實分析/積分的應用

注意
	像這樣的表格讓人感覺積分和微分相互抵消，並且讓人感覺所有原函式都是相等的。事實並非如此！像這樣的表格常常是造成這些混淆的基礎。如果有人感到困惑，請確保閱讀所有材料以瞭解細微差別！

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實分析
積分的應用

積分主要用於處理導數。儘管本章標題為“積分的應用”，但“應用”一詞並不意味著本章將討論如何在生活中使用積分。相反，我們將介紹的以下定理側重於說明計算積分的方法和定義性質。

計算定理

本標題將處理推導積分的計算公式。雖然微積分基本定理的結果提供了一種計算積分的方法，該方法需要事先了解原函式，但這絕不是計算積分的唯一方法——尤其是在積分比冪函式複雜的情況下。

原函式

f 的原函式定義
給定一個函式 f 和任何其他函式 g，如果 ${\textstyle \left[\int {f}\right]'=\left[\int {g}\right]'}$ ，f 和 g 僅相差一個常數，並且原函式定義為滿足 ${\textstyle \left[\int {f}\right]'=\left[\int {g}\right]'}$ 的函式，其中可能存在一個常數 C。

f 實際上指的是積分的導數，而不是函式本身。因此，f 的原函式是一個陳述，它需要引用正在求導的函式，而不是該導數的輸出。

這也被稱為反導數

我們先對原函式的本質進行一個簡短的說明。回想一下，從微積分基本定理中，本質上存在一個函式 $f$ ，它們出現在對 ${\textstyle \int _{a}^{x}{f}}$ 應用導數時。

如果我們使用與定理中不同的變數（它們使用 F 和 f），我們可以透過以下步驟顯示此過程

u=\int _{a}^{x}{f}\Longleftrightarrow u'={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x}}\left[\int _{a}^{x}{f}\right]\implies u'=f

我們在最後一步使用蘊涵箭頭來強調一個重點。最後一步，雖然在邏輯上是一個等效語句——因此在該位置使用 iff 符號是可以的，但這並不意味著逆運算很容易。實際上，只有實分析以外的數學才能嚴格地證明如何逆轉該步驟可能比向前推進更復雜。因此，大多數一年級實分析課程只會要求你向前推進。

然而，有一些函式的原函式很容易找到。幾乎是數學教育者設計的，在初等數學中學習的每個函式，包括在函式部分中嚴格定義的函式；三角函式部分；以及指數和對數標題，都具有很容易定義的原函式，這些原函式可以透過反向使用導數表（對冪函式和三角函式給予一些寬容——三角函式是該列表中最難匯出的函式）進行輕鬆推導。儘管如此，我們將在下面提供一個表格，這樣你就不必進行這種腦力練習。

原函式轉換表
是		變為
導數是	不定積分是	反導數是	原函式是
$a$		$ax+C$
$e^{x}$		$e^{x}+C$
${\frac {1}{x}}$		$\log {}+C$
$x^{n}$		${\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$
$a^{x}$		${\frac {a^{x}}{\log a}}+C$
$\sin$		$-\cos {}+C$
$\cos$		$\sin {}+C$
$\tan$		$-\log {\cos {}}+C$
$\sec ^{2}{}$		$\tan {}+C$
$\sec {}\tan {}$		$\sec {}+C$
${\frac {1}{1+x^{2}}}$		$\arctan {}+C$
${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$		$\arcsin {}+C$
$\sin ^{2}$		${\frac {1-\cos {2x}}{2}}+C$
$\cos ^{2}$		${\frac {1+\cos {2x}}{2}}+C$
$\arctan$		$x\cdot \arctan {}-1/2\cdot \log {(1+x^{2})}+C$
$\sec$		$\log {(\sec {}+\tan {})}+C$
$\csc$		$-\log {(\csc {}+\cot {})}+C$

哈！如果你注意到了，每個原函數週圍都有一個常數變數 *C*。再加上原函式相當間接的定義，似乎原函式的概念本身需要解釋。舉個例子，由於將微積分基本定理和一個導數定理一起應用的一個主要結果（具體來說，如果 $f'=g'$ ，那麼 $f=g+c$ ），必須新增一個常數變數 *C*，才能進行代數上正確的轉換。由於這個要求，雖然積分的導數通常（用外行人的話說）“抵消”了這兩個運算，但在邏輯上它並不是完全的抵消——尤其是在原函式 *f* 未知的情況下。

然而，有兩個事實，當被接受時，使常數 *C* 問題在處理積分時變得容易處理得多。

出於積分計算的目的（不定積分定義的一個技巧），在計算出最終結果之前，不需要擔心常數。
如果函式的性質允許易於顯示數值（如根），則計算常數值 *C* 很容易。

不定積分

這將作為一個簡短的旁白，但對於理解本章的其餘內容至關重要。

如果不想寫出上面所有這些步驟怎麼辦？如果只是想承認原函式的多種解釋，而不會被明確地宣告你的函式 *f* 作為反導數所困擾，同時仍然透過填寫 *f* 來寫出原函式，那麼 $f+C$ 是什麼。很簡單。數學家們同意了不定積分的定義，它被定義為

\int {f}:=\left\{f+C:\forall C\in \mathbb {R} ,f={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x}}\left[\int _{a}^{x}{f}\right]\right\}

簡而言之，這意味著該語句中積分和導數的所有原函式的集合。有趣的是，這個定義在談論原函式時是隱含的，更重要的是，**這個定義是在求積分的導數時的技術輸出**。

分部積分法

定理
給定可微函式u和v，如果 $u'$ 和 $v'$ 是連續的，那麼 $\int {uv'}=uv-\int {u'v}$ 是一個有效的等式

為什麼用變數u和v而不是更傳統的f和g？嗯，使用變數u和v是分部積分的傳統命名約定！除了令人困惑的傳統之外，它還有一個更實際的原因，即給定函式f可以是兩個函式u和v的組合，可以將其代入這個方程以得出f的計算答案。

這是一個重要的定理，也非常容易推導（它只涉及代數和方程）。假設一個人知道由兩個其他函式相乘組成的函式的導數，證明如下。

分部積分是真實存在的證明
給定乘法方程的導數，我們知道，首先，我們可以以以下方式重新排列方程，其次，我們知道這些函式也是連續的，因為函式的導數意味著函式本身一開始就是連續的。	${\begin{aligned}(uv)'&=u'v+uv'\\u'v&=(uv)'-uv'\end{aligned}}$
假設函式u′和v′是連續的。因此，現在一切都連續了，我們可以對整個方程應用積分，仍然得到一個有效的表示式。	${\begin{aligned}(uv)'&=u'v+uv'\implies \\\int {u'v}&=\int {(uv)'-uv'\operatorname {d} \!x}\end{aligned}}$
經過一些代數運算，包括使用微積分基本定理，最終結果如下所示。	${\begin{aligned}\int {u'v}&=\int {(uv)'-uv'\operatorname {d} \!x}\\&=\int {(uv)'}-\int {uv'}\\&=uv-\int {uv'}\\\end{aligned}}$ $\blacksquare$

符號

可能有人注意到，特別是在閱讀過任何其他數學文獻的情況下，在討論積分時使用了一種符號格式。例如，分部積分的完整符號是

\int u(x)v'(x)\,\operatorname {d} \!x=u(x)v(x)-\int v(x)\,u'(x)\operatorname {d} \!x

但通常寫成

\int u\,\operatorname {d} \!v=uv-\int v\,\operatorname {d} \!u

符號 $\operatorname {d} \!u$ 和 $\operatorname {d} \!v$ 不應該以積分部分討論的正常意義來理解，即d後的變數代表將被視為變數的變數，而其他所有變數都被視為常數。相反，該變數指的是一個函式。因此，該符號正在以一種新的方式使用，可以透過定義特定的情況來簡潔地描述

\operatorname {d} \!v:=v'(x)\operatorname {d} \!x

\operatorname {d} \!u:=u'(x)\operatorname {d} \!x

請注意，這種新定義與 $\operatorname {d} \!x$ 的原始定義並不衝突，因為這一個指的是右側的變數是函式而不是變數的情況。

換元積分法

定理
給定一個可微函式g，如果某個函式 $f$ 和 $g'$ 是連續的，則 $\int _{g(a)}^{g(b)}{f\operatorname {d} \!x}=\int _{a}^{b}{f\circ g\cdot g'}$ 是一個有效的等式。

與分部積分法不同，沒有提到變數u。這是因為變數u、g和f在整個定理中的關係非常複雜，這將在另一個標題中解釋。現在，讓我們專注於確保這個陳述本身是有效的。

幸運的是，這個公式也很容易驗證。與分部積分法一樣，它也不使用很多定理，只依賴於微積分基本定理第二部分和鏈式法則。

換元積分法成立的證明
定義函式Λ為f的原函式，這在給定連續函式f的情況下是有效的，這意味著 $\int _{g(a)}^{g(b)}{f}$ 符合微積分基本定理第一部分（請注意，這個原函式可以定義為實際的原函式——被積分的函式，而不是允許變數常數的原函式，因為微積分基本定理第一部分表明確實存在一個等於被積分函式的原函式）。然後我們可以應用微積分基本定理第二部分來推匯出一個可計算的等式。	${\begin{aligned}\int _{g(a)}^{g(b)}{f}\implies \exists \Lambda :\Lambda '&=f\\\land \int _{g(a)}^{g(b)}{f}&=(\Lambda \circ g)(b)-(\Lambda \circ g)(a)\end{aligned}}$
但是，讓我們想象一下，我們向Λ輸入函式g，而不是通常的輸入變數x。現在，由於Λ是一個複合函式，其導數應該仍然等於f（畢竟，我們只是改變了輸入，而不是函式本身），我們可以對函式Λ應用鏈式法則。	$(\Lambda \circ g)'=\Lambda '\circ g\cdot g'=f\circ g\cdot g'$
現在，如果我們對 $(\Lambda \circ g)'$ 進行積分，那麼什麼樣的區間會使結果更有趣呢？顯然，區間應該是 [a, b]，因為如果我們使用微積分基本定理，	$\int _{a}^{b}(\Lambda \circ g)'=(\Lambda \circ g)(b)-(\Lambda \circ g)(a)$
這兩個等式將是相等的。	$\therefore \int _{a}^{b}{f\circ g\cdot g'}=\int _{g(a)}^{g(b)}{f}.\;\;\blacksquare$

正如之前提到的，這個等式並沒有詳細說明它在計算積分表示式中的應用方式。鑑於許多關於如何使用換元法進行積分的內容可以在其他網站或華夏公益教科書中找到（例如，維基百科的換元積分頁面，它提供了關於如何使用這種方法的詳細示例，或者以微積分為例，它的頁面討論了換元法），這部分內容將討論他們所教授的步驟如何與這個定理相關聯。

首先，這個定理與其他通常教授的內容有所不同，因為它使用的是定積分，而不是分部積分所使用的不定積分。這是因為這個定理及其解釋最適合用定積分來說明，因為它突出了函式的順序，以便使兩個表示式相等。然而，構成定積分的邊界可以透過求導很容易地“抵消”，從而產生更容易處理的定理，即基礎數學中教授的定理，

定理
給定一個可微函式 g，如果函式 $f$ 和 $g'$ 是連續的，那麼 $\int {f}=\int {f\circ g\cdot g'}$ 是一個有效的等式。

也可以記作 $\int {f(x)}\operatorname {d} \!x=\int {(f\circ u)(x)\operatorname {d} \!u}{\text{ or as }}\int {(f\circ u)(x)\;{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}\;\operatorname {d} \!x}$

也稱為u-substitution（u-替換）。

你可能注意到，當在這裡使用萊布尼茨記號時，它看起來幾乎像是對 $\operatorname {d} \!x$ 運算子使用了代數運算中的除法。這可能是這種記號至今仍然存在的一個原因，因為某些定理可以透過遵循類似代數的性質來輕鬆地表達。

換元積分的應用

與分部積分不同，分部積分的解釋可以很容易地透過乘法和不定積分解釋的推導來總結，這個定理需要大量的解釋才能理解它的應用方式。

除了之前略過的為什麼使用定積分之外，本節標題將隱含這一點，我們首先討論函式 *f*、*g* 和 *u* 分別代表什麼。請注意，在幾乎所有情況下（除非你定義 $g(x)=x$ ，這不會導致更簡單的計算），你在定積分中看到的以及作為定理語句左側 *f* 出現的函式實際上將是 *f* 和 *g* 的複合函式，其中 *g* 是你希望操縱的函式，*f* 是要積分的整體函式的其他部分。因此，如果示例是

\int {(2x+5)(x^{2}+5x)^{7}}

那麼函式 $f\circ g=(2x+5)(x^{2}+5x)^{7}$ 可以表示為

f=x'\cdot x^{7}\land g=(x^{2}+5x)^{7}

因此，在大多數情況下，換元積分法實際上是從整體複合函式 $f\circ g=(2x+5)(x^{2}+5x)^{7}$ 中找出函式 *g*，定義 *u* = *g*，並將整體函式簡化為一個可以簡單求出定積分的函式。因此，對於這個例子，

f\circ g=g'\cdot g^{7}

這很容易計算，因為現在唯一關注的是 *g*⁷，即應用換元積分法。

因此，在大多數解釋中使用的變數 *u* 在簡單情況下將簡單地等於 *g*。對於更復雜的情況，*u* 將不等於 *g* - 這將在下一節中進行解釋。

換元積分法的逆運算

在其他華夏公益教科書中有更詳細的解釋，應用換元積分法的常用方法是找到某個函式 *u = g(x)*，該函式在整體表達式 *f* 中使用輸入變數 *x*，並且它的導數也可以在整體表達式 *f* 中找到，將其代入表示式 *f* 中 - 確保這個新函式可以替換掉輸入變數 *x* 的所有例項以及 *u* 的其他項，並應用該定理。然而，也可以進行逆運算。我們的意思是？不是尋找一個函式 *u = g(x)* 來替換輸入變數 *x*，而是找到函式 *x = g^-1(u)* 的逆函式，該函式可以抵消整體表達式 *f* 的部分以及輸入變數 *x*，然後對 *u* 進行積分。

換句話說，如果需要“移動”函式 - 這將涉及到對函式 *u* 進行逆運算 - 將函式從 *dx* 側移動到 *du* 側，則使用此推論。我們知道，對於變數 *x* 和 *u*，逆運算與對函式 *g* 進行逆運算並使用變數 *x* 和 *u* 作為各自的輸入一樣簡單。但是，我們是否知道是否可以透過用逆函式替換函式來將函式從一個 *dx* 移動到另一個 *du*？畢竟，*dx* 和 *du* 不是變數，而是運算子。以下推論證明了這一點。

換元積分法逆運算等價性的證明
我們從上一節中知道定義 ${\textstyle \int {f}}$ 實際上指的是 f 和 g 構成的函式 - 不定積分中的 f 與 f 本身並不相同。因此，給定以下內容，我們可以擴充套件	$\int {h}=\int {f\circ g}$
讓我們用完整的符號寫出這個等式。	$\int {f\circ g}=\int {f\circ g(x)\operatorname {d} \!x}$
現在讓我們檢查一下當我們定義 $x=g^{-1}(u)$ 以及 $\operatorname {d} \!x=[g^{-1}]'(u)\operatorname {d} \!u$ 時，方程式會發生什麼。	$\int {f\circ g(x)\operatorname {d} \!x}=\int {f(u)\cdot [g^{-1}]'(u)\;\operatorname {d} \!u}$
回到原始的完整符號，讓我們乘以 1。注意，g'(x) 永遠不能等於 0。但如何知道這一點呢？	$\int {f\circ g}=\int {f\circ g(x)\cdot {\frac {1}{g'(x)}}\cdot g'(x)\operatorname {d} \!x}$
簡單！假設 $u=g(x)$ 以及 $\operatorname {d} \!u=g'(x)\operatorname {d} \!x$ 。請注意，我們也知道 $(g^{-1}\circ u)(x)=x$ ，這在方程式中被使用。	$\int {f\circ g(x)\operatorname {d} \!x}=\int {f(u)\cdot {\frac {1}{g'\circ g^{-1}(u)}}\operatorname {d} \!u}$
應用逆函式的等效定義。	$\int {f\circ g(x)\operatorname {d} \!x}=\int {f(u)\cdot [g^{-1}]'(u)\;\operatorname {d} \!u}$
這兩個方程，儘管假設了不同變數的不同值，但它們不僅在左側相等，而且在右側也相等。這意味著無論選擇哪個變數，都可以使用換元積分法。	$\blacksquare$