測度論/基本結構和定義/可測函式

本節定義可測函式，這些函式將在積分的發展中使用。

令 $f:E\to \mathbb {R}$ 為從可測域 $E$ 的函式。我們說 $f$ 是 **可測的**，如果 $\mathbb {R}$ 中每個可測集的原像都是可測的。這個定義有趣的是它與拓撲空間之間連續性定義的緊密關係，即每個開集的原像都是開集。對這個主題的進一步研究留作練習。在證明可測性時，還有一組有用的工具。

等價定義

命題

令 $f:E\rightarrow [-\infty ,\infty ]$ 為在可測域 E 上定義的擴充套件實值函式。固定一些 $\alpha \in \mathbb {R}$ 。如果 $f$ 是可測的，以下集合是等價的，並且可測

$(i)\{x\in E:f(x)<\alpha \}$
$(ii)\{x\in E:f(x)>\alpha \}$
$(iii)\{x\in E:f(x)\leq \alpha \}$
$(iv)\{x\in E:f(x)\geq \alpha \}$
我們使用這些集合 **證明:** 由代數的補集，(i) 和 (iv) 應該是等價的，就像 (ii) 和 (iii) 一樣。剩下的要證明的是 (i) 和 (iii) 的等價性。我們透過建立以下恆等式來做到這一點
$\{x\in E:f(x)\leq \alpha \}=\cap _{n=1}^{\infty }\{x\in E:f(x)<\alpha -{\frac {1}{n}}\}$
$\{x\in E:f(x)<\alpha \}=\cup _{n=1}^{\infty }\{x\in E:f(x)\leq \alpha +{\frac {1}{n}}\}$
最後，因為可測集的可數交集或並集是可測的，所以得到的集合是可測的。