實分析/達布積分

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實分析 達布積分

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另一個廣為人知的“積分”定義是由 讓·加斯東·達布 提出的，並且經常在更高階的課本中使用，比如這個華夏公益教科書，因為它比較容易入門。在本節中，我們將定義達布積分，並證明達布積分與更廣為人知的黎曼積分的等價性。

構造

與 黎曼積分 不同，這種積分形式將放棄對函式 ƒ 的一個假設——它必須是連續的。它只假設函式 ƒ 在 [a,b] 上有界。當然，實分析課程中關於函式只在關注區間上的實數範圍內運作的正常假設可以被推測（即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$)

劃分

我們將修改達布積分的劃分定義，使值 *a* 和 *b* 也包含在集合中。為了完整起見，我們將再次寫出這個新定義。

定義 *劃分* ${\mathcal {P}}$ 是區間 $[a,b]$ 的

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一個有限的實數集合，使得 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$. 它通常記為 ${\mathcal {P}}=(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$，其中離散地寫入的 *x* 的數量是任意的。

定義 *劃分點*

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*劃分* 集合中的元素。

目前，我們將忽略對這些值進行索引的實際過程。但是，應該注意的是，我們對劃分的定義沒有對這些數字之間的關係做出任何斷言；*這些值不一定是均勻分佈的 - 但它們可以*。

上和與下和

設 ${\mathcal {P}}$ 是 $[a,b]$ 的一個劃分

對於每個 $x_{i}\in {\mathcal {P}}$，你可以定義兩個特殊的數字

$m_{i}\,{\dot {=}}\,\inf {\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}$ 和

$M_{i}\,{\dot {=}}\,\sup {\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}$

這兩個變數的口頭定義更加清晰；m_i 定義了兩個分割點之間所有有效 ƒ(x) 值的最小值，而 M_i 定義了兩個分割點之間所有有效 ƒ(x) 值的最大值。

接下來，我們將定義 Darboux 積分的關鍵功能部分，即求和。

上和的定義 $f$ 對於 ${\mathcal {P}}$

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一個函式，記為 $U(f,{\mathcal {P}})$，定義為 $\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

下和的定義 $f$ 對於 ${\mathcal {P}}$

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一個函式，記為 $L(f,{\mathcal {P}})$，定義為 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

借鑑幾何學，你會注意到這兩個求和本質上是對各種矩形形狀的加法，這些矩形形狀由於長度定義為最大值或最小值而與函式 ƒ 相關聯。

需要注意的是，雖然上和和下和借用了函式符號，但它並非嚴格意義上的函式。它以分割作為輸入，分割的大小是一個自然數。函式 ƒ 被視為一個固定的常量。

實際上，要得到 Darboux 積分，只需要再進行一個構造。唯一的問題是？這最後一步是將上和與下和聯絡起來。畢竟，從這個函式生成的矩形留下了很多空白，因為分割點太少了。分割點越多，M_i 和 m_i 就越接近同一個值。現在，下一個任務應該很清楚了；我們需要證明上和和下和可以收斂到一個點。

細化

構造的倒數第二部分要求我們證明關於我們的分割和求和的以下兩個引理

1. $L(f,{\mathcal {P}})\leq L(f,{\mathcal {P}}^{*})$
2. $U(f,{\mathcal {P}})\geq U(f,{\mathcal {P}}^{*})$

請原諒，在我們分析這個語句之前，我們必須先定義帶星號的分割 P 的含義。

定義分割槽 ${\mathcal {P}}$ 的細化${\mathcal {P}}^{*}$。

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一個分割槽，使得 ${\mathcal {P}}^{*}\supset {\mathcal {P}}$。或者，${\mathcal {P}}^{*}$ 在相同區間 [a,b] 上具有比 ${\mathcal {P}}$ 更多的分割點。

好的，我們為什麼要證明這一點呢？很簡單，這些不等式表明，更多的分割點會導致對實際面積的更好近似。下界將隨著它接近“面積”而增加，而上界將隨著它接近“面積”而減少。這應該是一個如此直觀的結論，以至於你可能從未想過要證明它。但是，我們現在將證明這個引理。它將是達布積分拼圖的最後一塊所需的。

這個證明很簡單，只需要不等式代數。

證明更細化分割槽的下和永遠不會更小

現在，讓我們假設 ${\mathcal {P}}^{*}$ 只比 ${\mathcal {P}}$ 多一個分割點（我們將在稍後使用這個特例來證明一般情況）。鑑於此，我們只需要從這些分割槽中取三個分割點來證明：${\mathcal {P}}^{*}$ 中獨有的那個額外的分割點，以及它在 ${\mathcal {P}}^{*}$ 和 ${\mathcal {P}}$ 中都存在的兩個相鄰的分割點。	令 $x_{i},x_{i-1}\in {\mathcal {P}}$，並令 $x^{*}\in {\mathcal {P}}^{*}\setminus {\mathcal {P}}$ 使得 $x_{i-1}<x^{*}<x_{i}$。
現在，我們將為這些分割點生成一個特殊的下確界變數 mi。它們被賦予變數名 m′ 和 m″。	令 $m'_{i}=\inf\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x^{*}]\}$ 和 $m''_{i}=\inf\{f(x)\,|\,x\in [x^{*},x_{i}]\}$
我們將使用所有這些變數來表示細化分割槽的下界和與分割槽下界的某種關係。	${\begin{aligned}L(f,{\mathcal {P}})&=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}{\text{ and }}\\L(f,{\mathcal {P}}^{*})&=\sum _{i=1}^{x^{*}-1}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\\&+m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})\\&+\sum _{i=x^{*}+1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\end{aligned}}$
透過從圖中移除求和（透過減法），可以得出比較兩個方程之間最終關係的精簡結果，如下所示：	$m_{i}(x_{i}-x_{i-1}){\text{ and }}m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})$
鑑於我們在同一個分割槽點之間有兩個下確界，而只有一個下確界，因此這種關係應該很明顯。這意味著透過一個分割槽點細化的分割槽更大。	$m_{i}(x_{i}-x_{i-1})\leq m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})$
使用遞迴，可以實現任意大小的細化分割槽。以下數學表示式描述了遞迴過程。	${\mathcal {P}}\subset {\mathcal {P}}^{1}\subset {\mathcal {P}}^{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {P}}^{*}$
$\blacksquare$

類似地，我們可以證明 $U(f,{\mathcal {P}})>U(f,{\mathcal {P}}^{*})$，使用相同的方法，透過反轉必要的函式。

收斂

現在我們已經證明了我們的直覺是正確的；更多的劃分將從下界和上界產生更接近的近似值，很公平地看看我們是否可以將它們結合起來。如果我能夠自由地使用數學符號，它可以被描述為

$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\rightarrow {\text{``Area''}}\leftarrow U(f,{\mathcal {P}}_{2})$

當上界（高估的面積）大於實際的“面積”，而下界（低估的面積）小於實際的“面積”時，但當劃分變得更細時，兩者都收斂於“面積”。然而，這樣想會讓我們避免我們收集到的數學片段，這些片段也可以公平地構建我們的積分。證明達布積分的路線圖引導我們到最後一塊,

$L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})$

其中 ${\mathcal {P}}$ 可以被認為是一個足夠完整的劃分，可以產生完美的近似值。在這一部分的解釋中，我們將它稱為完美劃分，儘管完美劃分重要的是不是無窮大的。但是，你可能會想知道如何解決這個問題；先前的引理沒有對下界和上界進行任何比較。這就是為什麼我們要證明這一點而不是

$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\leq U(f,{\mathcal {P}}_{2})$

當 ${\mathcal {P}}_{1}$ 和 ${\mathcal {P}}_{2}$ 是 [a,b] 的任意劃分。是的，它們不需要是同一個劃分，只要它們都在同一個區間 [a,b] 上。這實際上會更簡單，因為我們的證明會使用這兩個和作為界限——我敢說它像擠壓一樣嗎？

證明和收斂

假設 ${\mathcal {P}}_{1}$ 和 ${\mathcal {P}}_{2}$ 是主劃分的子集，我們可以使用我們的 引理 不斷細化我們的劃分，直到它們變成完美劃分。	$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\leq L(f,{\mathcal {P}})$ $U(f,{\mathcal {P}}_{2})\geq U(f,{\mathcal {P}})$
即使在建立完美分割的過程中，也可以注意到上限大於下限。這是由於，根據定義，上確界大於或等於任何其他值。我們可以排除下和永遠大於的情況。	$L(f,{\mathcal {P}}^{n})\leq U(f,{\mathcal {P}})$
說到這裡，我們也可以想象和的 上確界/下確界也會服從這種保持上和態勢的性質。	$\sup\{L(f,{\mathcal {P}}^{n})\}\leq \inf\{U(f,{\mathcal {P}})\}$
對函式使用上確界和下確界模擬了完美分割的行為。	$\sup\{L(f,{\mathcal {P}}^{n})\}=L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})=\inf\{U(f,{\mathcal {P}})\}$
我們不能得出結論。	$\blacksquare$

結論

我們陷入了僵局。我們的最後一步得出了關於下和和上和的非常奇怪的答案。即它們不是相等，而是不等式

$L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})$

其中數字的確定性仍然未知。但是，我們可以透過將其分為兩種情況並驗證其中一種來輕鬆避開這個問題。我們所說的驗證是什麼意思？我們可以將積分，即達布積分，定義為確保上和和下和相等的數字。然後我們可以將無效積分定義為保持不等式。用數學符號，我們將積分定義為

$L(f,{\mathcal {P}})=U(f,{\mathcal {P}})$

並拒絕所有其他情況作為無效積分。

從這裡，我們自下而上完成了達布積分的構造。.

定義

函式 ƒ 在 $[a,b]$

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上的達布可積的定義是

注意備用符號。 兩個定義是等價的，只是為了澄清令人困惑的符號。

1. 當且僅當 $\sup _{\mathcal {P}}L(f,{\mathcal {P}})=\inf _{\mathcal {P}}U(f,{\mathcal {P}})$，其中上確界取自該區間上的所有分割集
2. 當且僅當 $\sup {\{L(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}=\inf {\{U(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}$

它通常被記作

1. $\int _{a}^{b}f$
2. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

取決於你是否願意明確地寫出函式 (#2) 還是用函式名錶示 (#1)

備註

1. 當然，函式必須是實函式，即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$.
2. 與華夏公益教科書中其他概念（如極限）不同，達布積分的定義基於唯一性的條件，而極限是由定義推匯出來的。

性質

設 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

$f$ 在 $[a,b]$ 上是達布可積的當且僅當對任何 $\varepsilon >0$，存在 $[a,b]$ 上的劃分 ${\mathcal {P}}$，使得 $U(f,{\mathcal {P}})-L(f,{\mathcal {P}})<\varepsilon$

證明

($\Rightarrow$)令$A=\int _{a}^{b}f$，並令$\varepsilon >0$ 為給定值。因此，根據間隔引理，存在一個劃分${\mathcal {P}}$，使得$U(f,{\mathcal {P}}),L(f,{\mathcal {P}})\in V_{\frac {\varepsilon }{2}}(A)$，因此$U(f,{\mathcal {P}})-L(f,{\mathcal {P}})<\varepsilon$

($\Leftarrow$)令${\mathcal {P}}_{0}$ 為$[a,b]$ 上的任意一個劃分。觀察到$L(f,{\mathcal {P}}_{0})$ 是集合${\mathcal {U}}=\{U(f,{\mathcal {P}})|{\mathcal {P}}$ 是任何劃分$\}$ 的下界，並且$U(f,{\mathcal {P}}_{0})$ 是集合${\mathcal {L}}=\{L(f,{\mathcal {P}})|{\mathcal {P}}$ 是任何劃分$\}$ 的上界。

因此，令 $\alpha =\sup {\mathcal {L}}$ 且 $\beta =\inf {\mathcal {U}}$。由於 $L(f,{\mathcal {P}})<U(f,{\mathcal {P}})$，所以 $\alpha >\beta$ 不可能成立。同樣，由於 $\alpha ,\beta$ 分別是上確界和下確界，$\alpha <\beta$ 也無法成立。因此，$\alpha =\beta =L$（假設）。

由於 $L=\sup _{\mathcal {P}}L(f,{\mathcal {P}})=\inf _{\mathcal {P}}U(f,{\mathcal {P}})$，所以 $\int _{a}^{b}f=L$

黎曼積分與達布積分的等價性

乍一看，達布積分似乎是黎曼積分的特例。然而，這是一種錯覺，實際上兩者是等價的。

引理

(1) 令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 為達布可積函式，其積分值為 $L$

定義函式 $\varepsilon (\delta )=\sup\{|L-S(f,{\dot {P}})|:\|{\dot {P}}\|=\delta \}$

(2) 然後 $\delta _{1}<\delta _{2}$ $\Rightarrow$ $\varepsilon (\delta _{1})<\varepsilon (\delta _{2})$

證明

令 $\delta _{1}<\delta _{2}$。考慮集合 $T$ 中的標記分割槽 ${\dot {P}}$，使得 $\varepsilon (\delta _{1})\leq |L-S(f,{\dot {P}})|$

令 $T'$ 是 ${\dot {P'}}$ 的集合，其中 ${\dot {P'}}\subset {\dot {P}}\in T$ 並且 $\|{\dot {P'}}\|=\delta _{2}>\delta _{1}$

注意 $T'\neq T$，並且集合 $T'$ 確實包含所有具有 $\|{\dot {P'}}\|=\delta _{2}$ 的分割槽 ${\dot {P'}}$

現在，對於 ${\dot {P}}\in T$，我們可以構造 ${\dot {P'}}\in T'$ 使得 $|L-S(f,{\dot {P'}})|>|L-S(f,{\dot {P}})|$

因此，$\displaystyle \sup _{{\dot {P}}\in T}\{|L-S(f,{\dot {P}})|\}<\sup _{{\dot {P'}}\in T'}\{|L-S(f,{\dot {P'}})|\}$

即 $\varepsilon (\delta _{2})>\varepsilon (\delta _{1})$

定理

令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$

(1)$f$ 在 $[a,b]$ 上是黎曼可積的當且僅當

(2)$f$ 在 $[a,b]$ 上是達布可積的

證明

($\Rightarrow$) 令 $\epsilon >0$ 給定。

(1)$\Rightarrow$ $\exists$ 帶標籤的劃分 ${\dot {P}}$ 使得 $|S(f,{\dot {P}})-L|<{\frac {\epsilon }{2}}$.

設劃分 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 是 ${\dot {P}}$ 的相同細化，但標籤不同。

因此，$|S(f,P_{1})-S(f,P_{2})|<\epsilon$ $\forall$ $P_{1}$ 和 $P_{2}$

即，根據三角不等式，$|S(f,P_{1})|-|S(f,P_{2})|<\epsilon$

間隙引理 $\Rightarrow$ $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$,

$\epsilon >0$ 是任意的，根據定理 2.1，我們有 $f$ 是 Darboux 可積的。

($\Leftarrow$) 給定任意一個 $\epsilon >0$。

(2) ，定理 2.1 $\Rightarrow$ $\exists$ 分割 $P$ 使得 $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$

因此，$|L-S(f,P)|<\epsilon$，因為 $L(f,P)\leq S(f,P)\leq U(f,P)$

根據引理 3.1，$|L-S(f,P')|<\epsilon$，如果 $\|P'\|<\|P\|$

因此，如果我們令 $\delta =\|P\|$，我們就得到 (1)

我們注意到這個證明中關鍵的元素是引理 3.1，因為它本質上給出了 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 之間的順序關係，而這在黎曼積分和達布積分的定義中並沒有直接體現出來。