定義: 實值函式序列 f n ( x ) {\displaystyle f_{n}{(x)}} 一致收斂，如果存在一個函式 f(x)，使得對於任何 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，都存在一個 N > 0 {\displaystyle N>0} ，使得當 n > N {\displaystyle n>N} 對於函式 f 的定義域中的所有 x，都有 | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }
令 f n {\displaystyle f_{n}} 是一個連續函式序列，它一致收斂到函式 f {\displaystyle f} 。則 f {\displaystyle f} 是連續的。
存在一個 N，使得對於所有 n>N， | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ 3 {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\epsilon }{3}}} 對於任何 x 都成立。現在令 n>N，並考慮連續函式 f n {\displaystyle f_{n}} 。由於它是連續的，因此存在一個 δ {\displaystyle \delta } ，使得如果 | x ′ − x | < δ {\displaystyle |x'-x|<\delta } ，那麼 | f n ( x ) − f n ( x ′ ) | < ϵ 3 {\displaystyle |f_{n}(x)-f_{n}(x')|<{\frac {\epsilon }{3}}} 。那麼 | f ( x ′ ) − f ( x ) | ≤ | f ( x ′ ) − f n ( x ′ ) | + | f n ( x ′ ) − f n ( x ) | + | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ 3 + ϵ 3 + ϵ 3 = ϵ {\displaystyle |f(x')-f(x)|\leq |f(x')-f_{n}(x')|+|f_{n}(x')-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}=\epsilon } 因此函式 f(x) 是連續的。
