實分析/廣義積分

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實分析 廣義積分

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積分的概念在高階分析中至關重要。積分的概念被擴充套件，使其適用於比$\mathbb {R}$ 的子集更一般的集合。感興趣的讀者可以參考華夏公益教科書測度論。然而，在這裡我們將討論積分的兩個重要推廣，它們仍然只適用於實值函式。

黎曼-斯蒂爾傑斯積分

黎曼-斯蒂爾傑斯積分（或斯蒂爾傑斯積分）可以看作是達布積分背後的想法的擴充套件。

上和與下和

設$f:[a,b]\to \mathbb {R}$

設$\alpha :[a,b]\to \mathbb {R}$ 使得$\alpha (x)$ 在$[a,b]$ 上嚴格遞增。

設${\mathcal {P}}$ 是$[a,b]$ 上的一個劃分，設$x_{k},x_{k-1}\in {\mathcal {P}}$

上和$f$ 關於${\mathcal {P}}$ 和$\alpha$ 由下式給出

$U(f,{\mathcal {P}},\alpha )=\sum _{k=1}^{n}M_{k}{\big (}\alpha (x_{k})-\alpha (x_{k-1}){\big )}$

其中$M_{k}$ 給定如上一章所示。

關於$f$相對於${\mathcal {P}}$和$\alpha$的 **下確界** 為：

$L(f,{\mathcal {P}},\alpha )=\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\big (}\alpha (x_{k})-\alpha (x_{k-1}){\big )}$

其中$m_{k}$的定義與前一章相同。

定義

設$f:[a,b]\to \mathbb {R}$

設$\alpha :[a,b]\to \mathbb {R}$ 使得$\alpha (x)$ 在$[a,b]$ 上嚴格遞增。

我們說$f$在$[a,b]$上關於$\alpha$ **Riemann-Stieltjes 可積** 當且僅當

$\sup _{\mathcal {P}}{\Big \{}L(f,{\mathcal {P}},\alpha ){\Big \}}=\inf _{\mathcal {P}}{\Big \{}U(f,{\mathcal {P}},\alpha ){\Big \}}$

其中，上確界和下確界是在所有劃分集合上取得的。

$L=\sup _{\mathcal {P}}{\Big \{}L(f,{\mathcal {P}},\alpha ){\Big \}}=\inf _{\mathcal {P}}{\Big \{}U(f,{\mathcal {P}},\alpha ){\Big \}}$被稱為$f$在$[a,b]$上關於$\alpha$的 **積分**，記為$\int \limits _{a}^{b}f(x)d\alpha (x)$或$\int \limits _{a}^{b}fd\alpha$。

觀察到將 $\alpha (x)=x$ 代入，我們得到 Darboux 積分，因此，Darboux 積分是 Riemann-Stieltjes 積分的特例。

Henstock Kurtzweil 積分

在計算 Riemann 積分 時，一個劃分“細度”的衡量是它的範數。然而，事實證明，範數對於一個劃分來說是一個非常粗糙的度量。因此，透過引入規範的巧妙概念，我們可以將 Riemann 積分的思想擴充套件到一類更大的函式。事實上，事實證明，這個積分，稱為Henstock-Kurtzweil 積分（以 Ralph Henstock 和 Jaroslav Kurzweil 命名）或廣義 Riemann 積分，比 Riemann-Stieltjes 積分以及實數區間上的其他幾個積分更普遍。

規範

規範是指一個函式 $\delta :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}$，也就是說，$\delta (x)$ 的取值範圍僅包含正實數。

一個帶標記的劃分 ${\mathcal {\dot {P}}}={\Big \{}(t_{k},[x_{k-1},x_{k}]){\Big \}}_{k=1}^{n}$ 被稱為對於一個規範 $\delta$ 是δ-精細當且僅當對於所有 $k$，

$[x_{k-1},x_{k}]\subseteq {\big (}t_{k}-\delta (t_{k}),t_{k}+\delta (t_{k}){\big )}$

定義

設$f:[a,b]\to \mathbb {R}$

令 $L\in \mathbb {R}$

然後，$f$ 被稱為在 $[a,b]$ 上是Henstock-Kurtzweil 可積的，當且僅當，對於任何 $\varepsilon >0$，都存在一個度量 $\delta :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}$，使得如果 ${\mathcal {\dot {P}}}$ 是 $[a,b]$ 的一個 δ-精細劃分，那麼

${\Big |}S(f,{\mathcal {\dot {P}}})-L{\Big |}<\varepsilon$