實分析/連續性

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實分析 連續性

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現在我們已經定義了函式的極限，我們可以定義一個函式連續意味著什麼。連續性的概念抓住了函式“沒有突然跳躍或振盪”的直觀影像。然而，在本頁中，我們將從這個基本定義轉向具有清單的內容；具有嚴謹性的內容。這不僅在實分析中很重要，在其他數學領域也很重要。

連續性標誌著函式分類的新方法，特別是當本頁後面解釋的定理被使用時，這種分類尤為突出。然而，如果讀者是線性地閱讀本華夏公益教科書，那麼應該注意，本華夏公益教科書將描述具有比連續性更多屬性的函式。例如，初等數學中的函式，如多項式、三角函式以及指數和對數函式，包含比連續函式更多級別的屬性。我們還將看到一些不連續函式的例子，以提供一些關於不符合條件的常見函式的說明。

定義

I 上的連續函式定義

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給定一個區間 $I$ 和一個函式 $f:I\to \mathbb {R}$，在I 上連續被定義為遵循以下性質

$\forall \varepsilon >0:\exists \delta >0:\forall x\in I:\exists c\in \mathbb {R} :|x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon$

它表示為 $\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$

讀者可能會注意到這個定義與極限的定義之間的相似之處，因為與極限不同，在極限中，函式 $f$ 可以收斂到任何值，連續性限制返回值只能是函式 $f$ 被評估時預期的值。這種額外的限制提供了許多新的定理，如下面的標題所示，其中一些最重要的定理將被展示。

運算

由於極限在代數運算下保持不變，讓我們檢查一下連續性是否也是如此。

代數運算

我們看到，如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 c 處都連續，連續性在以下情況下仍然有效

在代數運算下保持不變的連續函式列表

加法	$\lim _{x\rightarrow c}{(f+g)(x)}=f(c)+g(c)$
減法	$\lim _{x\rightarrow c}{(f-g)(x)}=f(c)-g(c)$
乘積	$\lim _{x\rightarrow c}{(f\cdot g)(x)}=f(c)\cdot g(c)$
函式的倍數	$\lim _{x\rightarrow c}{\lambda \cdot g(x)}=\lambda \cdot g(c)$
倒數	$\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {1}{g}}\right)(x)}={\dfrac {1}{g(c)}}$
除法	$\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {f}{g}}\right)(x)}={\dfrac {f(c)}{g(c)}}$

當然，對於任何除法，g(c) 必須是一個有效數字，即不為 0。

這實際上是在您檢視極限的代數運算儲存證明時得出的推論。只需將極限值 *L* 和 *M* 分別替換為 ƒ(c) 和 g(c) 即可。

我們可以使用序列極限來證明函式不連續，方法如下

• $f(x)$ 在 $c$ 處不連續，當且僅當存在兩個序列 $(x_{n})\rightarrow c$ 和 $(y_{n})\rightarrow c$ 使得 $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))\not =\lim _{n\rightarrow \infty }(f(y_{n}))$.

複合

複合比較棘手，但它仍然像直覺暗示的那樣起作用；兩個連續函式的複合仍然是一個連續函式。

定理

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如果 $f:B\rightarrow \mathbb {R}$ 在 $g(x)$ 的值域上是連續的，並且 $g:A\rightarrow B$ 在任何區間 $A$ 上是連續的，那麼複合函式 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 在 A 上是連續的。

證明過程簡單地透過滿足複合函式 $f$ 和 $g$ 的連續性定義來完成。因此，除了純粹的定義之外，沒有使用代數或定理。

證明覆合函式在 c 處連續

首先，我們知道連續性需要什麼。因此，我們將使用最基本滿足連續性要求的定義來定義 epsilon。	令 $\epsilon >0$
由於 f 必須是連續的，我們也寫下我們知道是真的——它滿足連續性的屬性清單。現在，我們將對 delta 變數進行一些修改，原因將在後面解釋。	$\exists \delta _{1}>0:|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\epsilon$.
但是，$f$ 還有更多屬性。關鍵的是 $c$ 和 $x$ 指的是什麼。由於函式 $f$ 在 $g(x)$ 的值域上是連續的，這意味著 $f$ 的輸入值實際上是 $g$ 的輸出值。因此，我們可以用 $g(x)$ 的輸出值有效地替換 $f$ 中的 $c$ 和 $x$ 的值。	$\exists \delta _{1}>0:|g(x)-g(c)|<\delta _{1}\implies |f\circ g(x)-f\circ g(c)|<\epsilon$.
由於 g 必須是連續的，我們也會寫下我們知道為真的內容，即連續性的定義。	$\exists \delta _{2}>0:|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-g(c)|<\epsilon$.
表示式 $|g(x)-g(c)|<\epsilon$ 和 $|g(x)-g(c)|<\delta _{1}$ 非常相似。我們可以利用這一點，看看是否可以利用我們知道的任何性質。 考慮到 $\epsilon$ 的唯一要求是它必須為正，並且它的不等式關係對任何數字都成立，並且 $\delta _{1}$ 為正且是一個數字，那麼我們可以將二者聯絡起來，並定義 $\epsilon$ 為 $\delta _{1}$。	令 $\epsilon =\delta _{1}$
因此，我們抽象地將一個基於我們知道為真的內容構建的連續性定義串聯起來；即 $f$ 和 $g$ 的連續性。閱讀這個新蘊涵語句的有效結果；即 $f$ 和 $g$ 的複合函式的連續性，我們確信我們的說法，即 $f$ 和 $g$ 的複合函式也是連續的。證畢。	因此 $|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-g(c)|<\delta _{1}\implies |f(g(x))-f(g(c))|<\epsilon$ 所以 $f\circ g(x)$ 在 A 上是連續的。
$\square$

三個連續性定理

考慮一下連續性的直觀概念。如果你不能想象一個多項式函式的影像，它總是起作用的。當曲線平滑地穿過函式的定義域時，它就是連續性的圖形表示。然而，我們如何從數學上知道它是連續的呢？好吧，我們將從三個連續性定理開始，這些定理將驗證這個概念。

介值定理

這是關於連續性的一個重要定理。它本質上表明連續函式沒有突然的跳躍或斷裂。

定理

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設 f(x) 是一個連續函式。如果 $a<b$ 且 $f(a)<m<f(b)$，則 $\exists c\in (a,b):f(c)=m$.

介值定理：給定一個在 [a,b] 上連續的函式，以及三個變數 a < c < b，則必須有 ƒ(a) < ƒ(c) < ƒ(b)

證明

設 $S=\{x\in (a,b):f(x)<m\}$，設 $c=\sup S$.

設 $\epsilon =|f(c)-m|$。根據連續性，$\exists \delta :|x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon$.

如果 f(c) < m，那麼 $|f(c+{\frac {\delta }{2}})-f(c)|<\epsilon$，所以 $f(c+{\frac {\delta }{2}})<f(c)+\epsilon =m$。但然後 $c+{\frac {\delta }{2}}\in S$，這意味著 c 不是 S 的上界，矛盾。

如果 f(c) > m，那麼由於 $c=\sup S$，$\exists x:x\in S,c>x>c-\delta$。但由於 $|x-c|<\delta$，$|f(x)-f(c)|<\epsilon$，所以 $f(x)>f(c)-\epsilon$ = m，這意味著 $x\notin S$，矛盾。 $\Box$

我們現在將證明最小-最大定理，這是另一個與連續性相關的重大結果。本質上，它指出閉區間上的任何連續對映都是有界的，並且它也取得了這些界限。

最小-最大定理

該定理是另一個較大定理的第一部分。但是，就其本身而言，它有助於彌合關於函式的上確界和下確界之間的差距。

定理

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給定一個在 [a,b] 上的連續函式 ƒ，即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$，那麼 $f([a,b])$ 是有界的。

證明

假設如果可能的話，$f$ 是無界的。

令 $x_{1}={\tfrac {a+b}{2}}$。 然後，$f$ 在至少一個閉區間 $[a,x_{1}]$ 和 $[x_{1},b]$ 上無界（否則，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界，這與假設矛盾）。 將此區間稱為 $I_{1}$。

類似地，將 $I_{1}$ 分成兩個閉區間，並令 $I_{2}$ 是 $f$ 無界的那個區間。

因此，我們得到一個巢狀閉區間的序列 $[a,b]\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots$，使得 $f$ 在每個區間上都是無界的。

我們知道，一個巢狀閉區間序列的交集是非空的。 因此，令 $x_{0}\in I_{1}\cap I_{2}\cap \ldots$

因為 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 處連續，所以存在 $\delta >0$ 使得 $x\in V_{\delta }(x_{0})\implies f(x)\in (f(x_{0})-1,f(x_{0})+1)$ 但根據定義，總存在 $k\in \mathbb {N}$ 使得 $I_{k}\subseteq V_{\delta }(x_{0})$，與 $f$ 在 $I_{k}$ 上無界假設矛盾。因此，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

極值定理

這是定理的第二部分。它比之前的定理更具論斷性，說明不僅存在上確界和下確界，而且它們也可以被函式ƒ取到，並且位於您指定的區間內。

定理

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對於在 [a,b] 上連續的函式ƒ，即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$，如果 $M,m$ 分別是 $f([a,b])$ 的上界和下界，則存在 $c,d\in [a,b]$ 使得 $f(c)=M,f(d)=m$。

極值定理的描述：對於在 [a,b] 上連續的函式，一定存在最大值點 c 和 d，使得 ƒ(c) 是區間內的最大值，ƒ(d) 是區間內的最小值。

證明

假設如果可能，$M=\sup(f([a,b]))$ 但 $M\notin f([a,b])$.

考慮函式 $g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}$. 由連續性的代數性質，$g:[a,b]\to \mathbb {R}$ 是連續的。然而，$M$ 是 $f([a,b])$ 的聚點，$g(x)$ 在 $[a,b$ 上無界，與 (i) 矛盾。因此，$M\in f([a,b])$。類似地，我們可以證明 $m\in f([a,b])$.

附錄

連續性將在數學的其他分支中再次出現。您不僅會遇到連續性的不同變體，還會遇到連續性的不同定義。

一致連續性

令 $A\subseteq \mathbb {R}$
令 $f:A\to \mathbb {R}$

我們說 $f$ 在 $A$ 上是一致連續的，當且僅當對於每個 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得如果 $x,y\in A$ 且 $|x-y|<\delta$，那麼 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$

Lipschitz 連續性

令 $A\subseteq \mathbb {R}$
令 $f:A\to \mathbb {R}$

我們說 $f$ 在 $A$ 上是Lipschitz 連續的，當且僅當存在一個正實數常數 $K$ 使得，對於所有 $x,y\in A$，$|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|$.

最小的這樣的 $K$ 被稱為函式 $f$ 的Lipschitz 常數。

拓撲連續性

如前所述，連續函式的概念被應用於數學的許多領域，特別是在拓撲學中。在這種情況下，連續性的另一種表徵非常有用。

定理

令 $A\subseteq \mathbb {R}$
令 $f:A\to \mathbb {R}$

$f(x)$ 在 $x=c$ 處連續當且僅當對於 $f(x)$ 的每一個開鄰域 $V$，都存在 $x$ 的一個開鄰域 $U$，使得 $U\subseteq f^{-1}(V)$

需要注意的是，“開集”這個概念可以在比實數集或度量空間更一般的環境下定義，因此這種描述方式具有很高的實用性。