實分析/黎曼積分

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實分析 黎曼積分

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定義

黎曼積分是人們在想到積分時，最常想到的一種積分形式。它是在大多數微積分課程中唯一考慮的積分型別；許多其他形式的積分，特別是勒貝格積分，是黎曼積分對更大類函式的擴充套件。黎曼積分由 伯恩哈德·黎曼 在 1854 年提出，它是在發明時，第一個適用於不一定連續函式的嚴格積分定義。

我們首先定義一些初步的概念。

分割槽

定義

設 $a,b\in \mathbb {R}$

一個分割槽 ${\mathcal {P}}$ 定義為實數的 $n$ 元有序元組 ${\mathcal {P}}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$，使得 $a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b$

分割槽的範數

設 ${\mathcal {P}}$ 是由 ${\mathcal {P}}=(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 給出的分割槽。

那麼，${\mathcal {P}}$ 的範數（或“網格”）定義為 $\|{\mathcal {P}}\|=\sup {\Big \{}{\big |}x_{k}-x_{k-1}{\big |}:1\leq k\leq n{\Big \}}$

標記分割槽

令 ${\mathcal {P}}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ 為一個劃分

一個帶標籤的劃分 ${\mathcal {\dot {P}}}$ 定義為有序對的集合 ${\mathcal {\dot {P}}}={\Big \{}{\big (}[x_{k-1},x_{k}],t_{k}{\big )}{\Big \}}_{k=1}^{n}$ 其中 $x_{k-1}\leq t_{k}\leq x_{k}$ 。點 $t_{k}$ 稱為標籤。

黎曼

黎曼和

黎曼和

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

令 ${\mathcal {\dot {P}}}={\Big \{}{\big (}[x_{k-1},x_{k}],t_{k}{\big )}{\Big \}}_{k=1}^{n}$ 為 $[a,b]$ 的帶標籤的劃分

黎曼和 of $f$ 關於 $[a,b]$ 並關於 ${\mathcal {\dot {P}}}$ 給出如下

$S(f,{\mathcal {\dot {P}}})=\sum _{k=1}^{n}f(t_{k})(x_{k}-x_{k-1})$

黎曼積分

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

令 $L\in \mathbb {R}$

我們說 $f$ 在 $[a,b]$ 上是可積的，當且僅當，對於每個 $\varepsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得對於每個滿足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ 的分割 ${\mathcal {\dot {P}}}$，都有 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<\varepsilon$

$L$ 被稱為 $f$ 在 $[a,b]$ 上的積分，記為

$L=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ 或 $L=\int \limits _{a}^{b}f$

性質

定理（唯一性）

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 在 $[a,b]$ 上是可積的。

則 $f$ 的積分 $L$ 是唯一的。

證明

假設，如果可能的話，$L_{1}\neq L_{2}$ 都是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的積分。考慮 $\varepsilon ={\tfrac {|L_{1}-L_{2}|}{2}}$

由於 $L_{1},L_{2}$ 是積分，存在 $\delta _{1},\delta _{2}>0$ 使得 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L_{1}|<\varepsilon$ 對於所有滿足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta _{1}$ 的 ${\mathcal {\dot {P}}}$，以及 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L_{2}|<\varepsilon$ 對於所有滿足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta _{2}$ 的 ${\mathcal {\dot {P}}}$。

令 $\delta =\inf\{\delta _{1},\delta _{2}\}$。因此，如果 ${\mathcal {\dot {P}}}$ 是一個滿足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ 的劃分，那麼我們有 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L_{1}|<\varepsilon$ 以及 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L_{2}|<\varepsilon$

也就是說，$|L_{1}-L_{2}|<2\varepsilon =|L_{1}-L_{2}|$，這是一個明顯的矛盾。因此，積分 $L$ 的 $f$ 是唯一的。

我們現在陳述（不加證明）積分的兩個看似顯而易見的性質。

定理

令 $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ 是可積的，並令 $c\in (a,b)$

那麼

(i)$\int \limits _{a}^{b}f+\int \limits _{a}^{b}g=\int \limits _{a}^{b}(f+g)$

(ii)$\int \limits _{a}^{c}f+\int \limits _{c}^{b}f=\int \limits _{a}^{b}f$

定理（有界性定理）

設$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 是黎曼可積的，則$f$ 在$[a,b]$ 上是有界的。

證明

假設$f$ 是無界的，對於每一個$n\in \mathbb {N}$ ，將區間$[a,b]$ 分成$n$ 部分。因此，對於每一個$n\in \mathbb {N}$ ，$f$ 在這$n$ 部分中的至少一部分上是無界的。稱這一部分為$I_{n}$ 。

現在，設$\varepsilon >0$ 為給定值。考慮任意的$\delta >0$ 。設${\mathcal {\dot {P}}}$ 是一個標記的劃分，使得$\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ 且$(I_{n},t_{n})\in {\mathcal {\dot {P}}}$ ，其中$t_{n}$ 被選擇以滿足$|f(t_{n})|>n\varepsilon$ 。

因此，我們有 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|>\varepsilon$。但由於 $\delta >0$ 是任意的，我們得到了一個矛盾，因為它與 $f$ 是黎曼可積的這一事實相矛盾。

因此，$f$ 是有界的。

可積性

現在我們研究黎曼可積函式的類別。對黎曼可積函式的第一個“約束”由柯西可積性準則給出。

定理（柯西準則）

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

那麼，

(i)$f$ 在 $[a,b]$ 上是黎曼可積的當且僅當

(ii) 對於每個 $\varepsilon >0$，存在一個 $\delta >0$ 使得如果 ${\mathcal {\dot {P}}},{\mathcal {\dot {Q}}}$ 是兩個滿足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|,\|{\mathcal {\dot {Q}}}\|<\delta$ 的兩個劃分，則 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-S(f,{\mathcal {\dot {Q}}})|<\varepsilon$

證明

($\Rightarrow$)令 $\int _{a}^{b}f=L$ 並且令 $\varepsilon >0$ 被給出。

然後，存在一個$\delta >0$，使得對於任何滿足$\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$的劃分${\mathcal {\dot {P}}}$，我們有$|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}$

現在，設劃分${\mathcal {\dot {P}}},{\mathcal {\dot {Q}}}$滿足$\|{\mathcal {\dot {P}}}\|,\|{\mathcal {\dot {Q}}}\|<\delta$.

因此，我們有$|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|,|S(f,{\mathcal {\dot {Q}}})-L|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}$，也就是說$|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-S(f,{\mathcal {\dot {Q}}})|<\varepsilon$

($\Leftarrow$) 對於每個 $n\in \mathbb {N}$，考慮 $\delta _{n}>0$ 使得對於所有滿足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|,\|{\mathcal {\dot {Q}}}\|<\delta _{n}$ 的分割 ${\mathcal {\dot {P}}},{\mathcal {\dot {Q}}}$，我們有 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-S(f,{\mathcal {\dot {Q}}})|<{\tfrac {1}{n}}$.

不失一般性，我們可以假設當 $m<n$ 時，$\delta _{m}>\delta _{n}$。對於每個 $\delta _{n}$，令 ${\mathcal {\dot {P}}}_{n}$ 是一個分割，使得 $\|{\mathcal {\dot {P}}}_{n}\|<\delta _{n}$

序列 $a_{n}=S(f,{\mathcal {\dot {P}}}_{n})$ 是一個柯西序列，因此它有一個極限 $L\in \mathbb {R}$.

現在，對於每個 $\varepsilon >0$，我們都有一個 $\delta >0$ 使得 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta$ 意味著 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L|<\varepsilon$.

因此 $\int _{a}^{b}f=L$

定理（夾逼定理）

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

那麼，

(i) $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積 當且僅當

(ii) 對於每個 $\varepsilon >0$，存在黎曼可積函式 $\alpha _{\varepsilon },\omega _{\varepsilon }:[a,b]\to \mathbb {R}$ 使得

$\alpha _{\varepsilon }(x)\leq f(x)\leq \omega _{\varepsilon }(x)$ 對於所有 $x\in [a,b]$ 並且

$\int _{a}^{b}(\omega _{\varepsilon }-\alpha _{\varepsilon })<\varepsilon$

證明

($\Rightarrow$)取 $\alpha _{\varepsilon }(x)=f(x)=\omega _{\varepsilon }(x)$。很容易看出 $\int _{a}^{b}(\omega _{\varepsilon }-\alpha _{\varepsilon })<\varepsilon$

($\Leftarrow$)設 $n\in \mathbb {N}$。則存在函式 $\alpha _{n},\omega _{n}$ 使得 $\int _{a}^{b}(\omega _{n}-\alpha _{n})<{\tfrac {1}{n}}$。此外，如果 $\int _{a}^{b}\alpha _{n}=A_{n}$ 且 $\int _{a}^{b}\omega _{n}=Z_{n}$，則存在 $\delta _{1},\delta _{2}>0$ 使得，如果劃分 ${\mathcal {\dot {P}}}$ 滿足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta _{1}$ 則 $|S(\alpha _{n},{\mathcal {\dot {P}}})-A_{n}|<{\tfrac {1}{n}}$ 且 $\|{\mathcal {\dot {P}}}\|<\delta _{2}$ 則 $|S(\omega _{n},{\mathcal {\dot {P}}})-Z_{n}|<{\tfrac {1}{n}}$

現在設 ${\mathcal {\dot {P}}}_{n}$ 是一個滿足 $\|{\mathcal {\dot {P}}}_{n}\|<\inf\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ 的劃分。

現在，我們可以很容易地看到 $|S(f,{\mathcal {\dot {P}}}_{n})-S(f,{\mathcal {\dot {P}}}_{n-1})|<{\tfrac {1}{n}}$。因此，$S(f,{\mathcal {\dot {P}}}_{n})$ 是一個柯西序列，它有一個極限 $L\in \mathbb {R}$，並且與之前的證明類似，我們可以證明 $\int _{a}^{b}f=L$