測度論/收斂定理

定理（單調收斂定理）:

設 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ 是一個測度空間，並且令 $f_{n}:\Omega \to [0,\infty ]$ 是一個單調上升（即 $f_{n+1}\geq f_{n}$ 按點）的非負函式序列，它按點收斂於一個函式 $f:\Omega \to [0,\infty ]$。然後

$\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}d\mu =\int _{\Omega }fd\mu$.

定理（法圖引理）:

設 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ 是一個測度空間，並且令 $f_{n}:\Omega \to \mathbb {R} _{\geq 0}$ 是一個非負函式序列。然後

$\int _{\Omega }\liminf _{n\to \infty }f_{n}d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}d\mu$.

證明： 注意到，在定義

$g_{N}:=\inf _{k\geq N}f_{n}$,

之後，函式序列 $g_{N}$ 是嚴格遞增的，並且當 $N\to \infty$ 時按點收斂於 $f$。因此，單調收斂定理 是適用的，我們得到

$\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }g_{N}d\mu =\int _{\Omega }fd\mu$.

現在對於每個 $N\in \mathbb {N}$，我們有

$\int _{\Omega }g_{N}d\mu \leq \int _{\Omega }f_{N}d\mu$,

並且如果我們取 lim inf，

$\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }g_{N}d\mu =\liminf _{N\to \infty }\int _{\Omega }g_{N}d\mu \leq \liminf _{N\to \infty }\int _{\Omega }f_{N}d\mu$. $\Box$