一般拓撲/構造

對於每個集合，我們可以關聯它的邊界、內部和閉包。

定義（邊界）:

令 $X$ 是一個拓撲空間，$S\subseteq X$ 是一個子集。 $S$ 的邊界被定義為集合

$\partial S:=\left\{x\in X\mid \forall M\in N(X):M\cap S\neq \emptyset \wedge M\cap (X\setminus S)\neq \emptyset \right\}$.

命題（一個集合是閉合的當且僅當它包含其邊界）:

令 $X$ 是一個拓撲空間。一個集合 $A\subseteq X$ 是閉合的當且僅當 $\partial A\subseteq A$.

證明： 首先假設 $A$ 包含其邊界。我們證明 $X\setminus A$ 是開集。實際上，令 $y\in X\setminus A$。注意到 一個集合是開集當且僅當它包含其每個點的鄰域。如果不存在鄰域 $M\subseteq X$ 使得 $y\in M$ 且 $M\cap A=\emptyset$，那麼由於 $y\in X\setminus A$，我們得到 $y\in \partial A$，矛盾。然後假設 $A$ 是閉集，令 $y\notin A$。如果不存在 $y$ 的鄰域 $M$ 包含在 $X\setminus A$ 中，那麼 $y\in \partial A\subseteq A$，矛盾。 $\Box$

定義（內部）:

令 $X$ 為拓撲空間，$A\subseteq X$ 為一個集合。$A$ 的內部 定義為

${\overset {\circ }{A}}:=A\setminus \partial A$.

命題（集合的內部是開集）:

令$X$ 為拓撲空間，且 $A\subseteq X$。則 ${\overset {\circ }{A}}$ 是開集。

證明： 令 $y\in {\overset {\circ }{A}}$. 則存在 $y$ 的一個鄰域包含在 ${\overset {\circ }{A}}$ 中，否則，$y$ 的所有鄰域 $M$ 都將與 $A$ 相交（因為 $y\in A$）以及 $X\setminus A$，因為如果 $M$ 是一個不與 $X\setminus A$ 相交但與 $\partial A$ 相交的鄰域，則我們可以轉到 $M$ 的一個仍然是 $y$ 的鄰域並與 $\partial A$ 相交的開子集 $U$（否則我們就完成了），因此 $x\in U\cap \partial A$，因此 $U$ 是 $x\in \partial A$ 的一個鄰域，因此 $U$ 與 $X\setminus A$ 相交。因此 ${\overset {\circ }{A}}$ 根據 鄰域系對拓撲的刻畫 是開放的。 $\Box$

定義（閉包）:

設 $X$ 是一個拓撲空間，設 $A\subseteq X$。 $A$ 的 **閉包** 定義為

${\overline {A}}:=A\cup \partial A$.

命題（集合的閉包是閉集）:

設 $X$ 是一個拓撲空間，且 $A\subseteq X$ 是一個集合。那麼 ${\overline {A}}$ 是閉集。

Proof: We show that $X\setminus {\overline {A}}$ is open. Let $x\notin {\overline {A}}$. Suppose that $X\setminus {\overline {A}}$ does not contain a neighbourhood of $x$. Then every neighbourhood of $x$ intersects either $A$ or $\partial A$. If $M$ is a neighbourhood of $x$ that intersects $\partial A$ but not $A$, we may pick $M$ to be open by passing to a subset of $M$, and then we'll still have some point $y\in \partial A\cap M$, since otherwise the original $M$ would intersect $A$. But $y\in \partial A$ implies by definition that all neighbourhoods of $y$ (e.g. $M$...) intersect $A$, so that we obtain a contradiction, so that all neighbourhoods of $x$ intersect $A$ and $x\in \partial A$, contradiction. $\Box$

命題（集合的閉包等於所有包含它的閉集的交集）:

設 $X$ 是一個拓撲空間，且 $A\subseteq X$ 是一個集合。那麼

${\overline {A}}=\bigcap _{B{\text{ closed}} \atop B\supseteq A}B$.

證明： 我們已經看到 集合的閉包是閉集，因此等式右邊包含在左邊。 此外，令 $x\in {\overline {A}}$，令 $B$ 為 $A$ 的閉超集。 假設 $x\notin B$，則存在 $M\in N(x)$，使得 $M\cap B=\emptyset$，因為 $X\setminus B$ 是開集。 但這樣一來，既不 $x\in A$，也不 $x\in \partial A$，因為 $M\cap B\supseteq M\cap A$，產生矛盾。 $\Box$

定義（稠密）:

令 $X$ 為拓撲空間，$S\subseteq X$ 為子集。 $S$ 在 $X$ 中稱為稠密，當且僅當 ${\overline {S}}=X$。

命題（稠密性的刻畫）:

令 $X$ 為拓撲空間，$S\subseteq X$。 以下等價

1. $S$ 在 $X$ 中稠密
2. 對於所有非空的開子集 $\emptyset \subsetneq U\subseteq X$，我們有 $S\cap U\neq \emptyset$
3. 集合 $X\setminus S$ 的內部為空集。

證明： 1. 和 3. 的等價性是因為 $X\setminus {\overline {S}}={\overset {\circ }{X\setminus S}}$，這可以從 內部 和 閉包 的定義以及一般情況下 $\partial S=\partial (X\setminus S)$ 推匯出。現在我們證明 1. 和 2. 的等價性。實際上，首先假設 $S$ 在 $X$ 中稠密，並設 $U\subseteq X$ 是一個非空的開集。如果 $U\cap S=\emptyset$，那麼 $X\setminus U$ 是 $S$ 的一個真閉超集，因此 ${\overline {S}}\subseteq X\setminus U$，這與假設矛盾。現在假設 2. 成立，並設 $A\supseteq S$ 是 $S$ 的任意閉超集。然後假設對於某個 $x\in X$ 有 $x\notin A$。那麼 $X\setminus A$ 是一個非空的開集，它不與 $S$ 相交，這與 2. 矛盾。因此，$A=X$，由於 一個集合的閉包等於包含它的所有閉集的交集，因此我們得出結論。 $\Box$

上界和下界

定義（最小上界拓撲）:

設 $X$ 為一個集合，並設 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為 $X$ 上的一族拓撲。由

$\bigcap _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }$,

給出的拓撲，它是所有 $\tau _{\alpha }$ 中包含的最大拓撲，被稱為 **最大下界拓撲**

定義（由集合生成的拓撲）:

設 $X$ 為一個集合，並設 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$。**由 ${\mathcal {B}}$ 生成的拓撲** 是由

$\bigcap _{\tau {\text{ topology on }}X \atop {\mathcal {B}}\subseteq \tau }\tau$.

注意，這兩個都是拓撲，因為 拓撲的交集仍然是拓撲。

命題（生成拓撲的刻畫）:

設 $X$ 為一個集合，並設 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$。設 $\tau$ 是由 ${\mathcal {B}}$ 生成的拓撲。那麼，在定義

$\sigma :=\left\{\bigcup _{\alpha \in A}C_{\alpha }\mid A{\text{ index set }},C_{\alpha }=B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }},\forall j\in [n_{\alpha }]:B_{\alpha ,n}\subseteq {\mathcal {B}}\right\}$,

$\sigma =\tau$.

證明： 很明顯，$\sigma \subseteq \tau$，因為 $\tau$ 是一個包含所有 $B_{\alpha ,j}$ 的拓撲。另一方面，我們將證明 $\sigma$ 是一個拓撲，從而證明 $\tau \subseteq \sigma$，根據由集合生成的拓撲的定義。實際上，首先注意到 $X\in \sigma$，當我們選擇 $A=\{1\}$ 和 $C_{1}:=X$ 時，空交集。然後注意 $\emptyset \in \sigma$，當我們選擇 $A=\emptyset$。然後假設 $U,V\in \sigma$，並寫成，對於 $j\in [n]$，

$U=\bigcup _{\alpha \in A}C_{\alpha }$，$C_{\alpha }=B_{\alpha ,1}\cap \cdots \cap B_{\alpha ,n_{\alpha }}$ 和 $V=\bigcup _{\omega \in \Omega }D_{\omega }$，$D_{\omega }=B_{\omega ,1}\cap \cdots \cap B_{\omega ,n_{\omega }}$.

然後

$U\cap V=\bigcup _{\alpha \in A}\bigcup _{\omega \in \Omega }C_{\alpha }\cap D_{\omega }\in \sigma$.

最後，假設對於 $i\in I$ 我們有 $U_{i}\in \sigma$，並寫

$U_{i}:=\bigcup _{\alpha \in A_{i}}C_{\alpha }$，$C_{\alpha }$ 是 ${\mathcal {B}}$ 中的集合的有限交集。

然後

$\bigcup _{i\in I}\bigcup _{\alpha \in A_{i}}C_{\alpha }=\bigcup _{\alpha \in \cup _{i}A_{i}}C_{\alpha }\in \sigma$.

因此，我們證明了 $\sigma$ 是一個拓撲。 $\Box$

定義（最小上界拓撲）:

令 $X$ 為一個集合，並令 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為 $X$ 上的拓撲。最小上界拓撲定義為 $X$ 上由

$\bigcup _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }$.

命題（最小上界拓撲是包含給定拓撲的最小拓撲）:

令 $X$ 為一個集合，並令 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為 $X$ 上的拓撲。令 $\tau$ 為由 $\tau _{\alpha }$ 定義的 $X$ 上的最小上界拓撲。那麼 $\tau$ 是包含所有 $\tau _{\alpha }$（$\alpha \in A$）的所有拓撲中最小的。

證明：根據由集合生成的拓撲的定義，任何包含所有拓撲 $\tau _{\alpha }$ 的拓撲 $\tau '$ 都將包含 $\tau$。 $\Box$

命題（固定集合上的拓撲是完全格）:

令 $X$ 為一個集合，並令 $(\tau _{i})_{i\in I}$ 為 $X$ 上的一族拓撲。那麼，當按包含關係對 $X$ 排序時，$(\tau _{i})_{i\in I}$ 存在最小上界和最大下界。因此，當按包含關係排序時，集合上的拓撲構成一個完全格。

證明： 我們已經看到存在一個最小上界拓撲。然後注意到，拓撲形成一個代數簇，其中並集和交集是任意運算，而全集和空集是$0$-元運算。然後，最大下界的存在（以及它等於所討論的拓撲的交集）立即得出，因為最大下界結構是交集。$\Box$

最終拓撲和初始拓撲

命題（拓撲的逆像是拓撲）:

設 $f:X\to Y$ 是從集合 $X$ 到另一個集合 $Y$ 的函式，並且設 $\tau$ 是 $Y$ 上的拓撲。那麼 $f^{-1}(\tau )$ 是 $X$ 上的拓撲。

證明： 這直接從公式得出

1. $f^{-1}(Y)=X$，$f^{-1}(\emptyset )=\emptyset$
2. $f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$ 以及 $f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$ 對於 $Y$ 的任何子集族 $(B_{i})_{i\in I}$ $\Box$

定義（初始拓撲）:

令 $X$ 為一個集合，並令 $(X_{i},\tau _{i})_{i\in I}$ 為拓撲空間族。 進一步設 $f_{i}:X\to X_{i}$ ($i\in I$) 為函式。 $X$ 上的初始拓撲是最小的包含所有拓撲 $f_{i}^{-1}(\tau _{i})$ 的拓撲。

定義（積拓撲）:

令 $(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為拓撲空間族。 定義集合

$X:=\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }$，即笛卡爾積。

積拓撲是 $X$ 上的拓撲，它是相對於所有投影

$\pi _{\alpha }:X\to X_{\alpha },\pi _{\alpha }((x_{\beta })_{\beta \in A})=x_{\alpha }$，$\alpha \in A$ 的初始拓撲。