測度論

這本書旨在對測度論進行基礎性講解。

在數學中，測度的概念是對“長度”、“面積”和“體積”等概念的推廣（但並非所有應用都與物理尺寸有關）。通俗地說，給定一個基集，一個“測度”是對基集（部分）子集的“大小”的任何一致分配。根據應用，子集的“大小”可以被解釋為（例如）其物理尺寸、子集內某種事物的數量，或者某個隨機過程產生子集內結果的機率。測度的主要用途是定義在比實數直線上的區間更復雜的結構域上進行一般性的積分概念。這種積分在機率論和許多數學分析中被廣泛使用。

通常不可能或不可取地對基集的所有子集分配大小，因此測度並不一定這樣做。有一些一致性條件來控制測度可以分配大小的子集組合；這些條件被封裝在 σ-代數的輔助概念中。

• 可測函式空間
• 收斂定理
• 測度空間的態射和範疇
• Carathéodory 構造
• 拓撲空間上的測度
• Polish 空間上的測度
• 積分運算元

測度論是實分析的一個分支，它研究 σ-代數、測度、可測函式和積分。

章節

1. 基本結構和定義
   1. 半代數、代數和 σ-代數
   2. 測度
   3. 可測函式
   4. 測度的擴張
   5. 測度空間的完備化
   6. 正則測度
2. 積分
3. Riesz 表示定理
4. L^p 空間

目錄

1. 高階集合論
2. 代數和 σ-代數
3. 預測度和測度
4. 關於測度的定理
5. 乘法系、Dynkin 系
6. Carathéodory 定理和預測度的擴張
7. 可測函式、Lebesgue 積分
8. 關於 Lebesgue 積分的定理（給自己的一條提示：不要忘記變數變換，Leibniz 積分規則）
9. Lp 空間
10. Riesz 表示定理、Radon-Nikodym 定理

參考文獻

• Bartle, Robert Gardner. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley, 1995. 192 p. ISBN 0471042226
• DiBenedetto, Emmanuele. Real Analysis. Springer, 2002. 420 p. ISBN 0817642315
• Folland, Gerald B.. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. 2.ed. 1999. 408 p. ISBN 0471317160
• Halmos, Paul Richard. Measure Theory. Springer, 1974. ISBN 0387900888
• Munroe, Marshall Evans. Introduction to Measure and Integration. 2.ed. Addison-Wesley, 1959. 310 p.
• Royden, M.. Real Analysis. New York: Collier Macmillan, 1988. ISBN 0024041513
• W. Rudin, Real and Complex analysis, 3.ed. McGraw-Hill International (1987). 430 p. ISBN 0070542341
• Lang, Serge. Analysis I. 3.ed. Addison-Wesley, 1973. 460 p.
• Tao, Terence: 測度論導論

積極貢獻的使用者

• Bunder 
  • 目前，在編寫任何材料之前，我正在使用模板建立一種工作流程。
• Raliaga 
  • 我在第一章的第一節添加了一些內容，包括對定義的“存在理由”的一些見解，以及對所展示的命題的重要性的一些評論。
• SPat ^討論 
  • 基本上是在上傳我的講義。