測度論/拓撲空間上的測度

定義（Borel σ代數）:

令 $X$ 是一個拓撲空間。Borel $\sigma$ -代數 ${\mathcal {B}}(X)$ 在 $X$ 上是由 $X$ 中所有開集生成的 $\sigma$ -代數，即。

{\mathcal {B}}(X)=\sigma (\tau )

,

其中 $\tau$ 是 $X$ 上的拓撲。

定義（緊緻）:

令 $\Omega$ 是一個拓撲空間，令 ${\mathcal {F}}$ 是 $\Omega$ 上包含 Borel $\sigma$ -代數的 $\sigma$ -代數。一個測度 $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ 被稱為緊緻當且僅當對於所有集合 $A\in {\mathcal {F}}$

\mu (A)=\sup _{K\subseteq A \atop K{\text{ compact}}}\mu (K)

.

以下命題提供了一類緊緻測度空間

命題（波蘭空間上的 Borel 測度是緊緻的）:

令 Failed to parse (syntax error): {\displaystyle {{definition|inner regular|Let <math>\Omega} 為一個拓撲空間，並令 ${\mathcal {F}}$ 為 $\sigma$ -代數在 $\Omega$ 上，包含 Borel $\sigma$ -代數。一個測度 $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ 被稱為**內正則**，當且僅當對於所有集合 $A\in {\mathcal {F}}$

\mu (A)=\sup _{C\subseteq A \atop C{\text{ closed}}}\mu (C)

.

定義（外正則）:

令 $\Omega$ 為一個拓撲空間，並令 ${\mathcal {F}}$ 為 $\sigma$ -代數在 $\Omega$ 上，包含 Borel $\sigma$ -代數。一個測度 $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ 被稱為**外正則**，當且僅當對於所有集合 $A\in {\mathcal {F}}$

\mu (A)=\inf _{O\supseteq A \atop O{\text{ open}}}\mu (O)

.

命題（在 σ-緊湊測度空間中，內部為空的閉集是零集）:

設 $\Omega$ 是一個拓撲空間，設 ${\mathcal {F}}$ 是 $\sigma$ -代數在 $\Omega$ 上包含 Borel $\sigma$ -代數，並且假設 $\mu$ 是一個...測度在 $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ 上。那麼每個閉子集 $A\subseteq \Omega$ 具有空內部是一個零測集。