令 f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\,} 為定義在共同定義域 D ⊆ R {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \,} 上的函式序列。 那麼我們說 f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\,} 逐點收斂到函式 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} ，如果對於每個 x ∈ D {\displaystyle x\in D\,} ，數值序列 f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\,} 收斂到 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 。更準確地說
For any x ∈ D {\displaystyle x\in D\,} and for any ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0\,} , there exists an N such that for any n>N, | f n ( x ) − f ( x ) | < ε {\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon }
一個例子
函式
f n ( x ) = x n 1 + x n {\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}}{1+x^{n}}}} 收斂到函式
f ( x ) = { 1 if | x | > 1 1 2 if x = 1 0 if | x | < 1 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\text{if }}|x|>1\\{\frac {1}{2}}&{\text{if }}x=1\\0&{\text{if }}|x|<1\\\end{array}}\right.}
這表明連續函式序列可以逐點收斂到一個不連續函式。
為定義在共同定義域 
上的函式序列。 那麼我們說 逐點收斂到函式 
，如果對於每個 
，數值序列 收斂到 。更準確地說 and for any 
, there exists an N such that for any n>N, 
收斂到函式
