一般拓撲/連續性

定義（連續性）:

令 $X,Y$ 為拓撲空間，令 $f:X\to Y$ 為函式。 $f$ 稱為 **連續** 當且僅當對於每個開放的 $U\subseteq Y$，集合 $f^{-1}(U)$ 是開放的。

命題（透過子基的連續性表徵）:

令 $f:X\to Y$ 為拓撲空間 $X,Y$ 之間的函式，令 ${\mathcal {B}}$ 為 $Y$ 拓撲的子基。如果 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是開放的，對於所有 $V\in {\mathcal {B}}$，那麼 $f$ 是連續的。

**證明：**令 $W\subseteq Y$ 為任意開放集；我們要證明 $f^{-1}(W)$ 是開放的。現在，$Y$ 上拓撲的基底 由 以下給出

${\mathcal {B}}':=\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}|n\in \mathbb {N} ,B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\}$.

由於交集與原像可交換，$f^{-1}(V)$ 對 $V\in {\mathcal {B}}'$ 是開放的。但是 $Y$ 中的所有開放集都是 ${\mathcal {B}}'$ 中元素的並集，並且原像與並集可交換，所以 $f$ 是連續的。 $\Box$

示例（恆等對映是一個連續函式）:

令 $X$ 為一個拓撲空間，其拓撲為 $\tau$，令 $1_{X}$ 表示 $X$ 上的恆等對映。那麼 $1_{X}$ 是連續的。

命題（拓撲空間的範疇）:

所有拓撲空間的集合，以及它們之間的連續函式作為態射，構成一個 範疇。

證明：事實上，連續函式的複合仍然是連續的，而且恆等對映（它在與其他任何恆等映射覆合後都是唯一的）是定義良好的。 $\Box$

命題（到具有初始拓撲的空間的函式的連續性特徵）:

令 $X$ 為一個集合，並配備了某些函式 $f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$ 的初始拓撲，其中 $(Y_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是拓撲空間族。令 $Z$ 為另一個拓撲空間。函式 $g:Z\to X$ 是連續的當且僅當所有函式 $f_{\alpha }\circ g$ ($\alpha \in A$) 是連續的。

證明: 首先假設所有函式 $f_{\alpha }\circ g$ 是連續的，並且令 $U\subseteq X$ 是開放的，這樣我們就可以寫成

$U=\bigcup _{\beta \in B}C_{\beta }$，$C_{\beta }=f_{\alpha _{\beta ,1}}^{-1}(U_{\alpha _{\beta ,1}})\cap \cdots \cap f_{\alpha _{\beta ,n_{\beta }}}^{-1}(U_{\alpha _{\beta ,n_{\beta }}})$

由於我們看到這樣定義的集合 $C_{\beta }$ 構成 初始拓撲的基。然後 $g^{-1}(U)$ 在 $Z$ 中是開集，因為取逆像與取並集和交集是可交換的。此外，觀察到所有函式 $f_{\alpha }$ 都是連續的，因此函式 $f_{\alpha }\circ g$ 在 $g$ 連續的情況下也是連續的。 $\Box$

命題（拓撲空間的乘積是範疇乘積）:

令 $(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為拓撲空間，令 $X$ 為它們的乘積，並具有乘積拓撲。然後 $X$，連同標準投影 $\pi _{\alpha }:X\to X_{\alpha }$，是 $(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 在拓撲空間和連續函式的範疇中的乘積。

證明：令另一個在該圖上方的錐給出，它包含 $X_{\alpha }$ 作為點，但沒有態射，假設該錐的物件稱為 $a$，該錐的箭頭稱為 $\phi _{\alpha }:a\to X_{\alpha }$，使得 $a$ 是拓撲空間，而 $\phi _{\alpha }$ 是連續函式。為了簡化符號，令 $P:=\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }$，並定義

$\psi :a\to P,\psi (x):=(\phi _{\alpha }(x))_{\alpha \in A}$.

請注意，$\psi$ 是唯一一個具有以下性質的對映：$\pi _{\alpha }\circ \psi (x)=\phi _{\alpha }(x)$，因為投影只是透過取$\alpha$ 項來實現的。此外，請注意，$\psi$ 是連續的，因為$\phi _{\alpha }=\pi _{\alpha }\circ \psi$ 是連續的，$P$ 具有$\pi _{\alpha }$ 的初始拓撲，並且我們透過初始拓撲空間的函式連續性的特徵 推出結論。因此，$P$ 是一個乘積。$\Box$

連續性是一個區域性性質，因為它可以用函式可能在每個點處具有的性質來表徵。

定義（在一點處的連續性）:

令 $X,Y$ 為拓撲空間，$x_{0}\in X$ 為一點，$f:X\to Y$ 為一個函式。$f$ 稱為在 $x_{0}$ 處連續 當且僅當對 $f(x_{0})$ 的每個開鄰域 $V\subseteq Y$，存在 $x_{0}$ 的一個開鄰域 $U$ 使得 $f(U)\subseteq V$。

命題（連續性等價於在每個點處的連續性）:

設 $X,Y$ 為拓撲空間，$f:X\to Y$ 為一個函式。 $f$ 連續當且僅當它在所有 $x\in X$ 處連續。

證明： 首先假設 $f$ 是連續的，並設 $x\in X$。設 $V\subseteq Y$ 是 $f(x)$ 的一個開鄰域，則由連續性 $f^{-1}(V)=:U$ 是 $x$ 的一個開鄰域，根據原像的定義， $f(U)\subseteq V$。 現在假設 $f$ 在每個點 $x\in X$ 處都是連續的，設 $V\subseteq Y$ 為任意開集。 我們需要證明 $f^{-1}(V)$ 是開的。 事實上，設 $x\in f^{-1}(V)$ 為任意點，使得 $f(x)\in V$。 由在 $x$ 處的連續性，我們發現，對於 $x$ 的所有鄰域 $U$ 的集合 $S_{x}$，滿足 $f(U)\subseteq V$ 是非空的。（注意：這裡我們增加了一個步驟，為每個 $x$ 選擇了一個典型的鄰域，以避免選擇公理。） 定義

$U_{x}:=\bigcup _{U\in S_{x}}U$,

它是一個關於 $x$ 的開鄰域，並具有性質 $f(U_{x})\subseteq V$，也就是說 $U_{x}\subseteq f^{-1}(V)$。然後我們得到

$f^{-1}(V)\subseteq \bigcup _{x\in f^{-1}(V)}U_{x}\subseteq f^{-1}(V)$，即 $f^{-1}(V)=\bigcup _{x\in f^{-1}(V)}U_{x}$,

它作為開集的並集是開的。 $\Box$

命題（閉集連續性表徵）:

設 $f:X\to Y$ 是拓撲空間之間的函式。

$f$ 連續當且僅當對於所有閉子集 $A\subseteq Y$，$f^{-1}(A)$ 在 $X$ 中是閉的。

證明： $f$ 連續當且僅當對於所有開子集 $V\subseteq Y$，集合 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是開的。 $Y$ 的開子集與 $Y$ 的閉子集透過對映 $V\mapsto Y\setminus V$ 一一對應，對於 $X$ 也是如此。 現在注意到 $f^{-1}(Y\setminus V)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(V)=X\setminus f^{-1}(V)$，因此當且僅當前者是開的時，後者是閉的。 特別地，只要 $f^{-1}(V)$ 總是開的，後者總是閉的；如果後者總是閉的，那麼 $f^{-1}(V)$ 總是開的。 $\Box$

命題（在閉並集上的連續性）:

設 $X,Y$ 是拓撲空間，設 $A,B\subseteq X$ 是 $X$ 的閉集，使得 $A\cup B=X$，並且設 $f:X\to Y$ 是一個函式，使得 $f|_{A}$ 和 $f|_{B}$ 都是連續的。那麼 $f$ 是連續的。

證明： 我們證明 $f^{-1}(C)$ 對所有閉集 $C\subseteq Y$ 都是閉集，從而根據 閉集的原像刻畫連續函式 來證明連續性。實際上，設 $C\subseteq Y$ 是閉集。注意

$f^{-1}(C)=f|_{A}^{-1}(C)\cup f|_{B}^{-1}(C)$,

也就是說，$f^{-1}(C)$ 是兩個閉集的並，因此它本身也是閉集。 $\Box$

命題（連續函式的限制是連續的）:

設 $X,Y$ 是拓撲空間，$S\subseteq X$ 是一個子集，$f:X\to Y$ 是一個連續函式。那麼 $f|_{S}$ 是從 $S$（具有子空間拓撲）到 $Y$ 的連續函式。

證明： 設$V\subseteq Y$ 為開集。則 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是開集，因此 $f^{-1}(V)\cap S=f|_{S}^{-1}(V)$ 在 $S$ 的子空間拓撲中是開集。 $\Box$

定義（同胚）:

設 $X,Y$ 為拓撲空間，並設 $f:X\to Y$ 為可逆函式，即雙射。 $f$ 被稱為同胚當且僅當 $f$ 和 $f^{-1}$ 都是連續的。

命題（同胚的限制是同胚）:

設 $X,Y$ 為拓撲空間，$f:X\to Y$ 為同胚。另外，設 $S\subseteq X$ 為子集。則 $f|_{S}:S\to f(S)$ 是一個同胚，其中 $S$ 和 $f(S)$ 分別由 $X$ 和 $Y$ 誘導的子空間拓撲。

證明： $f|_{S}$ 是連續的，因為 連續函式的限制是連續的。進一步，$f|_{S}^{-1}=f^{-1}|_{f(S)}$，它同樣是連續的，因為它是連續對映的限制。因此，$f|_{S}$ 是一個同胚。 $\Box$

定義（等度連續性）:

令 $X,Y$ 是拓撲空間。集合 $H\subseteq Y^{X}$（其中 $Y^{X}$ 表示從 $X$ 到 $Y$ 的所有函式的集合）被稱為在點 $x_{0}\in X$ 處等度連續，當且僅當對於每個 $y\in Y$ 和每個 $y$ 的開鄰域 $V$，存在 $x_{0}$ 的開鄰域 $U$ 和 $y$ 的開鄰域 $W$，使得對於所有的 $f\in H$，只要 $f(U)\cap W\neq \emptyset$，則 $f(U)\subseteq V$。 $H$ 被稱為等度連續，如果它在每個點處等度連續。

命題（等度連續集合中的函式是連續的）:

設 $X,Y$ 為拓撲空間，設 $H\subseteq Y^{X}$ 在 $x_{0}\in X$ 處等度連續，設 $f\in H$。那麼 $f$ 在 $x_{0}$ 處連續。

證明： 令 $y:=f(x_{0})$。根據等度連續性的定義，只要 $V$ 是 $y$ 的鄰域，我們就可以找到 $x_{0}$ 的鄰域 $U$ 和 $y$ 的鄰域 $W$，使得只要 $g(U)\cap W\neq \emptyset$ 對任意 $g\in H$ 成立，則 $g(U)\subseteq V$。但由於 $f(x_{0})=y$，我們有 $f(U)\cap W\neq \emptyset$，因此 $f(U)\subseteq V$ 且 $f$ 在 $x_{0}$ 處連續。$\Box$

當 $Y$ 是一個一致空間時，等度連續性的定義會簡化，並且在這種情況下，等度連續子集與 ${\mathcal {C}}(X,Y)$ 中的緊緻子集相關。這將在關於一致結構的章節中看到。

定義（區域性同胚）:

設 $X,Y$ 為拓撲空間。**區域性同胚** 是一個函式 $f:X\to Y$，使得對於所有 $x_{0}\in X$，我們都能找到 $x_{0}$ 的一個開鄰域 $U$，使得 $f|_{U}$ 是一個同胚，且 $f(U)$ 是 $Y$ 的一個開子集。

換句話說，一個函式 $f:X\to Y$ 是一個區域性同胚當且僅當對於所有 $x_{0}\in X$，都存在 $x_{0}$ 的一個開鄰域 $U$ 以及 $f(x_{0})$ 的一個開鄰域 $V$，使得 $f|_{U}$ 是從 $U$ 到 $V$ 的同胚。

命題（區域性同胚是開對映）:

設 $f:X\to Y$ 是一個區域性同胚。則 $f$ 是一個開對映。

證明： 實際上，令 $U\subseteq X$ 是開的，並令 $y\in f(X)$ 是任意的。選擇任意的 $x\in f^{-1}(y)$。由於 $f$ 是區域性同胚，我們發現 $U\subseteq X$ 是開的，並且 $x\in U$，使得 $f(U)$ 是開的。此外，$y\in f(U)\subseteq f(X)$。由於 $\in f(X)$ 是任意的，$f(X)$ 是開的。$\Box$

定義（嵌入）:

嵌入是拓撲空間之間的一個連續函式 $f:X\to Y$，使得 $f$ 是 $X$ 和 $f(X)$ 之間的同胚。

命題（最大下界拓撲的連續性判據）:

令 $X$ 為一個集合，令 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為 $x$ 上的一族拓撲，並假設 $\tau$ 是 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 在 $X$ 上的最小上界拓撲。令 $f:X\to Y$ 為一個函式，其中 $Y$ 是一個拓撲空間。那麼 $f$ 是連續的當且僅當 $f$ 關於所有拓撲 $\tau _{\alpha }$ ($\alpha \in A$) 在 $X$ 上是連續的。

證明： $f:X\to Y$ 連續當且僅當對於所有開集 $V\subseteq Y$，集合 $f^{-1}(V)$ 在 $X$ 中是開集。這反過來等價於 $f^{-1}(V)$ 在所有拓撲 $\tau _{\alpha }$ ($\alpha \in A$) 中是開集，對於任意開集 $V\subseteq Y$。而這個條件說明 $f$ 關於所有拓撲 $\tau _{\alpha }$ ($\alpha \in A$) 在 $X$ 上是連續的。 $\Box$

命題（最小上界拓撲的連續性準則）:

令 $X$ 是一個拓撲空間，$Y$ 是一個集合，$(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $Y$ 上的一族拓撲。令 $f:X\to Y$ 是一個函式。則 $f$ 關於 $\tau _{\alpha }$ 的最小上界拓撲是連續的當且僅當 $f$ 關於所有拓撲 $\tau _{\alpha }$ 是連續的。

證明： $f$ 是連續的，當且僅當對於所有開集 $V$ 而言，集合 $f^{-1}(V)$ 是開集。如果是這種情況，那麼所有集合 $f^{-1}(V)$ 都是開集，其中 $V\in \tau _{\alpha }$ （$\alpha \in A$ 是任意的），因此 $f$ 關於所有拓撲 $\tau _{\alpha }$ 是連續的。現在假設 $f$ 關於所有這些拓撲是連續的。注意到，由於 $Y$ 關於 $\tau _{\alpha }$ 的最小上界拓撲是由 $\bigcup _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }$ 生成的，後者構成了最小上界拓撲的子基。因此，我們可以應用 關於子基的連續性表徵。 $\Box$