實分析/賦範線性空間

我們將簡要回顧線性代數中關於線性空間及其性質的概念。這不是一個詳盡的討論，因此建議讀者在不熟悉這些主題的情況下查閱線性代數教材以瞭解更多詳細資訊。

線性空間

線性空間（也稱為向量空間）是一個集合$V$在域$\mathbb {F}$上，在$V$上定義了兩個運算，加法和標量乘法。設$x,y\in V$和$\alpha ,\beta \in \mathbb {F}$。以下八個性質定義了線性空間的結構。

1.	$x+y=y+x$（加法交換律）
2.	$(x+y)+z=x+(y+z)$（加法結合律）
3.	存在唯一元素$0\in V$，使得$x+0=x$（加法單位元）
4.	對於每個$x\in V$，存在$(-x)\in V$，使得$x+(-x)=0$（加法逆元）
5.	$1x=x$（乘法單位元乘以標量）
6.	$\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$（標量乘法的結合律）
7.	$(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$
8.	$\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$

如果域$\mathbb {F} =\mathbb {R}$，我們稱之為**實線性空間**。類似地，如果域$\mathbb {F} =\mathbb {C}$，我們稱之為**複線性空間**。我們將研究範圍限制在實線性空間。線性空間（或向量空間）的元素稱為**向量**。

示例

歐幾里得空間

集合$\mathbb {R} ^{n}$是所有實數的n元組的集合。所以對於某個$x\in \mathbb {R} ^{n}$，$x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$，其中$x_{i}\in \mathbb {R}$，$1\leq i\leq n$。假設$x,y\in \mathbb {R} ^{n}$和$\alpha \in \mathbb {R}$。該集合是一個線性空間。加法屬性和標量乘法由以下公式給出：

$x+y=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})+(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n})$

和

$\alpha x=\alpha (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n}).$

讀者應該驗證$\mathbb {R} ^{n}$滿足上述線性空間的八個性質。回想一下，歐幾里得空間配備了內積（通常在$\mathbb {R} ^{n}$中稱為點積）表示為：

$\langle x,y\rangle =x\cdot y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$.

這在接下來的例子中會很有用。

子空間

向量空間 $V$ 的一個子空間是 $V$ 的一個非空子集 $W\subseteq V$，使得 $W$ 也是一個線性空間。所以對於任何 $x,y\in W$ 和 $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$，我們有 $\alpha x+\beta y\in W$（即 $W$ 在加法和標量乘法下是封閉的）。

示例

考慮 $V=\mathbb {R} ^{3}$ 和 $A=\{(2,0,0),(0,43,0)\}\subset V$。那麼 $A$ 的生成空間是集合 $W=\mathrm {span} A=\{(x_{1},x_{2},0):x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} \}$。我們將證明集合 $W$ 是 $V$ 的子空間。

證明

首先，我們需要證明零元素在 $W$ 中（否則它不能是線性空間）。它遵循

$0(2,0,0)+0(0,43,0)=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)\in W$.

因此，$W\neq \emptyset$。現在，假設$x,y\in W$ 且 $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$。我們可以看到

${\begin{aligned}\alpha x+\beta y&=\alpha (x_{1},x_{2},0)+\beta (y_{1},y_{2},0)\\&=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},0)+(\beta y_{1},\beta y_{2},0)\\&=(\alpha x_{1}+\beta y_{1},\alpha x_{2}+\beta y_{2},0)\\&=(z_{1},z_{2},0)\\&=z\end{aligned}}$.

由於$z_{1},z_{2}\in \mathbb {R}$，根據實數域的性質，我們有$z\in W$。因此，這個集合在向量空間運算下是封閉的。所以，$W$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間。

敏銳的讀者應該注意到，這個子空間在三維空間中是一個平面。

基

向量的一個線性組合是以下表達式

$\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}$,

其中$x_{i}\in V$ 且 $\alpha _{i}\in \mathbb {R}$，對於 $1\leq i\leq n$。這可以用更簡潔的符號表示為

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}$.

給定線性空間 $A\subseteq V$ 的一個非空子集，$A$ 中所有元素的線性組合的集合稱為 $A$ 的 **線性空間**，我們用 $\mathrm {span} A$ 表示。$A$ 的線性空間將生成 $V$ 的一個子空間 $W$。

來自 $V$ 的向量集 $x_{1},\dots ,x_{k}$ 被稱為 **線性無關**，當

$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{k}x_{k}=0$

只有當 $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{k}=0$ 時。如果任何非零 $\alpha _{i}$ 滿足這個等式，那麼向量集被稱為 **線性相關**。

線性空間 $V$ 的 **基** 是一個線性無關的向量集，它可以生成 $V$。也就是說，子集 $A\subseteq V$ 是一個基，如果 $\mathrm {span} A=V$ 並且 $A$ 是一個線性無關的向量集。生成一個向量空間所需的線性無關向量的數量定義了該向量空間的 **維數**。如果一個向量空間可以由一組有限的基向量生成，則該向量空間是 **有限維** 的。如果一個向量空間不是有限維的，那麼它就是 **無限維** 的。我們用 $\mathrm {dim} V$ 表示一個向量空間的維數。

示例

向量空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 的標準基是集合

$\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}=\{(1,0,\dots ,0),(0,1,\dots ,0),\dots ,(0,0,\dots ,1)\}$,

其中第 $i$ 個基向量在第 $i$ 個位置上是 1，其他位置都是 0。

因此，在三維空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，我們的基是集合

$\{e_{1},e_{2},e_{3}\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$.

因此，$\mathbb {R} ^{3}$ 中的任何向量都可以表示為這些基向量的線性組合。建議讀者練習證明向量作為基向量的線性組合的表示是唯一的。請注意，基集有 3 個元素，因此它所跨越的空間的維數為 3，即 $\mathrm {dim} \mathbb {R} ^{3}=3$。

範數

線上性空間中，我們通常希望有一個關於元素“大小”或元素之間距離的概念。範數是一個函式 $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R}$，使得對於 $x,y\in V$ 和 $\alpha \in \mathbb {R}$ 以下性質成立。

1. $\|x\|\geq 0$
2. $\|x\|=0\iff x=0$
3. $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|$
4. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$（三角不等式）

範數是一種描述單個元素大小的方法。現在，如果範數用於描述向量之間差的大小（$\|x-y\|$），它就衡量了這兩個向量之間的距離。因此，我們發現*範數在空間* $V$ *上誘導了一個度量*。因此，我們用以下公式在 $V$ 上描述一個度量函式：

$d(x,y)=\|x-y\|$.

鼓勵讀者驗證此函式是否滿足度量屬性。

具有範數的線性空間稱為**規範線性空間**。一個完備的規範線性空間稱為*巴拿赫空間*。

示例

歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 的範數由以下公式給出：

$\|x\|=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$.

這應該很熟悉，來自勾股定理。由於 $\mathbb {R}$ 是完備的，我們有 $\mathbb {R} ^{n}$ 也是完備的。因此，歐幾里得空間也是巴拿赫空間的一個例子。我們還應該注意到，這裡的範數可以表示為：

$\|x\|=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=\langle x,x\rangle ^{\frac {1}{2}}$.

因此，在這種情況下，*內積在我們的空間上誘導了一個範數*。