實分析/Rn中的微分

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實分析 Rn中的微分

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我們首先回顧線性代數中一些對多元分析很重要的概念。建議沒有線性代數基礎的讀者參考書籍線性代數.

向量空間

如果在集合${\mathcal {V}}$ 上定義了加法和標量乘法運算，並且它們滿足以下條件，則稱該集合${\mathcal {V}}$ 是在域$F$ 上的向量空間，對於所有$\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}} ,\ldots \in {\mathcal {V}}$ 和$c_{1},c_{2}\in F$

(i)交換律:$\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} =\mathbf {v_{2}} +\mathbf {v_{1}}$

(ii)結合律:$(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} )+\mathbf {v_{3}} =\mathbf {v_{1}} +(\mathbf {v_{2}} +\mathbf {v_{3}} )$

(iii)單位元：存在$\mathbf {0} \in {\mathcal {V}}$ 使得$\mathbf {v_{1}} +\mathbf {0} =\mathbf {v_{1}} =\mathbf {0} +\mathbf {v_{1}}$

(iv)逆元：存在$-\mathbf {v_{1}} \in {\mathcal {V}}$ 使得$\mathbf {v_{1}} +(-\mathbf {v_{1}} )=\mathbf {0}$

(v):$c\mathbf {v_{1}} +c\mathbf {v_{2}} =c(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} )$

(vi)$c_{1}\mathbf {v} +c_{2}\mathbf {v} =(c_{1}+c_{2})\mathbf {v}$

(vii)$c_{1}(c_{2}\mathbf {v_{1}} )=c_{2}(c_{1}\mathbf {v_{1}} )=(c_{1}c_{2})\mathbf {v_{1}}$

向量空間的成員被稱為“向量”，而域的成員被稱為“標量”。$\mathbb {R} ^{n}$，所有多項式的集合等等都是向量空間的例子。

一組線性無關的向量，如果能張成向量空間，則被稱為向量空間的基。

線性變換

設 $X,Y$ 是向量空間。

設 $T:X\to Y$

我們說 $T$ 是一個線性變換當且僅當對於所有 $\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}} \in X$，

(i)$T(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} )=T(\mathbf {v_{1}} )+T(\mathbf {v_{2}} )$

(ii)$T(c\mathbf {v_{1}} )=cT(\mathbf {v_{1}} )$

正如我們將會看到的，定義多元函式的“導數”主要有兩種方法。我們首先介紹一種看似更直接的方法，即使用“偏導數”。

方向導數和偏導數

設 $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$

設 $\mathbf {a} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}$

我們說 $\mathbf {f}$ 在 $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ 關於向量 $\mathbf {y}$ 可微，當且僅當存在 $\mathbf {L} \in \mathbb {R} ^{m}$ 滿足

$\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (\mathbf {a} +h\mathbf {y} )-\mathbf {f} (\mathbf {a} )}{h}}=\mathbf {L}$

$\mathbf {L}$ 被稱為 $\mathbf {f}$ 在 $\mathbf {a}$ 關於 $\mathbf {y}$ 的導數，記為 $\mathbf {f} '(\mathbf {a} ;\mathbf {y} )$

當 $\mathbf {y}$ 是單位向量時，導數被稱為偏導數。這裡我們將明確定義偏導數，並觀察其一些性質。

設 $f$ 是定義在 $\mathbb {R} ^{n}$ 的開子集 $\Omega$ 上的實多元函式

$f:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$.

然後，在某個引數 $(x_{1},...,x_{n})$ 處，關於座標 $x_{i}$ 的偏導數被定義為以下極限

$\lim _{h\rightarrow 0}{f(x_{1},\ldots ,x_{i}+h,\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n}) \over h}={\partial f \over \partial x_{i}}$.

$f$ 被稱為在引數 $(x_{1},...,x_{n})$ 處是可微的，如果差 $f(x_{1},...,x_{i}+h,...,x_{n})-f(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})$ 等效於h 的一階線性形式L，即

$f(x_{1},...,x_{i}+h,...,x_{n})-f(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=L\times h+o(\|h\|).$

然後，線性形式L 被稱為 $f$ 在 $(x_{1},...,x_{n})$ 處的微分，並寫成 $Df|_{(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ 或者有時 $\mathrm {d} f(x_{1},\ldots ,x_{n})$.

在這種情況下，其中 $f$ 在 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 處是可微的，根據線性我們可以寫成

$\mathrm {d} f={\partial f \over \partial x_{1}}\mathrm {d} x_{1}+\ldots +{\partial f \over \partial x_{n}}\mathrm {d} x_{n}$

$f$ 稱為 *連續可微*，如果它的微分在定義域中的任何引數處都有定義，並且如果微分相對於引數 $(x_{1},...,x_{n})$ 連續變化，也就是說，如果它的座標（作為線性形式）$\partial f \over \partial x_{1}$ 連續變化。

如果偏導數存在，但 $f$ 不可微，有時甚至不連續，例如

$f:(x,y)\mapsto {(xy)^{2} \over (x^{2}+y^{2})}$

(並且 $f(0,0)=0$)，我們稱 $f$ 是 *可分離微分* 的。

全導數

全導數很重要，因為它保留了單變數導數的一些關鍵性質，最值得注意的是可微性意味著連續性

令 $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$

我們稱 $f$ 在 $\mathbf {a} \in A$ 處可微，當且僅當存在一個 *線性變換*，$\mathbf {D} f(\mathbf {a} ):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$，稱為 $f$ 在 $\mathbf {a}$ 處的 *導數* 或 *全導數*，使得

$\lim _{\|\mathbf {h} \|\to 0}{\frac {\|f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-\mathbf {D} f(\mathbf {a} )(\mathbf {h} )\|}{\|\mathbf {h} \|}}=0$

應該將 $\mathbf {D} f(\mathbf {a} )(\mathbf {h} )$ 理解為線性變換 $\mathbf {D} f(\mathbf {a} )$ 作用於向量 $\mathbf {h}$。有時習慣上將它寫成 $\mathbf {D} f(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {h} )$。

定理

假設 $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是一個開集，並且 $f:A\to \mathbb {R} ^{m}$ 在 A 上可微。試著將 $f$ 寫成分量形式，以便 $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$。那麼偏導數 ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$ 存在，並且線性變換 $\mathbf {D} f(\mathbf {x} )$ 關於 $\mathbb {R} ^{n}$ 和 $\mathbb {R} ^{m}$ 的標準基的矩陣由雅可比矩陣給出

${\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.$

在 $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 處計算。

注意：此定理要求函式本身是可微的。常見錯誤是假設如果偏導數存在，則這意味著該函式是可微的，因為我們可以構造雅可比矩陣。然而，這是完全錯誤的。這將我們引入了下一個定理。

定理

假設 $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是一個開集，並且 $f:A\to \mathbb {R} ^{m}$。將 $f$ 寫成分量形式，所以 $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$。如果 ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$ 存在並且在 $A$ 上是連續的，對於所有 $j\in \{1,\ldots ,m\}$ 和所有 $i\in \{1,\ldots ,n\}$，則 $f$ 在 $A$ 上是可微的。

此定理為我們提供了函式可微的良好判據。