測度論/基本結構與定義/半代數、代數和 σ-代數

半代數

粗略地說，集合 $\,X$ 上的半代數是一個對交集封閉且對集合差 *半* 封閉的類。由於這些限制很強，因此其中集合通常具有定義的特徵，從而更容易在這些集合上構建測度。然後，我們將看到代數的結構，它對集合差封閉，然後是 σ-代數，它是代數且對可數並封閉。第一個結構很重要，因為它們自然出現在我們感興趣的集合中，而最後一個結構很重要，因為它由於其屬性而成為處理測度的核心結構。

**定義 1.1.1**：一個類 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $\,X$ 上的**半代數**，如果

• 空集和全集都在 ${\mathcal {S}}$ 中

$\emptyset \in {\mathcal {S}},X\in {\mathcal {S}}$

• 它對交集封閉

$\forall A,B\in S\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {S}}$

• 任何兩個 ${\mathcal {S}}$ 中集合的集合差是 ${\mathcal {S}}$ 中元素的有限不相交併

$\forall A,B\in S,\;\;\exists \{C_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq {\mathcal {S}}$ 成對不相交，使得 $\;A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}$

例子：乍一看，半代數似乎是 ${\mathcal {P}}(X)$ 的一個非常有限的子集，但很容易證明，當 $X=\mathbb {R}$ 時，所有區間（有界、無界、半開、開、閉或任何其他類）的類是一個關於 $\mathbb {R}$ 的半代數，並且顯然這個集合是非平凡的。例如，設 A 為 $(2,5)$，B 為 $(3,4)$。那麼 $A\setminus B=(2,3]\cup [4,5)=C$，比如。讓我們稱 $(2,3]=C1$ 和 $[4,5)=C2$。那麼 $C=C1\cup C2,C\notin S$（因為它不是一個區間），即使 $C1,C2\in S$。此外，$C1$ 和 $C2$ 是不相交的。

代數

關於集合 $\,X$ 的代數是一個在所有有限集合運算下封閉的類。

定義 1.1.2：類 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是關於 $\,X$ 的代數，如果

1. $X\in {\mathcal {A}}$
2. $\forall A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}$

這個定義足以用於有限運算下的封閉性。以下性質證明了這一點

命題 1.1: 一個類 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是一個代數當且僅當 ${\mathcal {A}}$ 滿足：

1. $X\in {\mathcal {A}}$
2. $\forall A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathcal {A}}$
3. $\forall A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {A}}$

證明: $(\Rightarrow )$

性質 1 與定義一致。

對於性質 2，注意到 $\forall A\in {\mathcal {A}}$

$A^{c}=X\setminus A\in {\mathcal {A}}$

最後，對於性質 3，由於性質 2 成立，$\forall B\in {\mathcal {A}}$

$B^{c}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B^{c}=A\cap B\in {\mathcal {A}}$

$(\Leftarrow )$

性質 1 與定義一致。

對於所有的 $A,B\in {\mathcal {A}}$，根據性質 2 我們有 $B^{c}\in {\mathcal {A}}$。然後性質 3 意味著 $A\cap B^{c}\in {\mathcal {A}}$，這等價於 $A\setminus B\in {\mathcal {A}}$ $\Box$

注意：很明顯，給定$\forall A,B\in {\mathcal {A}}$，那麼根據性質 2 和 3，$(A^{c}\cap B^{c})^{c}=A\cup B\in {\mathcal {A}}$，因此代數對所有有限集合運算封閉。

σ-代數

σ-代數（也稱為 σ-環）在集合 $\,X$ 上是一個對可數並封閉的代數。

定義 1.1.3 : 類 ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $\,X$ 上的σ-代數，如果

1. ${\mathcal {T}}$ 是一個代數
2. $\forall \{{A_{n}\}}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {T}}\Rightarrow \cup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {T}}$

注意：σ-代數也對可數交封閉，因為可數並的補集是並集中考慮的集合的補集的可數交。

Borel 集

定理

令 $X$ 為一個集合，並令 ${\mathcal {F}}$ 為 $X$ 的子集的集合。那麼，存在一個包含 ${\mathcal {F}}$ 的最小的 σ-環 ${\mathcal {F}}^{*}$，也就是說，如果 ${\mathcal {M}}$ 是包含 ${\mathcal {F}}$ 的 σ-環，那麼 ${\mathcal {F}}^{*}\subseteq {\mathcal {M}}$

證明

令 ${\mathcal {F}}^{*}$ 為包含 ${\mathcal {F}}$ 的所有 σ-環的交集。很容易看出 $E\in {\mathcal {F}}^{*}\Rightarrow E^{c}\in {\mathcal {F}}^{*}$，並且 ${\mathcal {M}}_{1},{\mathcal {M}}_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}^{*}\Rightarrow \bigcup _{i=1}^{\infty }{\mathcal {M}}_{i}\in {\mathcal {F}}^{*}$，因此，${\mathcal {F}}^{*}$ 是一個 σ-環。

${\mathcal {F}}^{*}$ 有時被稱為 ${\mathcal {F}}$ 的擴張。

現在，令 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 上的拓撲。因此，存在一個 $X$ 上的 σ-代數 ${\mathcal {B}}$，使得 ${\mathcal {B}}={\mathcal {T}}^{*}$。${\mathcal {B}}$ 稱為 **Borel 代數**，${\mathcal {B}}$ 的元素稱為 **Borel 集**