一般拓撲/定義、特徵

定義（拓撲）:

令 $X$ 為任意集合。關於 $X$ 的 **拓撲** 是 $X$ 的冪集的子集 $\tau \subset {\mathcal {P}}(X)$，滿足以下三個公理

1. $X\in \tau$ 且 $\emptyset \in \tau$
2. $U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau \Rightarrow U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau$
3. $(\forall i\in I:U_{i}\in \tau )\Rightarrow \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau$

定義（拓撲空間）:

**拓撲空間** 是一個集合 $X$ 以及關於它的一個拓撲 $\tau$。

示例（歐幾里得拓撲）:

令 $n\in \mathbb {N}$ 並考慮集合 $X=\mathbb {R} ^{n}$。 然後我們定義

$\tau :=\{U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\mid \forall x\in U:\exists \epsilon >0:B_{\epsilon }(x)\subseteq U\}$.

$\tau$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的拓撲，稱為歐幾里得拓撲。

定義（開集）:

設 $X$ 是一個拓撲空間，$\tau$ 是它的拓撲。$X$ 的開集是指任何包含在 $\tau$ 中的集合。

定義（閉集）:

設 $X$ 是一個拓撲空間。一個子集 $A\subset X$ 稱為閉集，當且僅當 $X\setminus A$ 是開集，即包含在 $X$ 的拓撲中。

定義（閉開集）:

設 $X$ 是一個拓撲空間。一個子集 $A\subset X$ 稱為閉開集，當且僅當它同時是開集和閉集。

命題（從閉集定義拓撲）:

設 $X$ 是一個集合，設 $\kappa \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $X$ 的子集的集合，使得以下公理成立

1. $\emptyset \in \kappa$ 且 $X\in \kappa$
2. $F_{1},\ldots ,F_{n}\in \kappa \Rightarrow F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}\in \kappa$
3. $(\forall \alpha \in A:F_{\alpha }\in \kappa )\Rightarrow \bigcap _{\alpha \in A}F_{\alpha }\in \kappa$

那麼存在一個唯一的拓撲$\tau$ 在 $X$ 上，使得 $\kappa$ 精確包含該拓撲的閉集，反之，任何拓撲的閉集滿足 1. - 3.

證明: 我們聲稱，在滿足命題中 1.-3. 的集合 $\kappa \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ （稱此集合為 ${\mathcal {K}}(X)$）與 $X$ 上的拓撲之間存在一個雙射，我們將用 ${\mathcal {T}}(X)$ 表示，因此如果這個雙射表示為 $\Phi :{\mathcal {T}}(X)\to {\mathcal {K}}(X)$，那麼拓撲 $\tau$ 的閉集由 $\Phi (\tau )$ 精確給出。實際上，這個對映 $\Phi$ 由

$\Phi (\tau ):=\{X\setminus U\mid U\in \tau \}$ 給出，其逆為 $\Phi ^{-1}(\kappa )=\{X\setminus F\mid F\in \kappa \}$.

這些透過直接計算互為逆，並且 $\tau$ 的閉集恰好是 $\Phi (\tau )$。我們必須證明 $\Phi$ 是定義良好的，也就是說，它將 ${\mathcal {T}}(X)$ 對映到 ${\mathcal {K}}(X)$，並且逆對映也是定義良好的，因為它將 ${\mathcal {K}}(X)$ 對映到 ${\mathcal {T}}(X)$。首先令 $\tau$ 為拓撲。由於 $X\setminus \emptyset =X$ 並且 $X\setminus X=\emptyset$，上述條件 1 被滿足。現在假設 $F_{1},\ldots ,F_{n}\in \Phi (\tau )$，因此對於 $j\in [n]$，我們有 $F_{j}=X\setminus U_{j}$，對於某個 $U_{j}\in \tau$。由於 $\tau$ 是拓撲，$U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau$，此外，根據德摩根定律

$\Phi (U_{1}\cap \cdots \cap U_{n})=F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}$.

最後，假設 $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $\Phi (\tau )$ 中元素的一個族，並且對於 $\alpha \in A$ 再次寫出 $F_{\alpha }=X\setminus U_{\alpha }$。由於 $\tau$ 是一個拓撲，$\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\in \tau$，並且根據德摩根定律

$\Phi \left(\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\right)=\bigcap _{\alpha \in A}F_{\alpha }$,

和 $\kappa :=\Phi (\tau )$ 滿足 1. - 3. 反方向可以透過類似的計算來證明。因此，唯一一個閉集為 $\kappa$ 的拓撲是 $\Phi ^{-1}(\kappa )$，如果 $\tau$ 是一個拓撲，$\Phi (\tau )$，其閉集，滿足 1.-3. $\Box$

命題（拓撲按包含關係排序）:

如果 $X$ 是任何集合，並且 $\tau _{1},\tau _{2}$ 是 $X$ 上的拓撲，則 $\tau _{1}\leq \tau _{2}:\Leftrightarrow \tau _{1}\subseteq \tau _{2}$ 在 $X$ 的拓撲上定義了一個序。

證明：這是一種特殊情況，因為冪集的子集按包含排序。 $\Box$

定義（拓撲的比較）:

令 $X$ 為任意集合， $\tau _{1},\tau _{2}$ 為 $X$ 上的拓撲。只要 $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$，我們說 $\tau _{1}$ 比 $\tau _{2}$ **更粗糙**，而 $\tau _{2}$ 比 $\tau _{1}$ **更精細**。

命題（拓撲的交集是一個拓撲）:

令 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 為集合 $X$ 上的一族拓撲。那麼

$\bigcap _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }$

是 $X$ 上的拓撲。

證明：這從交集保留封閉性質得出，注意到有限交集和任意並集是 ${\mathcal {P}}(X)$ 上的運算（以及整體和空集，即 0 階運算），並且每個拓撲都對這些運算封閉。 $\Box$

定義（開鄰域）:

令 $(X,\tau )$ 為一個拓撲空間，並令 $x\in X$。一個 $x$ 的**鄰域**是一個開集 $U$（即 $U\in \tau$），使得 $x\in U$.

定義（鄰域）:

令 $(X,\tau )$ 為一個拓撲空間，並令 $x\in X$。一個 $x$ 的**鄰域**是一個集合 $N\subset X$，使得存在一個開集 $U\in \tau$，使得 $U\subseteq N$ 並且 $x\in U$。所有 $x$ 的鄰域的集合記作 $N(x)$.

定理（用鄰域系刻畫拓撲結構）:

假設 $X$ 是一個集合，並且對於每個 $x\in X$，我們給定一個集合 $N(x)\subseteq {\mathcal {P}}(X)$，使得 $x\in S$ 對於每個 $S\in N(x)$。那麼集合 $N(x)$ 構成 $X$ 上的拓撲結構的鄰域當且僅當滿足以下條件：

1. $\forall x\in X:X\in N(x)$
2. $\forall x\in X:\forall U,V\in N(x):U\cap V\in N(x)$
3. $\forall x\in X:\forall U\in N(x):\forall S\subseteq X:(U\subseteq S\Rightarrow S\in N(x))$ （超集封閉性）
4. $\forall x\in X:\forall S\in N(x):\exists U\subseteq S:U\in N(x)\wedge \forall y\in U:S\in N(y)$

在這種情況下，$N(x)$ 作為鄰域的拓撲由鄰域唯一確定，並且等於

$\left\{U\subseteq X\mid \forall x\in U:\exists V\in N(x):V\subseteq U\right\}$.

Proof: Let's first show that whenever the sets $N(x)$ are the neighbourhoods of a topology $\tau$ on $X$, then they satisfy 1. - 4. Indeed, $X$ is an (open) neighbourhood of every of its points. Then, whenever $U,V\in N(x)$ for some $x\in X$, we find open sets $U',V'$ such that $x\in U'\subseteq U$ and $x\in V'\subseteq V$, note that $x\in U'\cap V'\subseteq U\cap V$ and that $U'\cap V'$ is open, as finite intersections of open sets are open. If $S\in N(x)$, $x\in U\subseteq S$ open and $T\supseteq S$ arbitrary, then $x\in U\subseteq T$ so that $T\in N(x)$. Finally, if $S\in N(x)$, choose an open $U$ s.t. $x\in U\subseteq S$, then $U$ is open, hence a neighbourhood of all of its points. Now suppose that for each $x\in X$ we are given $N(x)$ and these neighbourhoods satisfy the conditions 1.-4. Then we define

$\tau :=\left\{U\subseteq X\mid \forall x\in U:\exists V\in N(x):V\subseteq U\right\}$

and claim that $\tau$ is a topology. Indeed, $\emptyset \in \tau$, since then the condition is trivially satisfied, since there are no $x\in \emptyset$. Furthermore, $X\in \tau$, since whenever $x\in X$, $X\subseteq X$ and $X$ is a neighbourhood of $x$. Then, suppose that $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ is a family of sets contained in $\tau$, and set $U:=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$. We claim that $U\in \tau$. Indeed, if $x\in U$, pick $\alpha \in A$ so that $x\in U_{\alpha }$, then $V\in N(x)$ such that $x\in V\subseteq U_{\alpha }$ since $U_{\alpha }\in \tau$, and finally note that $x\in V\subseteq U$. Then, let $U,V\in \tau$ and pick $U',V'\in N(x)$ so that $x\in U'\subseteq U$ and $x\in V'\subseteq V$. Then $x\in U'\cap V'\subseteq U\cap V$, so that $U\cap V\in \tau$, since $U'\cap V'\in N(x)$.

Now we claim that for each $x\in X$, the neighbourhoods of $x$ with respect to $\tau$ are precisely $N(x)$. Indeed, let first a neighbourhood $S$ of $x$ be given. Choose $x\in U\subseteq S$ open. Then by definition of $\tau$, there exists $T\in N(x)$ such that $T\subseteq U$, and since $N(x)$ is closed under supersets, $S\in N(x)$. Conversely, suppose $S\in N(x)$. Define $U:=\{y\in X\mid S\in N(y)\}$, and claim that $U\subseteq S$ and $U$ is open in $\tau$. Indeed, $U\subseteq S$ is clear, since $y\in S$ is necessary for $S$ being a neighbourhood of $y$. Let now $y\in U$. By 4., choose $U'\subseteq S$ so that $U'\in N(y)$ and $S$ is in $N(z)$ for all $z\in U'$. Thus $S\in N(z)$ for all $z\in U'$, so that $U'\subseteq U$, and since $y$ was arbitrary, $U$ is open, and $S$ is a neighbourhood in $\tau$ of $x$.

最後，設$\tau '$ 為任何以$N(x)$ 作為鄰域的拓撲，並斷言$\tau '=\tau$ 如上定義。事實上，如果$U\in \tau '$，則$U$ 本身就是其每個點的鄰域，因此在$\tau$ 中。反之，如果$U\in \tau '$，則對於每個$x\in U$，選擇$X$ 的一個鄰域$V_{x}\in \tau$ 包含在$U$ 中（為了避免選擇公理，選擇它們是所有此類集合的並集），並注意

$U=\bigcup _{x\in X}V_{x}\in \tau$. $\Box$

練習

1. 設 $X$ 為一個集合。
   1. 證明 ${\mathcal {P}}(X)$，即冪集，是 $X$ 上的拓撲（稱為離散拓撲），並且當 $X$ 具有該拓撲，$f:X\to Y$ 是任意一個函式，其中 $Y$ 是一個拓撲空間，那麼 $f$ 自動是連續的。
   2. 證明 $\{\emptyset ,X\}$ 是 $X$ 上的拓撲（稱為平凡拓撲），並且當 $X$ 具有該拓撲，$Z$ 是任意一個拓撲空間，$f:Z\to X$ 是任意一個函式，那麼 $f$ 是連續的。