測度論/基本結構和定義/測度

在本節中，我們研究測度空間和測度。

測度空間

令 $X$ 為一個集合，且 ${\mathcal {M}}$ 為 $X$ 的子集的集合，使得 ${\mathcal {M}}$ 是一個 σ-環。

我們稱對 $X$ 的子集的集合 ${\mathcal {M}}$ 為一個 可測空間。 ${\mathcal {M}}$ 的成員被稱為 可測集。

一個定義在 ${\mathcal {M}}$ 上的正實值函式 $\mu$ 被稱為 測度 當且僅當，

(i)$\mu (\varnothing )=0$ 且

(i)"可數可加性": $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$，其中 $E_{i}\in {\mathcal {M}}$ 是成對不相交的集合。

我們稱三元組 $\left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle$ 為一個 測度空間

機率測度 是一個總測度為 1 的測度（即 μ(X)=1）；機率空間是具有機率測度的測度空間。

性質

從可數可加測度的定義可以推匯出幾個進一步的性質。

單調性

$\mu$ 是單調的：如果 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 是可測集，且 $E_{1}\subseteq E_{2}$，那麼 $\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})$.

可測集的無窮並的測度

$\mu$ 是次可加的：如果 $E_{1}$，$E_{2}$，$E_{3}$，... 是 $\Sigma$ 中的可測集的可數序列，不一定互斥，那麼

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$.

$\mu$ 從下方連續：如果 $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$, ... 是可測集，並且 $E_{n}$ 是 $E_{n+1}$ 的子集，對於所有的 n，那麼這些集合 $E_{n}$ 的並集是可測集，並且

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})$.

可測集的無限交集的度量

$\mu$ 從上方連續：如果 $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$, ... 是可測集，並且 $E_{n+1}$ 是 $E_{n}$ 的子集，對於所有的 n，那麼這些集合 $E_{n}$ 的交集是可測集；此外，如果至少有一個 $E_{n}$ 的度量是有限的，那麼

$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})$.

如果沒有至少有一個 $E_{n}$ 的度量是有限的，這個性質是錯誤的。例如，對於每個 n ∈ N，令

$E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R}$

所有這些集合的測度都是無窮大，但它們的交集為空集。

計數測度

從集合 Ω 開始，考慮 Ω 上的 σ 代數 X，它包含 Ω 的所有子集。在該 σ 代數上定義測度 μ，對於 Ω 的有限子集 A，設 μ(A) = |A|，對於 Ω 的無限子集 A，設 μ(A) = ∞，其中 |A| 表示集合 A 的基數。那麼 (Ω, X, μ) 是一個測度空間。μ 稱為計數測度。

勒貝格測度

對於 Rⁿ 的任何子集 B，我們可以定義一個外測度 $\lambda ^{*}$ 為

$\lambda ^{*}(B)=\inf\{\operatorname {vol} (M):M\supseteq B\}$，而 $M\$ 是區間乘積的可數並。

這裡，vol(M) 是涉及區間的長度乘積的總和。然後我們定義集合 A 為勒貝格可測的，如果

$\lambda ^{*}(B)=\lambda ^{*}(A\cap B)+\lambda ^{*}(B-A)$

對於所有集合 B。這些勒貝格可測集構成一個 σ 代數，勒貝格測度由 λ(A) = λ^*(A) 定義，對於任何勒貝格可測集 A。