一般拓撲/緊緻空間

定義（緊緻空間）:

設$X$為一個拓撲空間。$X$稱為緊緻當且僅當對於$X$的每一個開覆蓋$(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$，都存在一個有限子覆蓋，也就是說，存在指標$\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in A$使得$X=U_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup U_{\alpha _{n}}$。

定義（緊緻子集）:

設$X$為一個拓撲空間，且$S\subseteq X$為一個子集。$S$稱為緊緻當且僅當它關於由$X$的拓撲在$S$上誘匯出的子空間拓撲意義下是緊緻的。

命題（緊緻集在連續對映下的像也是緊緻的）:

設$X,Y$為拓撲空間，$S\subseteq X$為一個緊緻子集，且$f:X\to Y$為一個連續函式。則$f(S)$是$Y$的一個緊緻子集。

證明： 為簡化記號，定義 $T:=f(S)$。設 $(V_{\beta })_{\beta \in B}$ 是 $T$ 的一個開覆蓋，即根據子空間拓撲的定義，$V_{\beta }=W_{\beta }\cap T$，其中 $W_{\beta }$ 為合適的開集。

由於 $f^{-1}(W_{\beta }\cap T)=f^{-1}(T)\cap f^{-1}(W_{\beta })$,

注意到 $S\subseteq f^{-1}(T)$，我們得到集合

$U_{\beta }:=S\cap f^{-1}(W_{\beta })$

構成$S$關於其子空間拓撲的開覆蓋；事實上，$f$的連續性確保每個集合$f^{-1}(W_{\beta })$都是開集。由於$S$是緊緻的，可以選取一個由$\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$索引的有限子覆蓋。令$y\in T$為任意元素。根據$T$的定義，選取$x\in S$使得$f(x)=y$，然後$j\in [n]$使得$x\in U_{\beta _{j}}$。然後$f(x)\in S\cap W_{\beta _{n}}=V_{\beta _{n}}$，因此$V_{\beta _{1}}\cup \cdots \cup V_{\beta _{n}}=Y$。$\Box$

定義（真對映）:

拓撲空間之間的函式$f:X\to Y$稱為真對映當且僅當對於每個緊緻子集$T\subseteq Y$，其原像$f^{-1}(T)$是$X$的一個緊緻子集。

注意，真對映的複合仍然是真對映。

命題（緊緻空間的閉子集是緊緻的）

:

設$X$ 為一個緊緻空間，並設$A\subseteq X$ 為閉集。則$A$ 為緊緻集。

證明：設$(V_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為$A$ 的一個開覆蓋。根據$A$ 的子空間拓撲的定義，我們取$V_{\alpha }=A\cap U_{\alpha }$，其中$U_{\alpha }$ 在$X$ 中是開集；為了避免使用選擇公理，我們可以用所有滿足$V_{\alpha }=A\cap U_{\alpha }$ 的$U_{\alpha }$ 的並集來替換$U_{\alpha }$。那麼$X$ 的一個開覆蓋由以下給出：

$\{X\setminus A\}\cup (U_{\alpha })_{\alpha \in A}$,

由於$X$ 是緊緻的，我們可以從中提取出一個有限子覆蓋。假設$U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}$ 是構成子覆蓋的$(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 中的集合。則

$A\subseteq U_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup U_{\alpha _{n}}$

,

由於$A$包含在整個子覆蓋中，但這個子覆蓋中唯一可能增加的集合可能是$X\setminus A$，這並不會改變$A$是否被覆蓋。因此，$V_{\alpha _{1}},\ldots ,V_{\alpha _{n}}$是$A$的一個開子覆蓋。$\Box$

定理（康托爾交集定理）:

設$X$為一個拓撲空間，設$(S,\leq )$為一個有向集，並設$(K_{s})_{s\in S}$為一族非空集$K_{s}$，這些集合同時是緊緻的和閉合的，使得$s\leq t\Rightarrow K_{s}\supseteq K_{t}$。則

$\bigcap _{s\in S}K_{s}\neq \emptyset$.

證明：假設

$\bigcap _{s\in S}K_{s}=\emptyset$

.

注意 $K_{1}$ 是緊緻的，並且由於每個 $K_{j}$ 都是閉集，其補集 $U_{j}:=X\setminus K_{j}$ 是開集。此外，根據子空間拓撲的定義，集合 $V_{j}:=U_{j}\cap K_{1}$ 在 $K_{1}$ 中是開集，並且根據德摩根定律 ($X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$) 和交集對並集的分配律，我們得到 $V_{j}$ 構成了 $K_{1}$ 的一個開覆蓋。根據 $K_{1}$ 的緊緻性，我們可以提取一個有限子覆蓋 $U_{n_{1}},\ldots ,U_{n_{k}}$，並且透過選擇 $N:=\max\{n_{1},\ldots ,n_{k}\}$，我們得到 $V_{N}=K_{1}$，因為 $U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq \cdots \subseteq U_{N}$，因此，由於 $K_{N}\subseteq K_{1}$，也有 $K_{N}=\emptyset$，這產生了矛盾。 $\Box$

命題（緊緻非空柯爾莫哥洛夫空間包含一個閉點）

:

設$X$ 為一個非空、緊緻的 T₀ 空間。則 $X$ 包含一個點 $x_{0}$，使得 $\{x_{0}\}$ 在 $X$ 中是閉集。

(在選擇公理的條件下。)

證明：$X$ 的所有非空閉子集，按逆包含關係排序，滿足佐恩引理的假設，因為閉集的任意交集是閉集且非空。因此，存在一個極小閉集 $A$。假設 $A$ 包含兩個不同的點 $x\neq y$。然後根據假設，選擇一個包含一個點但不包含另一個點的開集 $U\subseteq X$，例如 $x\notin U$。則 $x\in$ $\Box$

命題（豪斯多夫空間的緊緻子集是閉集）:

設$X$ 為一個豪斯多夫空間，且設 $K\subseteq X$ 為緊緻集。則 $K$ 是閉集。

證明： 設$y\in X\setminus K$ 為任意給定的元素。對於每個$x\in K$，存在開集$U_{x,y}$ 和 $V_{x,y}$ 使得 $U_{x,y}\cap V_{x,y}=\emptyset$，$x\in U_{x,y}$ 以及 $y\in V_{x,y}$。由於$K$ 是緊緻的，在這些$U_{x,y}$ 中選擇一個有限子覆蓋$U_{x_{1},y},\ldots ,U_{x_{1},y}$；請注意，此步驟未使用選擇公理，因為$U_{x,y}$ 在其整體上覆蓋了$X$；也就是說，我們在覆蓋中包含的不僅是每個$x$ 的一個特定$U_{x,y}$，而是所有這種形式的集合。然後設$V_{y}:=V_{x_{1},y}\cap \cdots \cap V_{x_{n},y}$ 並得到$V_{y}$ 與$K$ 不相交；事實上，它不能包含任何$x\in U_{x_{j},y}$，其中$j\in [n]$。因此，

$X\setminus K\subseteq \bigcup _{y\in X\setminus K}V_{y}\subseteq X\setminus K$，即 $X\setminus K=\bigcup _{y\in X\setminus K}V_{y}$ 開集。$\Box$

反之，我們有

命題（緊集是閉集蘊含T₁）:

令 $X$ 為一個拓撲空間，其中所有緊集都是閉集。則 $X$ 是T₁。

證明：$X$ 的任何有限子集都是緊集，因此我們可以應用 T₁ 空間的刻畫。$\Box$

命題（R₁ 空間是豪斯多夫空間當且僅當所有緊集都是閉集）:

令 $X$ 為一個R₁ 空間。則 $X$ 是豪斯多夫空間當且僅當所有緊集都是閉集。

證明：一個方向是顯然的，因為 豪斯多夫空間的緊子集是閉集。對於另一個方向，我們可以應用 豪斯多夫空間的R公理刻畫，利用 $X$ 是T₁ 的事實。$\Box$

命題（豪斯多夫空間中緊集的交集是緊集）:

令 $(K_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為豪斯多夫空間 $X$ 的緊子集。則

$\bigcap _{\alpha \in A}K_{\alpha }$

是緊集。

證明：由於 $X$ 是豪斯多夫空間，所有 $K_{\alpha }$ 都是閉集。因此，給定集合是緊集 $K_{\alpha _{0}}$ 的閉子集，其中 $\alpha _{0}\in A$ 是任意的。$\Box$

命題（緊豪斯多夫空間是正規空間）

:

令$X$ 為一個緊緻豪斯多夫空間。則$X$ 為正規空間。

證明：令$A,B\subseteq X$ 為$X$ 的兩個互不相交的閉子集。首先，我們注意到$A,B$ 是緊緻的，因為緊緻空間的閉子集是緊緻的。然後令$x\in A,y\in B$ 為任意點。由於$X$ 是豪斯多夫空間，我們可以選擇互不相交的開集$U_{x,y}$ 和$V_{x,y}$，使得$x\in U_{x,y}$ 且$y\in V_{x,y}$。由於$A$ 是緊緻的，選擇$A$ 的一個有限子覆蓋$U_{x_{1},y},\ldots ,U_{x_{k_{y}},y}$。然後設定$V_{y}:=V_{x_{1},y}\cap \cdots \cap V_{x_{k_{y}},y}$，並觀察（如上一個命題的證明中）$V_{y}$ 是$X$ 的一個開子集，且與$A$ 不相交。然後注意到，由於$B$ 是緊緻的，我們可以選擇$B$ 的一個有限子覆蓋$V_{y_{1}},\ldots ,V_{y_{n}}$。然後定義

$V:=V_{y_{1}}\cup \cdots \cup V_{y_{n}}$，$U:=\bigcap _{m=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{k_{y_{m}}}U_{x_{j},y_{m}}$

並觀察到$A\subseteq U$，$B\subseteq V$，並且$U,V$是開集且不相交。$\Box$

定義（有限交集性質）:

設$X$為一個拓撲空間。$X$ 具有**有限交集性質**當且僅當對於$X$的所有閉子集族$(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$，

$\bigcap _{\alpha \in A}F_{\alpha }=\emptyset$,

都存在有限個指標集$\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$，使得

$\bigcap _{j=1}^{n}F_{\alpha _{j}}=\emptyset$.

命題（緊緻性等價於有限交集性質）:

設$X$為一個拓撲空間。$X$是緊緻的當且僅當它滿足有限交集性質。

證明：$X$ 是緊緻的等價於斷言：對於所有覆蓋 $X$ 的所有族 $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$，都存在一個有限子覆蓋。這樣的覆蓋與族 $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 透過如下方式一一對應，該族具有空交。

$(U_{\alpha })_{\alpha \in A}\mapsto (X\setminus U_{\alpha })_{\alpha \in A}$，其逆對映為 $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}\mapsto (X\setminus F_{\alpha })_{\alpha \in A}$

進一步注意，在這種對應關係下，開集族覆蓋 $X$ 當且僅當相應的閉集族具有空交；這是德摩根定律的結果。因此，每當我們具有有限交性質時，我們就可以將一個開覆蓋轉化為一個具有空交的閉集族，提取一個具有空交的有限子族，並反過來觀察結果開覆蓋（它是原始族的子覆蓋）是有限的並且覆蓋 $X$，如果我們有緊緻性，則類似的論證也適用。$\Box$

命題（從緊緻空間到豪斯多夫空間的連續雙射是同胚）:

設 $X$ 是一個緊緻空間，$Y$ 是一個豪斯多夫空間。假設 $f:X\to Y$ 是一個連續的雙射函式。則 $f$ 是一個同胚。

(在選擇公理的條件下。)

Proof: Let $y\in Y$ be given; we prove that $f$ is continuous at $y$. Set $x:=f^{-1}(y)$ and suppose that $x\in U$ where $U$ is open. Note that for each $z\in Y\setminus \{y\}$, we may choose open neighbourhoods $V_{y,z}$ and $W_{y,z}$ such that $y\in V_{y,z}$, $z\in W_{y,z}$ and $W_{y,z}\cap V_{y,z}=\emptyset$. Consider the family of sets $(U,f^{-1}(W_{y,z}))_{z\neq y}$; it forms an open cover of $X$, so that we may extract a finite subcover $U,f^{-1}(W_{y,z_{1}}),\ldots ,f^{-1}(W_{y,z_{n}})$ (note that $U$ is needed, since it's the only set of the cover that contains $x$). Then set $V:=V_{y,z_{1}})\cap \ldots \cap V_{y,z_{n}}$ so that $V$ is an open neighbourhood of $y$, and observe that $f^{-1}(V)\subseteq U$, because if $w\in f^{-1}(V)\setminus U$, then $w\in f^{-1}(W_{y,z_{j}})$ for a suitable $j\in [n]$, a contradiction since then $f(w)\in V\cap W_{y,z_{j}}$. $\Box$

命題（緊緻集的有限並是緊緻的）:

設 $X$ 是一個拓撲空間，並設 $K_{1},\ldots ,K_{n}\subseteq X$ 是 $X$ 的緊緻子集。則 $K_{1}\cup \cdots \cup K_{n}$ 是 $X$ 的緊緻子集。

證明：令$(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為 $K_{1}\cup \cdots \cup K_{n}$ 的一個開覆蓋。根據子空間拓撲的定義，這意味著 $U_{\alpha }=(K_{1}\cup \cdots \cup K_{n})\cap V_{\alpha }$，其中 $V_{\alpha }$ 在 $X$ 中是開集，對所有 $\alpha$ 成立。注意，當定義 $U_{\alpha ,j}:=K_{j}\cap V_{\alpha }$（其中 $j\in [n]$）時，我們得到 $(U_{\alpha ,k})_{\alpha \in A}$ 構成了 $K_{j}$ 的一個開覆蓋，因此我們可以從中提取一個有限子覆蓋 $U_{\alpha _{j,1},j},\ldots ,U_{\alpha _{j,m_{j}},j}$。然後觀察到

$U_{\alpha _{1,1}},\ldots ,U_{\alpha _{1,m_{1}}},\ldots ,U_{\alpha _{n,1}},\ldots ,U_{\alpha _{n,m_{n}}}$

是 $K_{1}\cup \cdots \cup K_{n}$ 的一個開覆蓋，因為每個 $K_{j}$ 都被覆蓋。$\Box$

定義（區域性緊緻）

:

設$X$是一個拓撲空間。則$X$被稱為區域性緊緻當且僅當對於每個$x\in X$和$x$的每個開鄰域$U$，都存在$x$的一個緊緻鄰域$K$，使得$K\subseteq X$。

命題（到區域性緊緻豪斯多夫空間的真連續對映是閉對映）:

設$X,Y$是拓撲空間，其中$Y$是區域性緊緻的。設$f:X\to Y$是一個連續且真函式。則$f$實際上是閉對映。

Proof: Suppose that $A\subseteq X$ is closed, and set $B:=f(A)\subseteq Y$. Let $y\in {\overline {B}}$, we are then to show that $y\in B$. Since $Y$ is locally compact, pick a compact neighbourhood $K$ of $y$. Since $f$ is proper and continuous, $f^{-1}(K)$ will be a compact set. Suppose that $K$ does not contain a point which is mapped via $f$ to $y$. Since $Y$ is Hausdorff, whenever $z\in f^{-1}(K)$, we find open neighbourhoods $V_{z}$ of $y$ and $W_{z}$ of $f(z)$ such that $V_{z}\cap W_{z}=\emptyset$. Therefore, the sets $f^{-1}(V_{z})$ and $f^{-1}(W_{z})$ are disjoint. Now the $f^{-1}(W_{z})$ cover $f^{-1}(K)$, where $z$ runs through all points of $f^{-1}(K)$. Therefore, by compactness of $f^{-1}(K)$, we may pick a finite subcover $f^{-1}(W_{z_{1}}),\cdots ,f^{-1}(W_{z_{n}})$, and then $f^{-1}(V_{z_{1}})\cap \cdots \cap f^{-1}(V_{z_{n}})\cap f^{-1}(K)=f^{-1}(V_{z_{1}}\cap \cdots \cap V_{z_{n}}\cap K)=\emptyset$, which contradicts the fact that $y\in {\overline {B}}$. $\Box$

定義（緊化）:

設$X$是一個拓撲空間。$X$的一個緊化是一個對$(f,Y)$，其中$Y$是一個緊緻拓撲空間，並且$f:X\to Y$是連續的，使得$f$是一個嵌入，並且$f(X)$在$Y$中是稠密的。

通常，$X\subset Y$，並且$f$是包含對映。

定義（亞歷山德羅夫緊化）:

設$X$是一個拓撲空間。亞歷山德羅夫緊化$X_{\infty }$的$X$定義為將一個形式符號$\infty \notin X$新增到$X$，即$X_{\infty }=X\cup \{\infty \}$，並透過定義$X_{\infty }$上的拓撲為以下集合的並集。

1. $X$的拓撲
2. 所有$X_{\infty }$中$X$的閉且緊緻子集的補集

命題（亞歷山德羅夫緊化是良定的）:

設$X$是一個拓撲空間，並設$X_{\infty }$是其亞歷山德羅夫緊化。則$X_{\infty }$是一個緊緻拓撲空間，如果$X$本身不是緊緻的，則連同包含對映$\iota :X\to X_{\infty }$一起，它給出了$X$的一個緊化。

證明：首先，我們證明給定的拓撲確實是一個拓撲。顯然，$\emptyset$ 是緊緻且閉集。因此，$X_{\infty }$ 屬於該拓撲，$\emptyset$ 也屬於該拓撲，因為 $X$ 是一個拓撲空間。然後，令 $U,V$ 為開集。如果 $U$ 或 $V$ 是 $X$ 的開子集，那麼 $U\cap V=(U\cap X)\cap (V\cap X)$ 也是開集。如果兩者都是 $X_{\infty }$ 中閉緊集 $K,L$ 的補集，則

$U\cap V=(X_{\infty }\setminus L)\cap (X_{\infty }\setminus K)=X_{\infty }\setminus (K\cup L)$,

並且再次 $U\cap V$ 是開集，因為兩個閉集的並集是閉集，並且兩個緊子集的並集是緊集。

現在假設我們給定一個開集族 $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$，它們是 $X$ 的開集，以及一個緊緻閉集補集族 $(V_{\beta })_{\beta \in B}=(X_{\infty }\setminus K_{\beta })_{\beta \in B}$。則

$\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\cup \bigcup _{\beta \in B}V_{\beta }=X\setminus \left(\bigcap _{\alpha \in A}(X\setminus U_{\alpha })\cap \bigcap _{\beta \in B}(X_{\infty }\setminus K_{\beta })\right)=X\setminus \left(\bigcap _{\alpha \in A}(X\setminus U_{\alpha })\cap \bigcap _{\beta \in B}(X\setminus K_{\beta })\right)$,

並且如果$B\neq \emptyset$，我們根據緊集的閉子集是緊集得出結論；如果$B=\emptyset$，我們根據$X$是一個拓撲空間得出結論。

現在注意到包含對映$\iota :X\to X_{\infty }$根據$X_{\infty }$上拓撲的定義是其像上的同胚；它是連續的、開對映且雙射的。然後假設$X$不是緊集；我們斷言$\iota (X)=X$在$X_{\infty }$中稠密。實際上，設$O$是$X_{\infty }$中的任意開集。由於$X$不是緊集，$O$必須與$X$相交。因此，$X$在$X_{\infty }$中稠密。 $\Box$

命題（區域性緊豪斯多夫空間的亞歷山德羅夫緊化是豪斯多夫空間）

:

設$X$ 是一個區域性緊豪斯多夫空間。則亞歷山德羅夫緊化$X_{\infty }$ 是豪斯多夫空間。

Proof: Let $x,y\in X_{\infty }$, $x\neq y$; as usual, we denote by $\infty$ the point that was added to $X$ in forming $X_{\infty }$. Suppose first that neither $x$ nor $y$ are $\infty$. Then $x$ and $y$ are separated by disjoint neighbourhoods because $X$ is Hausdorff. Suppose now wlog. that $x=\infty$, then $y\neq \infty$, so $y\in X$. Since $X$ is locally compact, pick a compact neighbourhood $K$ of $y$. Since $K$ is a neighbourhood of $x$, pick an open neighbourhood $U\subseteq K$ of $x$. Set $V:=X\setminus K$. Since $X$ is Hausdorff, $K$ is closed, so that $U,V$ are open neighbourhoods of $y,x$ that satisfy the requirements of the definition of a Hausdorff space. $\Box$

練習

1. 設$S$ 為一個集合，$X$ 為一個拓撲空間，且$f:S\to X$ 為一個函式。則$f(S)$ 是$X$ 的一個緊緻子集當且僅當存在$S$ 上的一個拓撲，使得$S$ 成為一個緊緻拓撲空間。
2. 設$X$ 為一個具有兩個拓撲$\tau _{1}$ 和$\tau _{2}$ 的集合，關於這兩個拓撲，$X$ 都是緊緻的。證明$X$ 關於拓撲$\tau _{1}\cap \tau _{2}$ 和$\tau _{1}\vee \tau _{2}$ 也都是緊緻的，其中後者表示$\tau _{1}$ 和$\tau _{2}$ 的最小上界拓撲，借用了格論中的記號。
3. 1. 設$X,Y$ 為拓撲空間，且$K\subseteq X$ 和$L\subseteq Y$ 為緊緻集。證明$K\times L$ 是$X\times Y$ 的一個緊緻子集，其中後者賦予積拓撲。

   2. 設$X,Y$為豪斯多夫空間，並假設$f:X\to Y$和$g:Y\to Y$是真對映且連續。在選擇公理的條件下，證明$f\times g:X\times Y\to Y\times Y$是真對映。提示：首先證明，只需要證明$Y$的緊集的乘積的原像是緊的即可。
4. 利用亞歷山大子基定理證明提霍諾夫定理。
5. 證明如果$X$是一個緊緻空間，且$A\subseteq X$關於子空間拓撲是離散的，則$A$是一個有限集。
6. 設$Z_{1},\ldots ,Z_{n}$是緊緻空間，$X$是一個集合，對於$k\in [n]$，設$f_{k}:Z_{k}\to X$為一個函式。假設$X$由$f_{k}$（$k\in [n]$）承載最終拓撲。證明$X$是緊緻的當且僅當$\bigcup _{k=1}^{n}f_{k}(Z_{k})$在$X$中是餘有限的。
7. 設$X,Y$ 為拓撲空間，其中$X$ 是緊緻的，$Y$ 是豪斯多夫的，並設$f:X\to Y$ 為一個連續的雙射。在選擇公理的條件下，證明$X$ 是豪斯多夫的，並且$Y$ 是緊緻的。
8. 設$X$ 為一個非緊緻連通拓撲空間。證明其亞歷山德羅夫緊化$X_{\infty }$ 是連通的。