實分析/度量空間

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實分析 度量空間

Rn 中的微分→

定義 3.1.1 度量空間 是一個有序對 (X,d)，其中 X 是一個集合，d 是一個函式

$d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$

使得

1.	d(x, y) ≥ 0	(非負性);
2.	d(x, y) = 0   當且僅當   x = y	(非退化性);
3.	d(x, y) = d(y, x)	(對稱性);
4.	d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)	(三角不等式).

函式 d 稱為 X 上的度量。它有時也被稱為距離函式或簡稱為距離。

通常，如果從上下文中可以清楚地看出使用的是哪個度量，那麼 d 會被省略，只用 X 來表示度量空間。

我們已經知道一些度量空間的例子。最熟悉的例子是具有通常的絕對值的實數。也就是說，我們取 X = R，並且我們令 d(x, y) = |x − y|。為了看到這是一個度量空間，我們需要檢查 d 是否滿足上面給出的四個性質。讓我們檢查一下。

• 第一個性質來自一個數的絕對值總是大於或等於零的事實。
• 第二個性質來自唯一等於零的實數是 0 的事實。
• 對稱性來自 |x|=|−x| 的事實。
• 三角不等式是最不容易檢查的。通常情況下都是如此。對於這個度量，它來自 |a+b| ≤ |a| + |b| 的事實，其中我們取 a = x − y 和 b = y − z。

另一個熟悉的例子是平面。也就是說，我們取 X = R²。為了定義度量，讓我們回顧一下我們通常如何測量平面上兩點 x = (x₁, x₂) 和 y = (y₁, y₂) 之間的距離。我們簡單地使用勾股定理，

來看到我們應該定義 $d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}$. 首先注意到這總是定義的，因為我們在平方根內部對項進行平方，我們永遠不會嘗試對負數開平方根，所以 d : R²×R² → R。現在我們需要檢查它是否是一個度量。

• 第一個性質來自一個數的平方根總是大於或等於零的事實。
• 第二個性質來自唯一等於零的數是 0 的事實。
• 對稱性來自 (x)²=(−x)² 的事實。
• 再次，三角不等式是最不容易檢查的。在平面的情況下，它來自歐幾里得幾何中的三角不等式。回想一下歐幾里得幾何中的三角不等式指出三角形的任意一邊的長度總是小於另外兩邊的長度之和。將在更一般的 Rⁿ 上下文中給出不依賴於歐幾里得幾何的證明。

其他例子很多。正如上面提到的，我們可以取 X = Rⁿ，使用通常的度量 $d(x,y)=\textstyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$. 或者，我們可以保持 X = Rⁿ，只是使用不同的度量。這將是一個不同的度量空間，因為度量空間是一對 (X,d)，所以 d 的變化會改變度量空間。如果你取度量 $d(x,y)=d_{p}(x,y)=\textstyle {\Big (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\Big )}^{1/p}$，或 $d(x,y)=d_{\infty }(x,y)=\textstyle \max _{i=1\ldots n}|x_{i}-y_{i}|$，就會出現一些非常有趣的度量。注意到我們在 Rⁿ 上定義的第一個度量對應於取 p = 2。這個度量通常被稱為歐幾里得（或通常）度量，因為它是由歐幾里得幾何所暗示的度量，也是在 Rⁿ 上最常用的度量。

度量空間也可以擁有一個更加複雜的集合作為其點的集合。例如，我們可以令 X = C([a,b])，也就是說 X 包含所有連續函式 f : [a,b] → R。我們可以令 $d(f,g)=\sup _{a\leq x\leq b}|f(x)-g(x)|$。度量空間研究的美麗之處在於，我們開發的定義、定理和想法適用於許多許多情況。

定義： 令 (X, d) 是一個度量空間。我們定義以 x 為中心、半徑為 r 的開球為集合 B_r(x):={y∈ X | d(x,y) < r}。

當然，我們對度量空間的大部分直覺來自我們對R²中距離的理解，所以我們應該考慮R²中開球是什麼樣子的。從微積分中，我們希望知道方程（x − x₀）² + (y − y₀)² = r² 描述了半徑為r的圓。滿足條件${\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r$ 的點集只是這個圓內部的點集。圓邊界上的點都不包含在這個集合中，這就是為什麼選擇將這個集合稱為開球。

檢查當X = R，且d(x, y)=|x − y|時，這個定義是什麼也是很有啟發性的。根據定義，我們有B_r(x) = {y∈R | |x − y|<r}。因此，B_r(x) 是開區間 (x − r, x + r)。

一旦我們定義了開球，我們需要定義的下一個概念是開集和閉集。

定義 令 (X,d) 為一個度量空間，並假設G ⊆ X。如果對於每個點g ∈ G，都存在一個r > 0 使得B_r(g) ⊆ G，則稱G 為開集。

在我們繼續討論閉集之前，我們首先需要澄清一個可能令人困惑的情況。我們剛剛給出了關於任何集合是開集的定義，但我們之前一直在使用“開球”這個詞。但什麼也無法提前保證我們的開球實際上是按照上面的定義是開集的。這可能會讓我們處於一種用“開球”這個詞表達兩個不同意思的境地。幸運的是，事實證明，開球實際上是按照上面的定義是開集的，但這仍然是一個定理，需要證明。

定理 令 (X, d) 為任何度量空間。集合B_r(x) 按照之前的定義是開集。

證明。我們需要證明，對於一個通用的球B_r(x) ⊆ X，對於B_r(x) 中的任意點y，我們都可以找到一個（可能非常小的）以y 為中心的球，這個球仍然在B_r(x) 內。我們的直覺仍然來自我們在平面上繪製的影像，但我們的證明只需要依賴於上面給出的公理。所以我們將令s=r-d(x,y)。我們知道s > 0，因為y ∈ B_r(x)。現在考慮球B_s(y)。我們希望證明B_s(y) ⊆ B_r(x)。取B_s(y) 中的任意點z。利用三角不等式，我們看到

${\begin{aligned}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)&<d(x,y)+s=d(x,y)+{\Big (}r-d(x,y){\Big )}\\=r\end{aligned}}$

由於d(x, z) < r，所以z ∈ B_r(x)。$\square$

關於開集的定義需要強調一點。考慮空集，它當然是度量空間X的子集。它是開集嗎？嗯，對於空集中的每個點x，我們需要找到一個以它為中心的球。這很簡單，因為空集中沒有點。也就是說，對於空集，這個條件是空虛地成立的。通俗地說，一個要求某些性質在各種條件下成立的命題，當這些條件永遠不滿足時，就被稱為空虛地成立。例如，命題“每次我站在太陽上，我就跳街舞”是一個空虛地成立的命題。可能無法在太陽上跳街舞，但這個命題仍然是正確的。要使這個命題為假，必須存在一個時間，我站在太陽上，但我沒有跳街舞。但由於我從未站在太陽上，所以沒有什麼需要檢查。

另一個非常有用且非常簡單的開集例子是整個空間。對於每個點x∈X，我們可以簡單地取開球B₁(x)，根據定義，這個球是X的子集，因此存在一個以x 為中心的開球，它仍然在X 內。

定義 令 (X,d) 為一個度量空間，並假設F ⊆ X。如果F的補集，即X \ F，是開集，則稱F 為閉集。

現在，我們又有了兩個閉集的簡單例子。首先，我們考慮整個空間X，X的補集是X \ X = ∅。同樣，如果我們考慮空集∅，那麼X \ ∅ = X。由於集合X是開集，所以∅是一個閉集。這裡一個重要的點是，我們已經看到，存在既是開集又是閉集的集合。即使定義涉及補集，這並不意味著這兩種型別的集合是互斥的。在某些情況下，取決於度量空間，許多集合既是開集又是閉集。更重要的是，在每個度量空間中，整個空間和空集總是既是開集又是閉集，因為我們上面的論證沒有以任何本質的方式使用度量。

定理 在任何度量空間中，開集的任意並集和有限個開集的交集都是開集。

證明。令 (X, d) 為一個度量空間，並假設對於每個λ ∈ Λ，我們都被給定了一個開集G_λ。那麼這個定理說明G = ∪_λ∈Λ G_λ 是開集。為了證明這一點，假設x ∈ G。那麼存在一個索引λ₀，使得x ∈ G_λ0。由於我們假設G_λ0，所以一定存在一個r > 0，使得B_r(x) ⊆ G_λ0。由於G_λ0是定義G的並集中的一員，所以立即得到B_r(x) ⊆ G。因此，G是開集。

這個定理還斷言有限個交集是開集。也就是說，如果我們假設G_λ1, G_λ2, …, G_λn是開集，那麼這個定理就聲稱集合G=∪_i=1,…,n G_λi 是開集。為了證明這一點，假設x ∈ G，那麼我們知道x ∈ G_λi 對於i = 1, 2, …, n。由於每個集合G_λi都是開集，所以我們可以選擇實數r_i 使得B_ri(x) ⊆ G_λi。如果我們令r = min(r₁, r₂, …, r_n)，那麼我們就有B_r(x) ⊆ B_ri(x) ⊆ G_λi。因此，我們有B_r(x) ⊆ ∪_i=1,…,n G_λi = G，因此G是開集。$\square$

定理 在任何度量空間中，閉集的任意交集和有限個閉集的並集都是閉集。

證明 練習。

定義 令E是度量空間X的子集。如果p的每個鄰域都包含一個點q ≠ p，使得q ∈ E，則稱點p為集合E的極限點。

定理 令E是度量空間X的子集。如果E的每個極限點都是E的點，則集合E是閉集。

基本定義

令X為一個度量空間。這裡我們給出了關於X的子集E的某些基本定義，這些定義通常用於討論子集E的性質。

1. 如果p ∈ E，並且p不是E的極限點，則稱p為E的孤立點。
2. 如果存在p的鄰域N，使得N $\subset$ E，則稱點p為E的內點。
3. 如果E的每個點都是E的內點，則稱E是開集。
4. E 是 完美集，當且僅當 E 是閉集，且 E 中的每個點都是 E 的極限點。
5. E 是 有界集，當且僅當存在一個實數 M 和一個點 q $\in$ X，使得對於所有 p $\in$ E，都有 d(p,q) < M。
6. E 在 X 中是 稠密集，當且僅當 X 中的每個點都是 E 的極限點或 E 中的點（或兩者兼而有之）。

基本證明

1. 每個鄰域都是開集

證明：考慮一個鄰域 N = $N_{r}(p)$。現在如果 q $\in$ N，那麼由於 d(p,q) < r，我們有 h = d(p,q) - r > 0。考慮 s $\in$ $N_{h}(q)$。現在 d(p,s) $\leq$ d(p,q) + d(q,s) < r - h + h = r，因此 $N_{h}(q)$ $\subset$ N。因此，q 是 N 的內點。

2. 如果 p 是集合 E 的極限點，那麼 p 的每個鄰域都包含 E 中的無窮多個點

證明：假設存在 p 的一個鄰域 N，它只包含 E 中的有限個點。設 r 是這些點到 p 的距離的最小值。有限個正數的最小值顯然是正數，所以 r > 0。鄰域 $N_{r}(p)$ 不包含 E 中的任何點 q，使得 q $\neq$ p，這與 p 是 E 的極限點的結論矛盾。

3. 有限集沒有極限點

證明：這從證明 2 中可以明顯看出。

4. 一個集合是開集，當且僅當它的補集是閉集。

證明：假設 E 是開集，x 是 $E^{c}$ 的極限點。我們需要證明 x $\in E^{c}$。現在，x 的每個鄰域都包含 $E^{c}$ 中的一個點，所以 x 不是 E 的內點。由於 E 是開集，這意味著 x $\notin$ E，所以 x $\in E^{c}$。因此，$E^{c}$ 是閉集。

現在假設$E^{c}$ 是閉合的。選擇 x $\in$ E。那麼 x $\notin E^{c}$，所以 x 不是 $E^{c}$ 的極限點。因此，一定存在一個完全包含在 E 內的 x 的鄰域。所以 x 是 E 的內點，因此 E 是開集。

5. 一個集合是閉合的當且僅當它的補集是開集。

證明：從證明 4 中可以明顯看出。