實分析/冪級數

請為此部分做出貢獻，它已被忽略。我已經開始，但尚未完成。

定義

我們已經遇到了級數。冪級數是以下形式的級數

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 其中 $a_{n}\in \mathbb {R} \ \forall n\in \mathbb {N}$.

$f$ 也可以被看作是一個實值函式。在本節中，我們將嘗試回答的第一個問題是，對於哪些值的 $x$，$f$ 是收斂的。

收斂

我們可以在這裡使用根式判別法。我們可以看到

$\limsup _{n\to \infty }{\left\vert a_{n}x^{n}\right\vert }^{1/n}=\vert x\vert \limsup _{n\to \infty }{\left\vert a_{n}\right\vert }^{1/n}=\vert x\vert R$

從前面可以看出，存在一個半徑 $r=1/R$ 使得 $f$ 在 $\vert x\vert <r$ 時收斂，在 $\vert x\vert >r$ 時發散。這個半徑在複分析中具有特殊意義，但我們在這裡不會涉及。

可微性

根據根式檢驗，如果 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 收斂，那麼 $\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)a_{n+1}x^{n}$ 也收斂，因為 $\limsup _{n\to \infty }\vert (n+1)a_{n+1}\vert ^{1/n}=\limsup _{n\to \infty }\vert a_{n}\vert ^{1/n}$，因為 $\lim _{n\to \infty }(n+1)^{1/n}=1$，因此該冪級數與原始冪級數具有相同的收斂半徑。直觀上，我們猜想它應該是原始冪級數的導數，但還需要證明。我們來看牛頓商

$f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x+h)^{n}-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}{h}}$

$f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x+h)^{n}-a_{n}x^{n}}{h}}$

$f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x^{n}+nhx^{n-1}+o(h^{2})-x^{n})}{h}}$

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n}-1=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)a_{n+1}x^{n}$

泰勒級數

冪級數的一個用途是逼近函式。我們可以看到 $f(0)=a_{0}$，因此如果冪級數 $f$ 是對 $g$ 的良好近似，那麼 $a_{0}=g(0)$。

我們還可以從 [[#Differentiability|]] 中看到，我們需要 $1.f^{\prime }(0)=a_{1}$，以及 $2.f^{\prime \prime }(0)=a_{2}$，並且透過歸納可得 $n!.f^{(n)}(0)=a_{n}$，所以我們將 $f$ 的泰勒級數定義為

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$

透過平移，我們也可以用

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}$

當然，要做到這一點，我們需要 $f$ 在 o 或 t 處無限次可微。