實分析/Landau 符號

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實分析 Landau 符號

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Landau 符號是一個奇妙的工具，可應用於所有實分析。它之所以如此方便和廣泛使用，是因為它強調了實分析的一個關鍵原則，即估計。簡單來說，Landau 符號引入了兩個運算子，可以稱為“數量級”運算子，它們本質上比較了兩個給定函式的大小。

小o

小o 提供一個比給定函式低數量級的函式，即函式 $o(g(x))$ 的數量級低於函式 $g(x)$。形式上，

定義

令 $A\subseteq \mathbb {R}$ 且令 $c\in \mathbb {R}$

令 $f,g:A\to \mathbb {R}$

如果 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$，那麼我們說

"當 $x\to c$ 時，$f(x)=o(g(x))$"

例子

• 當 $x\to \infty$ 時，（且 $m<n$） $x^{m}=o(x^{n})$
• 當 $x\to \infty$ 時，（且 $n\in \mathbb {N}$） $\ln x=o(x^{n})$
• 當 $x\to 0$ 時，$\sin x=o(1)$

大 O 符號

大 O 符號 提供一個函式，其階數至多與給定函式相同，也就是說函式 $O(g(x))$ 的階數至多與函式 $g(x)$ 相同。形式上，

定義

令 $A\subseteq \mathbb {R}$ 且令 $c\in \mathbb {R}$

令 $f,g:A\to \mathbb {R}$

如果存在 $M>0$ 使得 $\lim _{x\to c}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<M$，那麼我們說

"當 $x\to c$ 時，$f(x)=O(g(x))$"

例子

• 當 $x\to 0$ 時，$\sin x=O(x)$
• 當 $x\to {\tfrac {\pi }{2}}$ 時，$\sin x=O(1)$

應用

我們現在將考慮幾個例子，這些例子展示了這種符號的強大之處。

可微性

設 $f:{\mathcal {U}}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 且 $x_{0}\in {\mathcal {U}}$。

那麼 $f$ 在 $x_{0}$ 處可微當且僅當

存在一個$\lambda \in \mathbb {R}$，使得當$x\to x_{0}$時，$f(x)=f(x_{0})+\lambda (x-x_{0})+o\left(|x-x_{0}|\right)$。

中值定理

設$f:[a,x]\to \mathbb {R}$在$[a,b]$上可微。則，

當$x\to a$時，$f(x)=f(a)+O(x-a)$

泰勒定理

設$f:[a,x]\to \mathbb {R}$在$[a,b]$上n階可微。則，

當$x\to a$時，$f(x)=f(a)+{\tfrac {(x-a)f'(a)}{1!}}+{\tfrac {(x-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\ldots +{\tfrac {(x-a)^{n-1}f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}+O\left((x-a)^{n}\right)$