測度理論/態射和測度空間的範疇

有幾個範疇的物件是測度空間。自然地，它們是由態射的選擇決定的。

定義（可測的）:

一個函式$f:\Omega \to \Delta$，其中$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$和$(\Delta ,{\mathcal {G}},\lambda )$是測度空間，稱為可測的當且僅當對於每個$D\in {\mathcal {G}}$，我們有$f^{-1}(D)\in {\mathcal {F}}$.

定義（測度空間的標準範疇）:

測度空間的標準範疇是該範疇，其物件是測度空間，而態射是可測函式。

定義（代數對映）:

令$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$和$(\Delta ,{\mathcal {G}},\lambda )$是測度空間。從$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$到$(\Delta ,{\mathcal {G}},\lambda )$的代數對映是一個函式$\phi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$使得$\lambda (\phi (A))=\mu (A)$對於所有$A\in {\mathcal {F}}$，而且，對於$A,A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}$

1. $\phi (\emptyset )=\emptyset$ 以及 $\phi (\Omega )=\Delta$
2. $\phi \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\phi (A_{n})$
3. $\phi (\Omega \setminus A)=\Delta \setminus \phi (A)$.

定義（測度空間的代數對映範疇）:

測度空間的代數對映範疇是指一個範疇，其物件是測度空間，其態射是代數對映。

定義（測度保持）:

一個函式 $f:\Omega \to \Delta$，其中 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ 和 $(\Delta ,{\mathcal {G}},\lambda )$ 是測度空間，稱為測度保持當且僅當它可測且 $\mu (f^{-1}(D))=\lambda (D)$ 對於所有 $D\in {\mathcal {G}}$ 成立。

定義（測度空間的備選範疇）:

測度空間的標準範疇是指一個範疇，其物件是測度空間，其態射是測度保持函式。