實分析/弧長

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實分析 弧長

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假設我們在三維空間中有一個引數曲線，$f(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))$。當然，要求所有三個函式都是連續的。這實際上定義了一條曲線，因為它是一個連續的實數到三維空間的影像。

現在，我們可以在一個區間上定義這條曲線的弧長。假設區間是[a,b]。現在將[a,b]分成多個分割槽，$a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{n}=b$，並將此分割槽稱為P。取距離的總和$|f(a_{n})-f(a_{n-1})|$，得到$\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {\sum _{j=1}^{3}(x_{j}(a_{i})-x_{j}(a_{i-1}))^{2}}}$，並將此總和稱為L(P)。現在，取長度的supremum，$\sup\{L(P)\in R|P$ 是一個分割槽$\}$。如果這個數字是有限的，我們稱它為 **可求長曲線**。

現在我們建立一個三維空間曲線可求長的充分必要條件（注意：這可以透過類似的論證輕鬆擴充套件到n空間）。

定理
三維空間中的一條連續曲線是可求長的當且僅當它所有分量函式都是有界變差函式。
證明

定理
如果三維空間中的一條曲線f(x) 在所有三個分量上都是連續可微的，那麼它是可求長的，從f(a) 到f(b) 的長度是$\int _{a}^{b}|f'(x)|dx$。
證明