實分析/函式

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函式是數學中的一個基本組成部分，它出現在以後的每一個分支中。儘管在初等數學中，對函式的理解可能微不足道，但在實踐中，函式允許你證明甚至是最基本的數學方面。即使本書的介紹章節，它利用本書的概念作為墊腳石來提供高等數學的基礎介紹，也使用了它。因此，使函式嚴格化將至關重要——並將在這章中處理。

構造

我們假設你對函式有直觀的理解。如果沒有，可以在更早的數學華夏公益教科書中找到它們；代數書和微積分書，或在更高階的數學華夏公益教科書中找到；離散數學。這應該表明這些概念是多麼基本。可以說，雖然可能不需要對函式有嚴格的理解，但瞭解它的結構組成部分以及定理如何依賴於它，將對你今後的數學生涯至關重要。

函式的定義如下

函式 ƒ 的定義

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一組有序對 (a,b).

有序對 (a,b) 的定義

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一個集合，使得該集合等於 {{a},{a,b}}.

是的，就是這樣。函式的定義依賴於很少的東西；函式的概念僅取決於集合論。雖然這個定義可能聽起來太簡單了，但令人驚訝的是它並非如此。對函式的直觀概念得到了完全滿足。可以透過定義論證或推導來描述函式的某些性質。即直觀的性質為

1. 一個輸入值必須根據函式定義輸出某個值。
2. 一個輸入不能輸出多個值。
3. 相同的輸入應該產生相同的輸出。
4. 函式的定義域和值域應該是可推導的（在數學中，存在性證明就足夠了）。
5. 控制數字的運算也必須對函式以可預測的方式適用。

這些將在以下部分中深入描述。

定義

許多性質可以透過簡單的定義來澄清。畢竟，函式已經被定義為一種非常特殊的集合，這意味著許多性質可以透過它的定義簡單地推匯出。實際上，我們將使用我們的文字框符號來輕鬆地定義它們。

ƒ(a) 的定義 給定a，有序對 (a,b) 中的變數b。 在書寫中，這被稱為f 在a 處的取值或任何類似的詞語組合。	輸入值 的定義 給定語句 $f(a)=b$，變數a	輸出值 的定義 給定語句 $f(a)=b$，變數b
	函式 ƒ 的定義域 的定義 一個由每個有序對 (a,b) 中的變數a 組成的集合。	函式 ƒ 的值域 的定義 一個由每個有序對 (a,b) 中的變數b 組成的集合。

為了保持本華夏公益教科書的範圍，我們不會嚴格證明這些定義的必要性。為什麼？它們幾乎本質上依賴於集合論及其相關的定理、公式和運算。雖然本華夏公益教科書使用集合符號，但它主要關注嚴格定義初等數學並向讀者介紹高等數學。實際上，我們將假設對這些定義的證明只是公理語句。但是，你可以自由地為了個人原因而證明它們。

符號

有很多不同的方法來表示函式。不同的符號風格的眾多性是由於數學領域的眾多，每個領域都要求我們從函式中獲取特定型別的資訊。鑑於本華夏公益教科書是關於實分析的，我們不一定需要定義域和值域中接受的數字明確的函式定義。相反，我們將主要依賴於這些型別的符號，最後一個符號很少使用。

函式符號列表

符號	讀作
$f={\text{ insert definition here}}$	N/A
$f(x)={\text{ insert definition here}}$	N/A
$x\rightarrow f$	x 箭頭 [插入 ƒ 的定義]

在本華夏公益教科書中，我們將主要使用前兩種符號，其中第一種符號使用得最多。為什麼？它融合了函式和變數的定義，這將是今後在高等數學中一個有用的概念。它還節省了空間，因為其他運算（你將在後面學習）通常有專門的符號用於 f(x)。f(x) 也可能很容易被誤認為是 f(a)，它指的是實際值，而 f(x) 指的是定義。

性質

定理

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給定兩個有序對 (a,b) 和 (c,d)，如果它們都相等，那麼必須遵循 a = c 和 b = d 為真。

輸入唯一性的證明

鑑於a 是 {{a},{a,b}} 的共同成員，c 是 {{a},{a,b}} 的共同成員，並且它們應該相等（這意味著構成集合的元素必須相同，a = c.
情況 1：b = a.	情況 2：b ≠ a.
{{a},{a,b}} = {{a},{a,a}} = {{a},{a}} = {a}	b 必須作為集合 {{a},{a,b}} 的成員存在。對於 {{a},{a,d}} 也是如此，因為它們是相等的。
由於它們必須相等，所以 d = a 也是成立的。	由於 b ≠ a.，它不在集合 {a} 中，它必須在集合 {a,d} 中，這意味著 b = d.
$\blacksquare$

這驗證了函式相等性的本質；對於兩個函式相等，輸入和輸出都必須相等。

運算

函式服從與普通數字相同的許多運算。然而，一個關鍵的區別是函式的定義域，它可能會根據運算子而改變。

函式運算列表

名稱	符號	定義域
加法	$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$	domain f ∩ domain g
減法	$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$	domain f ∩ domain g
乘法	$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$	domain f ∪ domain g
除法	$\left({\dfrac {f}{g}}\right)(x)={\dfrac {f(x)}{g(x)}}$	domain f ∪ domain g \ {a : g(a) = 0}
複合	$f\circ g(x)=f(g(x))$	domain g ∪ {g(x) : f(g(x)) ∈ domain f}

鑑於本華夏公益教科書的範圍，我們不會嚴格證明這些定義的必要性。為什麼？它們幾乎完全依賴於集合論及其相關的定理、公式和運算。雖然本華夏公益教科書使用集合符號，但它主要關注嚴格定義初等數學，並向讀者介紹高等數學。實際上，我們將假設這些定義的證明僅僅是一個公理陳述。但是，你可以自由地出於個人原因證明它們。

定理

在函式方面，有一對小的定理證明了初等數學中最基本的一個方面——即代數的概念。雖然下面的定理聽起來與代數無關，但它實際上驗證了該過程的性質。初等數學和高等數學之間的一個重大轉變是認識到代數操作也是一種證明。因此，您可能在本華夏公益教科書中讀到的第一個證明（如果您按線性順序閱讀）就是這個定理。定理與代數相關聯的示例將在後面給出。

定理

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如果 $a=b$，那麼你可以在兩邊應用任何函式，即 $f(a)=f(b)$。

證明

此證明依賴於函式定義和關於相等的公理。作為提醒，f(x) 指的是函式的定義，而不是 f 在 x 處的取值。

代數有效性的證明

根據函式定義，我們可以斷言變數 a 可以對映到 f 在 a 處的取值，在本證明中我們將它稱為 x。	${\begin{aligned}f&=\{\ldots ,\{\{a\},\{a,x\}\},\ldots \}\implies \\a&\rightarrow x\end{aligned}}$
因為 b = a 並且我們正在使用函式 f，所以我們可以斷言 b 也可以對映到 f 在 a 處的取值。	${\begin{aligned}f&=\{\ldots ,\{\{b=a\},\{b=a,x\}\},\ldots \}\implies \\b&\rightarrow x\end{aligned}}$
結合起來，這種關係就變得清晰了。	$a=b\implies a\rightarrow x=b\rightarrow x\implies x=x$ $\blacksquare$

示例

對代數是什麼的適當分析可以幫助鞏固定理及其重要性。例如，我們將使用一個簡單的方程式 $17=3x+2$ 來說明我們的觀點。以下是對該方程式的解釋。

解釋	代數	用我們的定理表達
首先，我們將兩邊都減去 2。這相當於建立一個函式 $f=x-2$，然後應用我們的定理。接下來，我們將兩邊都除以 3。請注意，這相當於建立另一個函式 $g=x/3$，然後應用我們的定理。請注意，到那時，我們已經基本上解決了我們的問題。我們只需應用等價性質公理併為了美觀而“反轉” *x* 和 5 的位置。	${\begin{aligned}17&=3x+2\\17-2&=3x+2-2\\15&=3x\\{\frac {15}{3}}&={\frac {3x}{3}}\\5&=x\\x&=5\end{aligned}}$	${\begin{aligned}17=3x+2&\implies f(17)=f(3x+2)\\&\implies 15=3x\implies \\g(15)=g(3x)&\implies 5=x\\&\implies x=5\end{aligned}}$

這種相似性並非偶然。事實證明，代數的概念實際上就是這種性質反覆應用的結果。即使是代數的侷限性也可以用這種性質來解釋。最著名的例子是平方（其中對一個方程進行平方似乎會引入一個新的值，該值可能不正確。例如，二次方程），這可以透過簡單地說，“代數不能保證可逆性”來輕鬆解釋。請注意，我們的證明實際上驗證了平方過程，因為它不是雙向關係。事實上，關於這個定理最奇怪的事情是它沒有證明可逆性。什麼是可逆性？

*可逆性* 的定義

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方程式的雙向關係代數性質；方程（只有等號的數學表示式）必須相互推導。