一般拓撲/基

定義（拓撲的子基）:

假設 $\tau$ 是 在 $X$ 上由一個集合生成的拓撲 ${\mathcal {B}}$。那麼 ${\mathcal {B}}$ 被稱為拓撲 $\tau$ 的一個 **子基**。

定義（拓撲的基）:

令 $X$ 是一個拓撲空間，其中 $\tau$ 是它的拓撲。一個 $\tau$ 的 **基** 是一個集合 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$，使得每個 $U\in \tau$ 可以寫成 ${\mathcal {B}}$ 中元素的並集，即

$U=\bigcup _{\alpha \in A}B_{\alpha }$，其中 $\forall \alpha \in A:B_{\alpha }\in {\mathcal {B}}$.

命題（基判據）:

令 ${\mathcal {B}}$ 是集合 $X$ 的子集的集合。 ${\mathcal {B}}$ 構成由它生成的拓撲 $\tau$ 的基，當且僅當對於所有 $U_{1},U_{2}\in {\mathcal {B}}$ 以及 $x\in U_{1}\cap U_{2}$ 都存在 $U_{3}\in {\mathcal {B}}$ 使得 $x\in U_{3}\subseteq U_{1}\cap U_{2}$.

證明： 首先假設 ${\mathcal {B}}$ 確實構成由它生成的拓撲 $\tau$ 的基。 那麼只要 $U_{1},U_{2}\in {\mathcal {B}}$，集合 $U_{1}\cap U_{2}$ 是開的，所以我們可以把它寫成一個並集

$U_{1}\cap U_{2}=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$，其中 $\forall \alpha \in A:U_{\alpha }\in {\mathcal {B}}$.

特別地，如果 $x\in U_{1}\cap U_{2}$，我們可以找到一個 $U_{\alpha }\in {\mathcal {B}}$，使得 $x\in U_{\alpha }$。令 $U_{3}:=U_{\alpha }$，我們得到 $x\in U_{3}\subseteq U_{1}\cap U_{2}$。反之，假設 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 滿足給定條件。根據 由集合生成的拓撲的特徵，對於每個 $U\in \tau$，我們可以寫成

$U=\bigcup _{\alpha \in A}\bigcap _{j=1}^{n_{\alpha }}B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }}$,

where $A$ is an index set and $B_{\alpha ,j}\in {\mathcal {B}}$ for all $\alpha$ and $j$. Let $\alpha$ be fixed, and let $x\in B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }}$ be arbitrary. Suppose that for $k<n_{\alpha }$, we found a set $U_{x,k}\subseteq B_{\alpha ,1}\cap \dots \cap B_{\alpha ,k}$ so that $U_{x,k}\in {\mathcal {B}}$ and $x\in U_{x,k}$. Then by the condition, we pick $U_{x,k+1}\subseteq U_{x,k}\cap B_{\alpha ,k+1}$ so that $U_{x,k+1}\in {\mathcal {B}}$ and $x\in U_{x,k+1}$, so that finally we end up with a set $U_{x,n_{\alpha }}$ that is in ${\mathcal {B}}$, in $B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }}$ and contains $x$. For each $x$, choose an $\alpha$ so that $x\in B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }}$ and then set $U_{x}$ to be the corresponding $U_{x,n_{\alpha }}$ as constructed above. Then

$U=\bigcup _{x\in U}U_{x}$$U=\bigcup _{x\in U}U_{x}$。 $\Box$

命題（由子基透過有限交集得到基）:

令 $X$ 為一個集合，令 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$。令 $\tau$ 為由 ${\mathcal {B}}$ 生成的拓撲（即 ${\mathcal {B}}$ 是 $\tau$ 的子基）並且令

${\mathcal {B}}':=\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}|n\in \mathbb {N} ,B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\}$.

然後 ${\mathcal {B}}'$ 是拓撲 $\tau$ 的一個基。

證明： 由於 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}'$，顯然由 ${\mathcal {B}}'$ 生成的拓撲是 $\tau$ 的一個超集。另一方面，由於 $\tau$ 在有限交集下是封閉的，${\mathcal {B}}'$ 的所有元素都包含在 $\tau$ 中，因此 ${\mathcal {B}}'$ 生成與 ${\mathcal {B}}$ 相同的拓撲。最後，根據 基準，${\mathcal {B}}'$ 是拓撲 $\tau$ 的一個基。 $\Box$

命題（初始拓撲的基）:

設 $X$ 是一個拓撲空間，設 $(Y_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是拓撲空間，設 $f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$ 是函式。如果我們用 $\tau _{\alpha }$ 表示每個 $Y_{\alpha }$ 的拓撲，那麼 $X$ 上的初始拓撲的基由以下給出：

${\mathcal {B}}:=\left\{\bigcap _{j=1}^{n}f_{\alpha _{j}}^{-1}(U_{j})\mid n\in \mathbb {N} ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in A,U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau _{\alpha }\right\}$.

證明：首先我們注意到${\mathcal {B}}$包含在初始拓撲中。此外，初始拓撲也是包含${\mathcal {B}}$的最小的拓撲，因為任何包含${\mathcal {B}}$的拓撲都包含所有單獨的初始拓撲$f_{\alpha }^{-1}(\tau _{\alpha })$。然後，使用我們給出的生成拓撲的特徵，我們注意到我們可以將一個屬於由單獨拓撲$f_{\alpha }^{-1}(\tau _{\alpha })$生成的拓撲的集合$U$寫成$\bigcup _{\beta \in B}C_{\beta }$，$C_{\beta }=D_{\beta ,1}\cap \cdot D_{\beta ,n_{\beta }}$，$D_{\beta ,j}f_{\alpha _{\beta ,j}}^{-1}(\tau _{\alpha _{\beta ,j}})$。 $\Box$

命題（乘積拓撲的基）:

令$(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$是一個拓撲空間族，並假設對於每個$\alpha \in A$，$\tau _{\alpha }$是$X_{\alpha }$的拓撲。設$X:=\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }$。那麼這個集合

${\mathcal {B}}:=\left\{\left\{(x_{\beta })_{\beta \in A}\in X\mid \forall j\in [n]:x_{\alpha _{j}}\in U_{j}\right\}\mid n\in \mathbb {N} _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in A,U_{1}\in \tau _{\alpha _{1}},\ldots ,U_{n}\in \tau _{\alpha _{n}}\right\}$

構成$X$上的乘積拓撲的基礎。

證明： 透過檢查初始拓撲的規範基的形式，並注意到

$\left\{(x_{\beta })_{\beta \in A}\in X\mid \forall j\in [n]:x_{\alpha _{j}}\in U_{j}\right\}=\pi _{\alpha _{1}}(U_{1})\cap \cdots =\pi _{\alpha _{n}}(U_{n})$,

我們得出結論。 $\Box$