot f'(a)$
倒數	$\left({\dfrac {1}{f}}\right)'(a)=-{\dfrac {f'(a)}{f^{2}}}$
除法	$\left({\dfrac {f}{g}}\right)'(a)={\dfrac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g^{2}}}$

我們將在下面分別證明每一個

加法

這個證明實質上是從構成整體函式的兩個函式中建立了微分的定義。

${\begin{aligned}(f+g)'(a)&=\lim _{h\rightarrow 0}{(f+g)(a+h)-(f+g)(a) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{(f(a+h)+g(a+h))-(f(a)+g(a)) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({f(a+h)-f(a) \over h}+{g(a+h)-g(a) \over h}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}+\lim _{h\rightarrow 0}{g(a+h)-g(a) \over h}\\&=f'(a)+g'(a)\\&\blacksquare \end{aligned}}$

減法

我們不會為減法寫出一個嚴謹的證明，因為我們可以透過想象一個取反的 $g(a)$ 函式或用減法而不是加法來重新追蹤加法的證明，在腦子裡完成。

乘法

這個證明與之前的證明類似，只是這個證明需要新增額外的項，這些項在加在一起時會抵消。 這是一個在推導定理時常用的代數技巧，在本節後面的定理中還會繼續使用。

${\begin{aligned}(fg)'(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a) \over h}\\&{\text{next, we introduce the }}f(a)g(a+h){\text{ term into the statement}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a+h)+f(a)g(a+h)-f(a)g(a) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{g(a+h)(f(a+h)-f(a))+f(a)(g(a+h)-g(a)) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}\lim _{h\rightarrow 0}{g(a+h)}+\lim _{h\rightarrow 0}{f(a)}\lim _{h\rightarrow 0}{g(a+h)-g(a) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}g(a+h)+f(a)\lim _{h\rightarrow 0}{g(a+h)-g(a) \over h}\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\&\blacksquare \end{aligned}}$

常數的乘積

對於這個證明，我們將使用兩種不同的方法來呈現它。

第一種方法只需要一個極限定理，即常數的倍數等價於極限乘以常數。

${\begin{aligned}(\lambda f)'(a)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\lambda f(a+h)-\lambda f(a) \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\lambda \left({\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right)}\\&=\lambda \lim _{h\rightarrow 0}{f(a+h)-f(a) \over h}\\&=\lambda f'(x)\\&\blacksquare \end{aligned}}$

第二種證明需要應用乘積法則和常數函式的微分。

${\begin{aligned}(\lambda f)'(a)&=g'(x)f(x)+g(x)f'(x)\\&=0\cdot f(x)+\lambda f'(x)\\&=\lambda f'(x)\\&\blacksquare \end{aligned}}$

倒數

與之前其他證明一樣，這個證明也會在某個點呼叫定義，將語句簡化為簡潔、易記的形式。

${\begin{aligned}\left({\dfrac {1}{f}}\right)'(a)&=\lim _{h\rightarrow 0}{{\dfrac {1}{f(a+h)}}-{\dfrac {1}{f(a)}} \over h}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(a)-f(a+h)}{h\cdot f(a+h)f(a)}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{{\dfrac {f(a)-f(a+h)}{h}}\cdot {\dfrac {1}{f(a+h)f(a)}}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{-{\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {1}{f(a+h)f(a)}}\\&=-f'(a)\cdot {\dfrac {1}{f(a)f(a)}}\\&=-{\dfrac {f'(a)}{[f(a)]^{2}}}\\&\blacksquare \end{aligned}}$

除法

此證明借鑑了倒數證明和乘積證明，形成一個易於理解的論證。

${\begin{aligned}\left({\dfrac {f}{g}}\right)'(a)&=\left(f\cdot {\dfrac {1}{g}}\right)'(a)\\&=f'(a)\left({\dfrac {1}{g(a)}}\right)+{f(a) \over g'(a)}\\&=f'(a)\left({\dfrac {1}{g(a)}}\right)+f(a)\left({\dfrac {1}{g(a)}}\right)'\\&={\dfrac {f'(a)}{g(a)}}-{\dfrac {f(a)g'(a)}{[g(a)]^{2}}}\\&={\dfrac {f'(a)g(a)}{[g(a)]^{2}}}-{\dfrac {f(a)g'(a)}{[g(a)]^{2}}}\\&={\dfrac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{[g(a)]^{2}}}\\&\blacksquare \end{aligned}}$

鏈式法則（函式複合定理）

給定兩個函式 f 和 g，使得 f 在 $g(a)$ 處可微，g 在 a 處可微，則 $(f\circ g)'(a)=f'\circ g(a)\cdot g'(a)$

證明第一部分

與之前的性質不同，鏈式法則很快就會變得很麻煩，並且絕對需要一個外部定理才能解決，而不是代數運算。為了說明為什麼需要一個新的定理，我們將從代數運算開始證明鏈式法則，指出障礙，然後建立一個引理來指導我們繞過這個問題，從而找到一個證明。我們從以下陳述開始

$(f\circ g)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over y-x}$ $=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}{g(y)-g(x) \over y-x}$$=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}$$=f'(g(x))g'(x)$

問題是 $g(y)-g(x)$ 可能在任意接近 x 的點處為零，因此 ${f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}$ 在這些點處不會連續。因此，我們應用以下一個巧妙的引理

Caratheodory 引理

令 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

我們說 $f(x)$ 在 $x=c$ 處可微當且僅當存在一個連續函式 $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 使得

$(x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\forall x\in \mathbb {R}$

證明

($\Rightarrow$) 令 $f(x)$ 在 $x=c$ 處可導，並定義函式 $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 使得

$\phi (x)={\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}$ 當 $x\neq c$，並且

$\phi (c)=f'(c)$

很容易看出 $\phi (x)$ 是連續的，並且滿足所需的條件。

($\Leftarrow$) 令 $\phi (x)$ 是一個滿足 $(x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\forall x\in \mathbb {R}$ 的連續函式。

對於所有 $x\neq c$，我們有 $\phi (x)={\tfrac {f(x)-f(c)}{x-c}}$

由於 $\phi$ 是連續的，所以 $\phi (c)=\lim _{x\to c}\phi (x)$，即

$\phi (c)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}$，這意味著 $f(x)$ 在 $x=c$ 處可微。

證明第二部分

令 $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在 $c\in \mathbb {R}$ 處可微。

令 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在 $d=g(c)$ 處可微。

令函式 f 的定義域為函式 g 的值域的子集。

那麼，

1. $(f\circ g)(x)$ 在 $x=c$ 處可微。
2. $(f\circ g)'(c)=f'(g(c))g'(c)$

Caratheodory 引理表明存在連續函式 $\phi ,\gamma :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$，使得 $(x-c)\gamma (x)=g(x)-g(c)$ 且 $(g(x)-g(c))\phi (g(x))=f(g(x))-f(g(c))$

現在，考慮函式 $\eta (x)=\phi (g(x))\gamma (x)$。顯然，$\eta (x)$ 是連續的。

此外，它滿足$(x-c)\eta (x)=(f\circ g)(x)-(f\circ g)(c)$。因此，根據 Caratheodory 引理，$(f\circ g)(x)$ 在$x=c$ 可微，並且$(f\circ g)'(c)=\eta (c)=f'(g(c))g'(c)$

練習

以下是一些練習，可以幫助你擴充套件和鞏固對材料的理解。

1. 求以下函式的導數
   1. 形如ƒ(x) = xⁿ 的函式
   2. 多項式
   3. 三角函式
   4. 指數函式
   5. 對數函式
2. 在本節中，你學習了函式可微意味著該函式在該點連續。鑑於此，請閱讀 高階導數，然後再解決這些問題
   1. 證明在 a 處的二階導數是否也在 a 處連續
   2. 證明在 a 處的 n 階導數是否也在 a 處連續
3. 一些最流行的反例用來說明連續性和可微性的性質，這些函式涉及$f(x)=\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$
   1. 證明$f(x)=\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\forall x\neq 0,f(0)=0$ 在$x=0$ 不連續
   2. 證明函式$f(x)=x\sin({\tfrac {1}{x}})\forall x\neq 0,f(0)=0$ 在$x=0$ 連續但不可微
   3. 證明$f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\forall x\neq 0,f(0)=0$ 在$x=0$ 可微