實分析/反函式

實分析 反函式

在本章中，我們將正式化反函式的定義和直觀行為。在早期的數學學習中，你可能已經學習了一些關於該主題的皮毛知識，例如它們在 y=x 線上的反射，或函式及其反函式的列表。你可能學過反三角函式，作為一種模糊的方法，從一個假想三角形的邊長得到一個角度。你可能理解了，n^th 根是 n^th 次方的反函式。在這裡，我們將正式化它——賦予它意義，從而賦予它趣味。然而，許多與反函式相關的定理在其他概念構建之前，不會立即有用或可理解。因此，本章的部分內容可能包含對先前所需概念的說明。

構造

反函式的構造可以透過兩種方法完成。第一種方法是直接定義反函式。我們不會在本書中以這種方式定義它。相反，我們將把它定義為一種新運算的結果。我們將以這種方式定義反函式，因為它假設的概念更少，並且給了我們一個新的運算子可以使用（它將在本章的一個非常重要的概念中使用）。本章的這一部分將表達我們將如何遵循第二種方法來定義它。

反運算子 反運算子的定義 一個一元運算，作用於函式 ƒ，使得所有有序對 (a, b) 在函式 ƒ 中為 (b, a)。記作 ƒ-1。 反函式的定義是對函式的一個直接修改；只需將每個有序對中每個數字的順序顛倒過來。但是你能想象，如果這個定義過於簡單會怎樣？例如，這個定義對 ƒ(x)=x2 有效嗎？考慮到 (a, ƒ(a)) = (-a, ƒ(a))，反函式將存在兩種有序對，使得 (ƒ(a), a) 和 (ƒ(a), -a)，這違反了函式的定義。由於在處理反函式時可能會出現這個問題，我們可以立即開始為這個問題設計一個解決方法。雖然函式 ƒ(x)=x2 的反函式不是函式，但我們只定義了反轉函式的定義。我們沒有定義反函式。 為了避免像 ƒ(x)=x2 這樣的問題，我們將定義反函式。然而，我們不會單獨定義反函式，而是將其作為定理。為什麼？這樣，反函式就成了反運算子的結果性質，而不是一個獨立的類別。數學是建立在簡單規則蘊含更復雜規則的原則之上的。我們開始吧？

反函式定理 定義反函式的定理 ƒ-1 是一個函式意味著 ƒ 是一對一的，反之亦然。 一對一的定義 給定 a ≠ b，使得 ƒ(a) ≠ ƒ(b) ∀a, b ∈ ƒ 的定義域。 利用這個定理，我們可以根據最初的反運算子的定義構建反函式的定義。但是你有沒有注意到，我們還夾帶了另一個定義？我們之所以有這個額外的定義，是因為它將使我們能夠避開一個潛在的定義衝突。 什麼算作一對一函式？令人驚訝的是，並非你想象中的所有函式都算。恆等函式 ƒ = x 是一個一對一函式，但平方函式 ƒ = x2 不是。你最喜歡的三角函式 sin, cos, tan 不是一對一函式。然而，這個分段函式 $f(x)={\begin{cases}x&x\neq 0,1\\1&x=0\\0&x=1\end{cases}}$ 是一個一對一函式。現在我們已經擺脫了尋找例子的必要性，讓我們來證明這個定理。

一個數的平方就是一個不是函式的反函式的例子。

證明

證明自然地從定義中推匯出來，如果設定正確的話。

證明可逆函式必須意味著函式是一對一的

斷言 ƒ-1, ƒ 是一個函式，並假設任意兩個對 (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)).

假設 ƒ(a) = ƒ(b). 這意味著 (a, ƒ(a)) = (b, ƒ(a)).

這意味著反函式 ƒ-1 將具有 (ƒ(a), a), (ƒ(a), b).

我們斷言 ƒ-1 是一個函式，必須意味著 a = b.

a = b 和 ƒ(a) = ƒ(b) 只是對一對一定義的否定。

$\blacksquare$

我們還聲明瞭推論，即前一定理的雙向條件也成立；讓我們也來證明這一點。

證明一個一對一函式，當反轉時，是一個函式

斷言 ƒ 是一個一對一函式。

假設反函式 ƒ-1 中有兩個對 (a, b), (a, c)

這意味著函式 ƒ 具有對 (b, a), (c, a).

我們斷言 ƒ 是單射的，這意味著 b = c.

從反函式 ƒ 中獲得相同的輸入 a 會得到相同的輸出，即 b = c，這僅僅是函式的定義。

$\blacksquare$

符號

與反函式相關的命名約定很少，旨在使事物不那麼混亂。 典型的有序對名稱，例如 (x,y) 或 (a,b) 應用於反映反函式反轉有序對的性質。 例如，x = ƒ^-1(y) 或 a = ƒ^-1(b) 分別補充了 y = ƒ(x) 和 b = ƒ(a) 的命名約定。

定理

反函式的奇特之處在於它能夠透過在某種意義上反轉已知函式和定理來建立已知函式和定理的新定義。 我們將首先從證明定義反函式的定理的非常簡單的結果開始，然後我們將轉向與代數相關的奇特證明，然後我們將透過證明微分性質來進入微積分。

基本性質

如果不明確，應該很容易從定義中推匯出一個看似必要的性質。

對合律	ƒ ∘ ƒ-1 (y) = y
	ƒ-1 ∘ ƒ (x) = x

證明

證明依賴於函式和反函式定義的應用。

對合適用於反函式的證明

ƒ-1 ∘ ƒ (x) = x	ƒ ∘ ƒ-1 (y) = y
函式 ƒ 將 x 對映到 y	函式 ƒ 將 y 對映到 x
反函式 g = ƒ-1 將 y 對映到 x	反函式 g = ƒ-1 將 x 對映到 y
$x{\stackrel {f}{\rightarrow }}y{\stackrel {g}{\rightarrow }}x$	$y{\stackrel {g}{\rightarrow }}x{\stackrel {f}{\rightarrow }}y$
$\blacksquare$	$\blacksquare$

此證明的結果似乎證明了其符號的合理性； 如果函式彼此複合，就好像它是變數 a 及其逆 a^-1 的乘法一樣，只需“取消”函式的逆。 它也證明了我們應該有一種方法來撤消數學運算的直覺概念。

代數

既然我們已經證明了反函式是函式的反面的直覺理解，我們可以繼續進行證明代數的第二部分，即代數可逆性。 代數可逆性是一個與“當且僅當”密切相關的數學概念——能夠應用一種可以透過應用相反運算來逆轉的運算。 我們現在將證明這個概念。

證明代數的定理，第 2 部分

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如果 $f(a)=f(b)$ 並且 f 是可逆的，那麼你可以對等式兩邊應用一個反函式，即“取消”某些東西。

證明

此證明將僅依賴於應用反函式的定義。

代數有效性的證明

假設 $f(a)=f(b)$，我們可以使用一個變數 x，使得 $x=f(a)=f(b)$。 這將極大地簡化交流。
根據反函式的定義，我們可以說變數 *x* 可以對映到 *f-1* 的 *x* 處的值，即 *a*，定義為$x=f(a)$（為什麼是 *a*？使用上一節的對合律）。	${\begin{aligned}f^{-1}&=\{\ldots ,\{\{x\},\{x,a\}\},\ldots \}\implies \\x&\rightarrow a\end{aligned}}$
因為 *f(b)* = *f(a)*，並且我們正在使用一個函式 *f*，所以我們可以說 *b* 也可以對映到 *f-1* 的 *x* 處的值。	${\begin{aligned}f&=\{\ldots ,\{\{x\},\{x,b=a\}\},\ldots \}\implies \\x&\rightarrow b\end{aligned}}$
綜合起來，這種關係就變得很清楚了。	$f(a)=f(b)\implies x\rightarrow a=x\rightarrow b\implies a=b$ $\blacksquare$

連續性

我們將從證明一個反函式在原函式連續的情況下也是連續的開始。我們為什麼要證明這一點，而不是證明不連續的函式？嗯，在關於極限的章節中，我們討論過不連續性不是特殊情況。如果不是特殊情況，它通常具有較少的屬性，並且不需要進一步擴充套件。因此，我們將專注於連續性儲存。需要注意的是，這個定理需要證明一些部分並將其組合在一起。這意味著定理本身將非常長。定理本身寫在下面。

定理

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給定一個函式ƒ，它在連續且一一對應的情況下，反函式也必須連續。

請注意，從反函式定義中我們已經證明了所有反函式ƒ^-1 都是一一對應的。從那裡，你可能會對要經歷的過程有點畏懼。但是，這是一本教科書，我們將成為你的嚮導。

首先，我們需要證明一個單獨的定理，這個定理對於將證明拼湊在一起至關重要。這個定理如下。

定理

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給定一個函式ƒ，它在某個區間上連續且一一對應，那麼它在這個區間上必須是遞增或遞減的。

為了證明這一點，我們將使用介值定理。

所有一一函式必須透過反證法證明要麼是遞增要麼是遞減的圖形描述。

一一對應→要麼遞增要麼遞減的證明。

	遞增	遞減
選擇兩個值 *a*、*b* 和 *c*，使得a < b < c，並且	ƒ(a) < ƒ(c)	ƒ(a) > ƒ(c)
假設	ƒ(b) < ƒ(a)	ƒ(b) > ƒ(a)
然後使用介值定理在 ƒ(b) 和 ƒ(c) 之間，你得到另一個等於 ƒ(a) 的點，用於一一函式。矛盾
假設	ƒ(b) > ƒ(a)	ƒ(b) < ƒ(a)
對於 ƒ(a) 和 ƒ(b) 之間的區間，以及點 ƒ(c)，使用相同的推理也會產生矛盾。
ƒ(b) 必須位於兩者之間。	$\blacksquare$	$\blacksquare$

從這個定理中，我們將用它來證明我們關於連續性的初始定理。像往常一樣，我們將重點關注證明中的遞增，因為我們可以透過對給定函式取反來模擬遞減函式。證明是一個ε-δ證明。

證明連續的一一函式意味著反函式連續

回顧連續性的定義及其相關的ε-δ意義	${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow b}{f^{-1}(x)}&=f^{-1}(b)\\|x-b|<\delta &\rightarrow |f^{-1}-f^{-1}(b)|<\epsilon \end{aligned}}$
我們首先分解ε-δ定義的絕對值符號，並使用我們建立的命名約定應用一些替換（事實上，我們將反函式替換為普通函式，並將普通函式替換為反函式）。	${\begin{aligned}|x-b|<\delta &\rightarrow |f^{-1}-f^{-1}(b)|<\epsilon \\-\delta <x-b<\delta &\rightarrow -\epsilon <f^{-1}-f^{-1}(b)<\epsilon \\-\delta +b<x<\delta +b&\rightarrow -\epsilon +f^{-1}(b)<f^{-1}<\epsilon +f^{-1}(b)\\-\delta +f(a)<x<\delta +f(a)&\rightarrow -\epsilon +a<f^{-1}<\epsilon +a\end{aligned}}$
給定右側的epsilon不等式，我們知道在負ε和正ε之間的值應該是以下值。	-ε + a < a < ε + a
由於函式ƒ是連續且單調的，我們可以應用我們剛證明的定理來推斷	ƒ(-ε + a) < ƒ(a) < ƒ(ε + a)
假設	δ = min(ƒ(a + ε) - ƒ(a), ƒ(a) - ƒ(a - ε))
這種關係可以得到驗證 [證明留給讀者]	ƒ(a - ε) ≤ ƒ(a) - δ 且 ƒ(a) + δ ≤ ƒ(ε + a)
假設給定一個範圍，存在一個變數x處於這個範圍內。	ƒ(a) - δ < x < ƒ(a) + δ
我們將應用上面寫的關係	ƒ(a - ε) < x < ƒ(ε + a)
由於遞增函式ƒ意味著ƒ-1也是遞增的，	ƒ-1 ∘ ƒ(a - ε) < ƒ-1(x) < ƒ-1 ∘ ƒ(ε + a) a - ε < ƒ-1(x) < ε + a
這表明給定一個delta，你就可以從中推斷出epsilon。	$\blacksquare$

"倒數定義"性質

以下定義是逆函式的概念提供的，用於導數定義，其中逆函式的導數是已知的。

定理

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給定一個在 ƒ(a)處可微的函式ƒ^-1，可以定義為ƒ' = 1/ ƒ^-1 ∘ ƒ (a)，前提是ƒ是一個函式，並且ƒ^-1 ∘ ƒ (a) ≠ 0。

定理

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給定一個在 ƒ^-1(b)處可微的函式ƒ，可以定義為ƒ^-1' = 1/ ƒ ∘ ƒ^-1 (b)，前提是ƒ^-1是一個函式，並且ƒ ∘ ƒ^-1 (b) ≠ 0。

與往常一樣，如果將逆函式置於內部或外部顛倒，這個定理仍然有效。我們現在不討論證明。為什麼？證明需要連續性——我們還沒有驗證逆函式是否具有連續性——以及微分——我們也還沒有驗證逆函式是否可微分。但是，我們將討論這個性質背後的直覺，如果這個性質不直觀，我們將在下面展示。

導數定義的直覺過程

	ƒ' = 1/ ƒ-1' ∘ ƒ (a)	ƒ-1' = 1/ ƒ' ∘ ƒ-1 (a)
給定逆函式關係	ƒ-1 ∘ ƒ (x) = x	ƒ ∘ ƒ-1 (y) = y
x的導數	ƒ-1 ∘ ƒ (x) ⋅ ƒ'(x) = 1	ƒ ∘ ƒ-1 (y) ⋅ ƒ-1' = 1
	ƒ' = 1/ ƒ-1' ∘ ƒ (a)	ƒ-1' = 1/ ƒ' ∘ ƒ-1 (a)
	$\blacksquare$	$\blacksquare$

微分

在關於逆函式的章節中，我們已經很容易地聲明瞭計算逆函式導數的公式，與原函式的導數的關係為ƒ' = 1/ ƒ^-1' ∘ ƒ (a)。然而，它包含一個注意事項，即ƒ^-1' ∘ ƒ (a) ≠ 0。證明應該可以從公式本身推斷出來（提示：代入ƒ^-1' = ƒ (a) ≠ 0）。我們在那一節中展示了這是透過鏈式法則的應用得出的，並且附帶了一個證明實際上不是證明的說明。我們說它不是，因為我們還沒有弄清楚微分是否適用於逆函式。由於我們證明了原始函式是連續的，則逆函式是連續的，因此，我們需要檢查微分是否也適用（因為微分需要連續性）。

練習

1. 證明所有周期函式都沒有逆函式。
2. 證明所有不受限制的偶函式E(x) : E(a) = E(-a) ∀a∈ R都沒有逆函式。